基于改進(jìn)的三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵的TOPSIS模型

王化中，強(qiáng)鳳嬌

（陜西科技大學(xué)管理學(xué)院，西安710021）

0 引言

在描述實(shí)際的多屬性決策問(wèn)題時(shí)，由于社會(huì)經(jīng)濟(jì)管理系統(tǒng)的復(fù)雜性及不確定性、決策者認(rèn)識(shí)問(wèn)題的有限性與判斷的主觀模糊性等因素制約，決策信息通常用某種不確定數(shù)的形式進(jìn)行表達(dá)，隨機(jī)數(shù)、模糊數(shù)、兩參數(shù)區(qū)間數(shù)（簡(jiǎn)稱區(qū)間數(shù)）、三參數(shù)區(qū)間數(shù)、四參數(shù)區(qū)間數(shù)、自然語(yǔ)言等形式經(jīng)常被用于表征不確定數(shù)。其中，卜廣志等[1]提出的三參數(shù)區(qū)間數(shù)在區(qū)間數(shù)上下限之間增加了灰數(shù)取值的最可能值，彌補(bǔ)了區(qū)間數(shù)“貧信息”的不足，因其更符合人類思維的灰色性與模糊性，能夠更加細(xì)致地刻畫(huà)不確定性信息，且覆蓋信息更加客觀全面，從而引起了廣大學(xué)者的關(guān)注，基于三參數(shù)區(qū)間數(shù)的多屬性決策問(wèn)題也已經(jīng)取得了一些可喜的研究成果[1-4]。

熵是信息論中系統(tǒng)穩(wěn)定性程度與信息量大小的一種度量工具，熵越大表示系統(tǒng)穩(wěn)定性越差，所含信息量越多。距離熵是王鵬飛[5]提出的用于度量?jī)蓚€(gè)灰數(shù)分布接近程度的新概念，兩個(gè)灰數(shù)分布越接近，距離熵越大，反之亦然，所以用距離熵來(lái)度量?jī)蓚€(gè)灰數(shù)間的差異或接近程度是有效的。在多屬性決策問(wèn)題評(píng)價(jià)中，只要評(píng)價(jià)指標(biāo)值中不出現(xiàn)負(fù)參數(shù)，基于距離熵的評(píng)價(jià)就可以不需要進(jìn)行指標(biāo)規(guī)范化處理便可實(shí)現(xiàn)多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)。規(guī)范化處理在一般的多屬性決策方法應(yīng)用中是必不可少的過(guò)程，雖然規(guī)范化處理可以通過(guò)消除不同指標(biāo)單位、數(shù)量級(jí)及方向的不一致性等問(wèn)題，使指標(biāo)之間滿足可加性，但無(wú)論采用何種規(guī)范化處理轉(zhuǎn)換函數(shù)，轉(zhuǎn)換后的各數(shù)據(jù)早己扭曲了原始數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，因此以轉(zhuǎn)換后數(shù)據(jù)運(yùn)算得到的評(píng)價(jià)結(jié)果作為原始數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)結(jié)果具有一定的不合理性。特別對(duì)區(qū)間數(shù)、三參數(shù)區(qū)間數(shù)等反映的不確定性信息的規(guī)范化處理過(guò)程除過(guò)上述問(wèn)題外，規(guī)范化處理過(guò)程更加繁瑣，而且還可能帶來(lái)經(jīng)處理后數(shù)據(jù)灰度增加等新問(wèn)題。王鵬飛[5]在提出距離熵的同時(shí)建立了正實(shí)數(shù)間及正區(qū)間數(shù)間的距離熵測(cè)度公式。王娜[4]將距離熵的概念推廣到正三參數(shù)區(qū)間數(shù)，并構(gòu)建了正三參數(shù)區(qū)間數(shù)的距離熵測(cè)度公式。但王娜建立的正三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵公式中對(duì)三個(gè)參數(shù)等同對(duì)待，沒(méi)有突出最可能值所表示的“重心”點(diǎn)在三參數(shù)區(qū)間數(shù)中的重要性。本文在考慮非負(fù)三參數(shù)區(qū)間數(shù)中三個(gè)參數(shù)概率分布的基礎(chǔ)上，給出一種新型的非負(fù)三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測(cè)度公式，對(duì)其給定公式進(jìn)行理論分析與證明，并基于新的三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵建立了topsis模型，最后用實(shí)例驗(yàn)證了其評(píng)價(jià)模型的有效性。

