均方誤差意義下預(yù)檢驗兩參數(shù)估計的優(yōu)良性

常新鋒

（江蘇大學(xué) 財經(jīng)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

1 問題的提出

考慮線性模型：

其中y是n×1的響應(yīng)向量，X是n×p的列滿秩設(shè)計矩陣，β是p×1的未知參數(shù)向量，ε是n×1服從正態(tài)分布的隨機誤差向量，ε的期望為E(ε)=0，方差為E(εε′)=σ2I，σ2＞0，I是n×n的單位矩陣。

模型（1）中參數(shù)向量β帶有的附加信息為以下等式約束：

其中r為q×1的隨機向量，R為q×p的行滿秩矩陣，且q＜p。

模型（1）中β的最小二乘估計和σ2的無偏估計分別為：

其中C=X′X。

當(dāng)研究者不能確定關(guān)于樣本信息的等式約束條件（2）是否成立時，考慮參數(shù)的假設(shè)檢驗H0:r=Rβ和備擇假設(shè)H1:r≠Rβ。原假設(shè)H0對應(yīng)備擇假設(shè)H1的似然比檢驗統(tǒng)計量為。當(dāng)備擇假設(shè)H1成立時，似然比檢驗統(tǒng)計量F為自由度為(q,n-p)的非中心F分布，非中心參數(shù)為(1 2)Δ ，其中

對附加信息為等式約束的線性模型（1），Judge和Bock[1]提出了基于F檢驗的預(yù)檢驗估計。結(jié)合預(yù)檢驗估計和嶺估計，Saleh和Kibria[2]提出了基于F檢驗的預(yù)檢驗嶺估計。Yuksel和Akdeniz[3]得到了基于F檢驗的預(yù)檢驗Liu估計。進一步地，Kibria和Saleh[4]提出了基于W，LR和LM檢驗的預(yù)檢驗嶺估計，并對估計的偏差和均方誤差等性質(zhì)做了研究。Kibria和 Saleh[5]，Saleh[6]，Yang 和 Xu[7]，Kibria[8]，Arashi等[9]對各類預(yù)檢驗估計的性質(zhì)進行了研究。

本文在Yang和Chang[10]提出的兩參數(shù)估計的基礎(chǔ)上，運用預(yù)檢驗估計的思想，提出預(yù)檢驗兩參數(shù)估計，新的估計包含了預(yù)檢驗估計，預(yù)檢驗嶺估計和預(yù)檢驗Liu估計。進而，在均方誤差準則下，給出預(yù)檢驗兩參數(shù)估計優(yōu)于預(yù)檢驗估計，預(yù)檢驗嶺估計和預(yù)檢驗Liu估計的充分條件。

2 預(yù)檢驗兩參數(shù)估計

為了克服模型（1）中的復(fù)共線性，Yang和Chang[10]提出的兩參數(shù)估計為：

考慮帶等式約束條件（2）的模型（1），結(jié)合Kaciranlar等[11]得到約束最小二乘估計的方法，提出約束兩參數(shù)估計為：

其中為約束最小二乘估計。

當(dāng)對模型（1）的約束條件（2）是否成立不確定時，結(jié)合兩參數(shù)估計，約束兩參數(shù)估計和預(yù)檢驗估計的思想，得基于F檢驗的預(yù)檢驗兩參數(shù)估計為：

其中I(A)為事件A的示性函數(shù)，F(xiàn)α表示自由度為(q,n-p)的中心F分布的上α分位數(shù)。

根據(jù)預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(k,d)的定義可知，當(dāng)k=0 ，d=1，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(0,1)即為Judge和Bock[1]提出的預(yù)檢驗估計；當(dāng)d=1，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(k,1)即為 Saleh 和 Kibria[2]提出的預(yù)檢驗嶺估計；當(dāng)k=0，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(0,d)即為Yuksel和Akdeniz[3]提出的預(yù)檢驗Liu估計。