1 三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測(cè)度公式存在的問(wèn)題及改進(jìn)

1.1 目前的三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測(cè)度公式及存在的不足

設(shè)有兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間數(shù)a(?)=[al，am，au](0＜al≤am≤au)和b(?)=[bl，bm，bu]（0＜bl≤bm≤bu），王娜[4]給出的兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間數(shù)的距離熵測(cè)度公式見(jiàn)式（1）所示：

王娜[4]給出的兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測(cè)度公式對(duì)三參數(shù)區(qū)間數(shù)的上限、下限及最可能值三個(gè)參數(shù)同等對(duì)待，這不符合三個(gè)參數(shù)的相對(duì)概率分布，沒(méi)有體現(xiàn)出最可能值相較上限、下限端點(diǎn)更加重要的特征，其本質(zhì)是對(duì)三個(gè)參數(shù)各自距離熵進(jìn)行算數(shù)平均來(lái)求得兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間數(shù)整體的距離熵。

1.2 三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測(cè)度公式的改進(jìn)

朱建軍等[6]認(rèn)為三參數(shù)區(qū)間數(shù)中最可能值對(duì)應(yīng)的分布概率p應(yīng)該大于一個(gè)介于0～1之間的常量，且只有該常量達(dá)到一等程度時(shí)，才能稱為最可能值。一般情況下，該常量取值大于等于60%，如果該常量取值過(guò)小，說(shuō)明三參數(shù)區(qū)間數(shù)表示的決策信息過(guò)于分散。

本文對(duì)兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測(cè)度公式的改進(jìn)思路是：以三個(gè)參數(shù)的相對(duì)概率分布為權(quán)重，對(duì)其三個(gè)參數(shù)的各自距離熵進(jìn)行加權(quán)求和來(lái)得到兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間數(shù)整體的距離熵。因其三參數(shù)區(qū)間數(shù)中最可能值、上限、下限三個(gè)參數(shù)的相對(duì)概率分布值相差較大，其中最可能值在三個(gè)參數(shù)中的相對(duì)概率分布值遠(yuǎn)大于上限、下限兩個(gè)參數(shù)的相對(duì)概率分布值，以三個(gè)參數(shù)的相對(duì)概率分布值為權(quán)重，對(duì)其三個(gè)參數(shù)的各自距離熵進(jìn)行加權(quán)求和，體現(xiàn)了最可能值在整體三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵計(jì)算中更加重要的作用，同時(shí)用上限、下限兩個(gè)參數(shù)的概率分布值相對(duì)大小體現(xiàn)決策者在決策過(guò)程中不同的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。

另外王鵬飛[5]、王娜[4]等給出的正實(shí)數(shù)、正區(qū)間數(shù)、正三參數(shù)區(qū)間數(shù)各自間的距離熵測(cè)度公式均使用自然對(duì)數(shù)（即取底數(shù)e=2.718281828）來(lái)求距離熵，以自然對(duì)數(shù)計(jì)算兩個(gè)正數(shù)間的距離熵介于0與ln2=0.6931之間[1,4]，當(dāng)相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)參數(shù)值相差較小時(shí)，以自然對(duì)數(shù)求得的距離熵靈敏度過(guò)低。故本文選擇使用以2為底的對(duì)數(shù)來(lái)求距離熵，以提高不同參數(shù)對(duì)距離熵的靈敏度反映，且以2為底的對(duì)數(shù)計(jì)算得到的距離熵介于0和1之間（由文中經(jīng)證明的定理1可知），也比較符合人們的判斷習(xí)慣。當(dāng)然也可以選擇大于1且小于2的其他實(shí)數(shù)為底的對(duì)數(shù)，以進(jìn)一步提高靈敏度，且以不同底數(shù)的對(duì)數(shù)分別計(jì)算得到的距離熵可以通過(guò)換底公式進(jìn)行換算，所以采用不同底數(shù)計(jì)算的距離熵對(duì)兩個(gè)正數(shù)的相對(duì)接近程度沒(méi)有任何影響，僅僅是靈敏度有所差異。

定義1：對(duì)三參數(shù)區(qū)間數(shù)a(?)=[al，am，au](0＜al≤am≤au)和b(?)=[bl，bm，bu]（0＜bl≤bm≤bu），假設(shè)兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間數(shù)各自的最可能值相較于其上限、下限兩個(gè)端點(diǎn)參數(shù)而言，其分布概率為p(am)=p(bm)=α且α≥60%，兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間數(shù)的上限相較于最可能值、下限兩個(gè)端點(diǎn)的分布概率為p(al)=p(bl)=β，兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間數(shù)的下限相較于最可能值、上限兩個(gè)端點(diǎn)的分布概率為p(au)=p(bu)=γ，且β+γ=1-α≤40%。則本文給出兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間數(shù)a(?)和b(?)的距離熵H(D)ab（簡(jiǎn)寫(xiě)為H(D)）測(cè)度公式見(jiàn)式（2）所示：

式（2）中，兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間數(shù)最可能值的概率α≥60%，表明距離熵H(D)受最可能值am、bm相對(duì)大小的影響大于上限、下限兩個(gè)端點(diǎn)值相對(duì)大小的影響，體現(xiàn)了最可能值相較上限、下限端點(diǎn)更加重要的特征。β與γ的相對(duì)取值大小表示不同決策者的不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，當(dāng)β＞γ時(shí)，表示決策者較為慎重保守，盡量規(guī)避損失；當(dāng)β＜γ時(shí)，表示決策者敢于冒險(xiǎn)，偏好收益；當(dāng)β=γ時(shí)，表示決策者是風(fēng)險(xiǎn)中立者，對(duì)可能的損失與收益看重程度相等。

上述分析表明，兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間數(shù)的距離熵不僅與其各自三個(gè)參數(shù)的相對(duì)數(shù)值大小取值有關(guān)，還與其三個(gè)參數(shù)的相對(duì)概率分布有關(guān)。在實(shí)際決策問(wèn)題中，三參數(shù)區(qū)間數(shù)的相對(duì)概率分布就是決策者信息把握程度與風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的充分反映。

定理1：設(shè)有兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間數(shù)a(?)=[al，am，au]（0＜al≤am≤au）和b(?)=[bl，bm，bu]（0＜bl≤bm≤bu），則：

（1）a(?)和b(?)的距離熵H(D)具有非負(fù)極值性，即滿足0＜H(D)≤1，特別當(dāng)a(?)=b(?)（即al=bl，am=bm，au=bu）時(shí)，距離熵最大為mаxH(D)=1；

（2）a(?)和b(?)的距離熵H(D)ab與b(?)和a(?)的距離熵H(D)ba相等，即滿足對(duì)稱性。

證明:

同理，當(dāng)am=bm時(shí)，H(d2)取最大值mаxH(d2)=1，當(dāng)au=bu時(shí)，H(d3)取最大值mаxH(d3)=1；且同理H(d2)＞0，H(d3)＞0。

因此，當(dāng)al=bl，am=bm，au=bu時(shí)，由0＜β，γ＜α＜1且β+α+γ=1，兩三參數(shù)區(qū)間數(shù)的距離熵最大為：mаxH(D)=β×mаxH(d1)+α×mаxH(d2)+γ×mаxH(d3)=1；且滿足0＜H(D)=β×H(d1)+α×H(d2)+γ×H(d3)≤1。

（2）因?yàn)槿齾?shù)區(qū)間數(shù)距離熵的三個(gè)參數(shù)每一部分各自均滿足對(duì)稱性，因此關(guān)于三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵整體對(duì)稱性的證明較為簡(jiǎn)單（限于篇幅略去）。

定理2：兩個(gè)三參數(shù)區(qū)間數(shù)a(?)和b(?)越接近其距離熵H(D)就越大，反之a(chǎn)(?)和b(?)越遠(yuǎn)離其距離熵H(D)就越小。

同理，am、bm數(shù)值相對(duì)距離越小（即ambm值越接近1）時(shí)，H(d2)越來(lái)越大；au、bu數(shù)值相對(duì)距離越?。碼ubu值越接近1）時(shí)，H(d3)越來(lái)越大。

并由H(D)=β×H(d1)+α×H(d2)+γ×H(d3)，且0＜β，γ＜α＜1，β+α+γ=1，即可證a(?)和b(?)越接近其距離熵H(D)就越大，反之a(chǎn)(?)和b(?)越遠(yuǎn)離其距離熵H(D)就越小。