預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(k,d)的期望，偏差和均方誤差為：

其中B=(C+I)-1[(k+1-d)C+k)](C+kI)-1，η=C-1R′(RC-1R′)-1(Rβ-r)，C(k)=X′X+kIp，A=C-1R′(RC-1R′)-1RC-1，l1=(q/(q+2))Fq,n-p(α) ，l2=(q/(q+4))Fq,n-p(α) ，Gm,n(·;Δ)表示自由度為(m,n)非中心參數(shù)為(1 2)Δ 的F分布的累計分布函數(shù)。

3 估計的優(yōu)良性

在均方誤差準則下，本文分別對預(yù)檢驗兩參數(shù)估計與預(yù)檢驗估計，預(yù)檢驗嶺估計和預(yù)檢驗Liu估計的優(yōu)良性作比較。為了研究方便，引入以下記號與引理。

存在正交矩陣P，使得P′CP= Λ=diag(λ1,…,λp)，λ1≥ … ≥λp＞0 ，θ=P′β=(θ1,…θp)′，=P′η=(1,…)′，且有：

引理1[12]：設(shè)矩陣A，B均為n×n的實對稱陣，且B為正定矩陣，對任意n×1的非零向量x，有成立，其中λ1(AB-1)和λn(AB-1)分別表示矩陣AB-1的最大特征值和最小特征值。

3.1 預(yù)檢驗兩參數(shù)估計PT(k,d)與預(yù)檢驗估計 PT

當(dāng)原假設(shè)H0成立時，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(k,d)和預(yù)檢驗估計的均方誤差之差為：

其中：

在備擇假設(shè)H1成立的情況下，預(yù)檢驗兩參數(shù)(k,d)和預(yù)檢驗估計的均方誤差之差為：

注意到Gq+2,n-p(l1;Δ)＞0 ，2Gq+2,n-p(l1;Δ)-Gq+4,n-p(l2;Δ)＞0 ，則MSE()-MSE((k,d))≥0 當(dāng)且僅當(dāng)：

其中：

根據(jù)引理1，可知：

綜合以上敘述，得以下定理：

定理1：當(dāng)原假設(shè)H0成立，對k＞0和 0＜d＜1，在均方誤差準則下，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(k,d)優(yōu)于預(yù)檢驗估計，即MSE()-MSE((k,d))≥0 只需 (d-1)λi2+k2λi+k2＞0成立。

定理2：當(dāng)備擇假設(shè)H1成立，對k＞0和0＜d＜1，在均方誤差準則下，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(k,d)優(yōu)于預(yù)檢驗估計，即MSE()-MSE((k,d))≥0 只需 Δ ＞ Δ1成立。

3.2 預(yù)檢驗兩參數(shù)估計 PT(k,d)與預(yù)檢驗嶺估計PT(k)

當(dāng)原假設(shè)H0成立時，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(k,d)和預(yù)檢驗嶺估計(k)的均方誤差之差為：

當(dāng)備擇假設(shè)H1成立時，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(k,d)和預(yù)檢驗嶺估計(k)的均方誤差之差為：

根據(jù)引理1，可知：

綜合以上敘述，可得以下定理：

定理3：當(dāng)原假設(shè)H0成立，對k＞0和 0＜d＜1，在均方誤差準則下，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(k,d)優(yōu)于預(yù)檢驗嶺估計(k)，即MSE((k))-MSE((k,d))≥0 只需σ2(1-λiiiGq+2,n-p(l1;0))(2λi+1+d)＞θi[(2k+1-d)λi+2k]成立。

定理4：當(dāng)備擇假設(shè)H1成立，對k＞0和0＜d＜1，在均方誤差準則下，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(k,d)優(yōu)于預(yù)檢驗嶺估計(k)，即MSE((k))-MSE((k,d))≥0 只需Δ＞Δ2成立。

3.3 預(yù)檢驗兩參數(shù)估計PT(k,d)與預(yù)檢驗Liu估計PT(d)