1.3 實(shí)數(shù)0與非負(fù)實(shí)數(shù)間的距離熵處理

只有兩個(gè)正數(shù)（含正實(shí)數(shù)、正區(qū)間數(shù)、正三參數(shù)區(qū)間數(shù)等）才存在距離熵，因?yàn)樨?fù)數(shù)及0的對(duì)數(shù)無(wú)意義。但現(xiàn)實(shí)決策問(wèn)題中各指標(biāo)取值可能存在非正數(shù)的情況，對(duì)其中的負(fù)參數(shù)，目前還無(wú)法直接計(jì)算距離熵，但對(duì)實(shí)數(shù)0與非負(fù)實(shí)數(shù)間的距離熵可以采用以下述兩種方法予以處理。

第一種方法是將參數(shù)0用比其他所有參數(shù)值小很多的正數(shù)ε（如令ε=0.0001）來(lái)代替，然后再計(jì)算替代后的很小的正數(shù)ε=0.0001與其他非負(fù)實(shí)數(shù)間的距離熵，以此作為實(shí)數(shù)0與非負(fù)實(shí)數(shù)間距離熵的近似值（只要選取的正數(shù)ε足夠小，所得到的近似值作為實(shí)數(shù)0與非負(fù)實(shí)數(shù)間的距離熵完全可以滿足決策分析的需要）。

第二種方法是對(duì)實(shí)數(shù)0與非負(fù)實(shí)數(shù)的距離熵進(jìn)行定義。

定義2：非負(fù)實(shí)數(shù)a、b(a，b≥0)在a=0，b＞0（或b=0，a＞0）時(shí)，a、b兩個(gè)實(shí)數(shù)的距離熵為H(D)=在a=b=0時(shí)，a、b兩個(gè)實(shí)數(shù)的距離熵為

將上述實(shí)數(shù)0與非負(fù)實(shí)數(shù)距離熵的處理方法一（或二）應(yīng)用于式（2）的三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵公式中，即可計(jì)算得到含0參數(shù)的非負(fù)三參數(shù)區(qū)間數(shù)與其他非負(fù)三參數(shù)區(qū)間數(shù)的距離熵。

2 基于三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵的topsis多屬性決策模型

2.1 問(wèn)題的描述

設(shè)有n個(gè)備選方案Ai，m個(gè)屬性指標(biāo)Cj，方案Ai在指標(biāo)Cj下的屬性值以三參數(shù)區(qū)間數(shù)形式表示，記為xij(?)=[，，(i=1，2，…，n;j=1，2，…，m)，屬性指標(biāo)Cj的權(quán)重為wj，且

2.2 三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵的topsis多屬性決策模型的決策步驟

（3）選擇正負(fù)理想解。

對(duì)正指標(biāo)，利用式（3）建立每個(gè)指標(biāo)的正理想方案X+=，…，)和負(fù)理想方案X-=(，…，)；對(duì)反指標(biāo)，利用式（4）建立每個(gè)指標(biāo)的正理想方案X+=，…，)和負(fù)理想方案X-=(，…)。

其中：

其中：

（6）計(jì)算各方案與正理想方案的貼近度Ci，并按照Ci的大小對(duì)方案從優(yōu)到劣排序。

3 實(shí)例分析：企業(yè)信息化建設(shè)的軟件項(xiàng)目方案選擇

某企業(yè)欲進(jìn)行信息化建設(shè)，現(xiàn)軟件項(xiàng)目有5個(gè)方案（A1，A2，A3，A4，A5）可供選擇，評(píng)價(jià)采用的5個(gè)指標(biāo)為：成本C1（單位：萬(wàn)元）、收益C2（單位：萬(wàn)元）、功能C3（專家百分制打分）、研發(fā)周期C4（單位：月）、可維護(hù)性C5（專家百分制打分）?？紤]到軟件項(xiàng)目本身存在不確定性，不同專家的判斷也存在差異，企業(yè)組建了一個(gè)8人評(píng)價(jià)專家組（包括企業(yè)相關(guān)部門成員及企業(yè)外聘專家）對(duì)5個(gè)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)與選擇，為了更加細(xì)致地反映專家組的綜合意見(jiàn)及項(xiàng)目指標(biāo)的不確定性，對(duì)獲取的每一方案不同指標(biāo)的指標(biāo)值經(jīng)一定統(tǒng)計(jì)處理后，評(píng)價(jià)指標(biāo)值均用三參數(shù)區(qū)間數(shù)表示，評(píng)價(jià)結(jié)果見(jiàn)表1所示。5個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重用層次分析法確定，結(jié)果見(jiàn)表1所示。對(duì)5個(gè)方案的評(píng)選過(guò)程簡(jiǎn)介如下：