當(dāng)原假設(shè)H0成立時，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(k,d)和預(yù)檢驗Liu估計(d)的均方誤差之差為：

當(dāng)備擇假設(shè)H1成立時，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(k,d)和預(yù)檢驗Liu估計(d)的均方誤差之差為：

根據(jù)引理1，可知：

綜合以上敘述，可得以下定理：

定理5：當(dāng)原假設(shè)H0成立，對k＞0和 0＜d＜1，在均方誤差準則下，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(k,d)優(yōu)于預(yù)檢驗Liu 估計(d)，MSE((d))-MSE((k,d)) ≥ 0 只需(k-2d)λi-dk＞0成立。

定理6：當(dāng)備擇假設(shè)H1成立，對k＞0和0＜d＜1，在均方誤差準則下，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計(k,d)優(yōu)于預(yù)檢驗Liu 估計(d)，即MSE((d))-MSE((k,d)) ≥ 0 只需Δ＞Δ3成立。

4 結(jié)論

本文首先通過運用預(yù)檢驗的思想，提出了線性模型參數(shù)的預(yù)檢驗兩參數(shù)估計，可以看到預(yù)檢驗兩參數(shù)估計包含了預(yù)檢驗估計，預(yù)檢驗嶺估計和預(yù)檢驗Liu估計。最后，在均方誤差準則下，給出了預(yù)檢驗兩參數(shù)估計優(yōu)于預(yù)檢驗估計，預(yù)檢驗嶺估計和預(yù)檢驗Liu估計的充分條件。因此，預(yù)檢驗兩參數(shù)估計在理論和應(yīng)用上都是有意義的。

[1]Judge G G,Book M E.The Statistical Implications of Pre-test and Stein-rule Estimators in Econometrics[M].Amsterdam:North-Holland Publishing Company,1978.

[2]Saleh A K,Md E,Kibria B M G.Performances of Some New Preliminary Test Ridge Regression Estimators and Their Properties[J].Com-munications in Statistics-Theory and Method,1993,(22).

[3]Yuksel G,Akdeniz F.Properties of Some New Preliminary Test Liu Estimators and Comparisons With the Usual Preliminary Test Estimators[J].Journal of Statistical Research,2001,(35).

[4]Kibria B M G,Saleh A K,Md E.Effect of W,LR,and LM tests on the Performance of Preliminary Test Ridge Regression Estimators[J].Journal of the Japan Statistical Society,2003,(33).

[5]Kibria B M G,Saleh A K Md E.Preliminary Test Ridge Regression Estimators With Student’S T Errors and Conflicting Test Statistics[J].Metrika,2004,(59).

[6]Saleh A K,Md E.Theory of Preliminary Test and Stein-type Estimation With Applications[M].New York:John Wiley,2006.

[7]Yang H,Xu J.Preliminary Test Liu Estimators Based on the Conflicting W,Lr and Lm Tests in a Regression Model With Multivariate Student-t Error[J].Metrika,2011,(73).

[8]Kibria B M G.Some Liu and Ridge-type Estimators and Their Properties and the Ill-conditioned Gaussian Linear Regression Model[J].Journal of Statistical Computation and Simulation,2012,(82).

[9]Arashi M,Kibria B M G,Norouzirad M,et al.Improved Preliminary Test and Stein-rule Liu Estimators for the Ill-conditioned Elliptical Linear Regression Model[J].Journal of Multivariate Analysis,2014,(126).

[10]Yang H,Chang X.A New Two-parameter Estimator in Linear Regression[J].Communications in Statistics-Theory and Method,2010,(39).

[11]Kaciranlar S,Sakallioglu S,Akdeniz F,et al.A New Biased Estimator In Linear Regression and a Detailed Analysis of the Widely-analysed Dataset on Portland Cement[J].Sankhya,1999,(61).

[12]Anderson T W.An Introduction to Multivariate Statistical Analysis(2nd ed)[M]New York：John Wiley,1984.