表1 軟件項(xiàng)目評(píng)價(jià)結(jié)果

3.1 選擇軟件項(xiàng)目的正負(fù)理想解

收益C2、功能C3和可維護(hù)性C5屬于正指標(biāo)，成本C1和研發(fā)周期C4屬于反指標(biāo)，按照式（3）或式（4）建立的正負(fù)理想方案分別為：

3.2 分別計(jì)算各方案與正、負(fù)理想方案的距離熵和

先利用式（6）計(jì)算Ai方案與正理想方案X+關(guān)于j指標(biāo)的距離熵H()，再利用式（5）計(jì)算Ai方案與正理想方案X+的距離熵，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2所示。

表2 各方案與正理想方案不同指標(biāo)的距離熵表

同理，先利用式（8）計(jì)算Ai方案與負(fù)理想方案關(guān)于j指標(biāo)的距離熵H()，再利用式（7）計(jì)算Ai方案與負(fù)理想方案X-的距離熵，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3所示。

表3 各方案與負(fù)理想方案不同指標(biāo)的距離熵表

3.3 計(jì)算各方案與正理想方案的貼近度Ci

依照貼近度大小，該企業(yè)信息化建設(shè)的軟件項(xiàng)目最終選擇貼近度最大的方案A2進(jìn)行開(kāi)發(fā)。

4 結(jié)論

針對(duì)現(xiàn)有的三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測(cè)度公式中對(duì)三個(gè)參數(shù)重要性同等對(duì)待的缺陷，本文結(jié)合三個(gè)參數(shù)在三參數(shù)區(qū)間數(shù)中的相對(duì)概率分布情況，提出了改進(jìn)的三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測(cè)度公式算法，充分體現(xiàn)了最可能值相較上限、下限參數(shù)更加重要的特征，并從理論上證明了測(cè)度公式的有效性。在實(shí)際決策中對(duì)最可能值在三個(gè)參數(shù)中的相對(duì)重要性的概率及上限、下限參數(shù)的相對(duì)重要性概率，還必須結(jié)合決策信息的收集與整理背景以及決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度來(lái)具體選擇，從而使決策者的定性分析與方法的量化運(yùn)算有機(jī)結(jié)合，保證決策結(jié)果更加符合實(shí)際決策需要。

對(duì)現(xiàn)實(shí)決策問(wèn)題中各指標(biāo)取值可能存在負(fù)參數(shù)的多屬性決策問(wèn)題，負(fù)參數(shù)不能直接用來(lái)計(jì)算距離熵，須將含有負(fù)參數(shù)值的指標(biāo)經(jīng)一定的轉(zhuǎn)換變?yōu)榉秦?fù)參數(shù)指標(biāo)，才能用來(lái)計(jì)算距離熵，但轉(zhuǎn)換后數(shù)據(jù)同樣存在指標(biāo)規(guī)范化處理過(guò)程帶來(lái)的問(wèn)題，即轉(zhuǎn)化后數(shù)據(jù)之間的關(guān)系與原始數(shù)據(jù)之間的關(guān)系存在偏差。因此對(duì)含有負(fù)參數(shù)指標(biāo)的多屬性決策問(wèn)題能否采用距離熵的方法進(jìn)行有效性優(yōu)劣評(píng)判，以及如何評(píng)判的問(wèn)題，還需在以后的研究中予以進(jìn)一步分析與確認(rèn)。

[1] 卜廣志,張宇文.基于三參數(shù)區(qū)間數(shù)的灰色模糊綜合評(píng)判[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2001,（9）.

[2] 羅黨.三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)信息下的決策方法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2009,（1）.

[3] 王化中,強(qiáng)鳳嬌.基于三參數(shù)區(qū)間數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化及排序算法改進(jìn)的多屬性決策模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2016,（13）.

[4] 王娜,胡麗平,李炳軍.三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的距離熵模型及應(yīng)用研究[J].河南農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2014,（3）.

[5] 王鵬飛.基于灰熵的不確定多屬性決策問(wèn)題研究[D].南京：南京航空航天大學(xué)碩士論文,2009.

[6] 朱建軍,宋傳平,劉思峰等.一類三端點(diǎn)區(qū)間數(shù)判斷矩陣的一致性及權(quán)重研究[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2008,（1）.