讓初中生“畫”出幾何思維

胡昊+趙臨龍+霍小莉

【摘要】幾何和代數(shù)構(gòu)成初中數(shù)學(xué)的兩大模塊，學(xué)生學(xué)習(xí)幾何過程中普遍存在思維障礙，如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維成為廣大數(shù)學(xué)教師共同的關(guān)注點(diǎn).幾何的學(xué)習(xí)離不開幾何圖形，就像魚離不開水一樣，圖形構(gòu)成了幾何的靈魂，因此，幾何思維的培養(yǎng)也同樣離不開圖形.擬從“畫”圖這個(gè)角度來說明對(duì)培養(yǎng)幾何直觀、分析、發(fā)散思維所具有的重要作用.

【關(guān)鍵詞】幾何思維；幾何圖形；畫圖

思維是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的概括和間接反應(yīng)，幾何思維是以幾何圖形為符號(hào)語言，以對(duì)幾何對(duì)象的直接感知為基礎(chǔ)，建構(gòu)幾何知識(shí)和解決幾何問題的思維過程[1].初中階段的學(xué)生學(xué)習(xí)三角形、四邊形、圓等的性質(zhì)，內(nèi)容上由形象到抽象的過渡，使學(xué)生產(chǎn)生一系列的思維障礙.如直觀感知的缺乏、邏輯的混亂、知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用等，因此，常常聽到學(xué)生抱怨說幾何難學(xué)，成為學(xué)習(xí)路上的攔路虎.筆者認(rèn)為這是從小學(xué)的“了解”幾何到初中的“推理”幾何的必然過程，需要從幾何認(rèn)識(shí)上升到幾何推理.在上升中，由于缺乏相應(yīng)的幾何直觀思維、分析思維、發(fā)散思維，造成幾何難學(xué).

本文所提到的畫（作）圖主要指的是將題目中的文字語言、符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，這種方法是建立在學(xué)生對(duì)問題的探究和問題轉(zhuǎn)化之上，就像在解答幾何題目前，先進(jìn)行演算的過程.與尺規(guī)作圖相比較，畫圖仍然保持著嚴(yán)格的尺規(guī)作圖方法，但是又體現(xiàn)著由于學(xué)生思維的不同而產(chǎn)生幾何圖形的差異性，可以說根據(jù)題目畫圖是一種不逾矩的創(chuàng)造能力的體現(xiàn).現(xiàn)根據(jù)題目由學(xué)生自己畫出幾何圖形的方式，來逐步培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維做以具體的闡述.

一、由“畫”復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)幾何直觀思維基礎(chǔ)

幾何知識(shí)點(diǎn)就像一塊塊的磚，是進(jìn)行幾何解題的原料，思維就是對(duì)這些原料的加工.如何在題中更好地鞏固這些知識(shí)，筆者認(rèn)為讓學(xué)生自己根據(jù)題目要求，做出圖形是一種有效的方式.

例1 在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE為AB的垂直平分線，連接BD，試說明BD平分∠CBD.

分析 這是與線段垂直平分線知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的一道習(xí)題，教師指導(dǎo)學(xué)生自己畫出圖形.在作圖過程中嚴(yán)格要求學(xué)生用尺規(guī)作圖的方法做出其中關(guān)鍵線段DE，相應(yīng)的回顧垂直平分線的做法，并且有利于學(xué)生思考與垂直平分線有關(guān)的性質(zhì).在本題中正是利用已知角度和垂直平分線性質(zhì)解題的.畫出圖形（如圖1所示）.

學(xué)生通過自己的作圖，十分明了AD與BD的關(guān)系以及∠A和∠DBE、∠CBD的關(guān)系，最終得到∠DBE=∠CBD.說明了BD平分∠CBD.

在學(xué)生作圖的過程中不僅是復(fù)習(xí)了相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，而且由學(xué)生自己畫圖，直接在其腦海中留有圖形的直觀印象，從而更好地使學(xué)生能夠反應(yīng)出知識(shí)點(diǎn)，并且運(yùn)用知識(shí)點(diǎn).

二、由“畫”引思，促進(jìn)幾何分析思維

對(duì)一個(gè)問題產(chǎn)生了疑惑，該從哪些角度入手？或者對(duì)問題分幾類討論？這樣的思考都是有助于分析能力的提高，在幾何中也顯得尤為重要.

例2 （2015，江蘇宿遷中考）在四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點(diǎn)，連接BE并延長與AD的延長線相交于點(diǎn)F.

（1）求證四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積.

分析 原題中已經(jīng)給出了圖形，但是作為一道練習(xí)題目，還是要求學(xué)生自己作圖.如圖2，3，4所示.

在作圖過程中，學(xué)生會(huì)聯(lián)系起∠A=∠ABC=90°，為一組同旁內(nèi)角，由此得到線段AD，BC之間的平行關(guān)系，又因?yàn)镋是DC中點(diǎn)，由此可根據(jù)△DEF≌△CEB（AAS），證得EF=EB，由對(duì)角線互相平分可證得（1）.

然而此題的難點(diǎn)在于（2），由△BCD為等腰三角形的條件，求平行四邊形BDFC面積.在這里學(xué)生難以想到，對(duì)等腰△BCD按腰長進(jìn)行分類，即討論情況①若DC=BC，②若DB=BC，③若DC=DB.

如何恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生自己主動(dòng)意識(shí)到分類進(jìn)行討論，這道題無疑是培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)分析幾何問題很有價(jià)值的載體.我們第一步是要求學(xué)生自己畫出圖形，由于AB長并沒有給出，因此，圖2可寬可窄（如圖3，4所示），通過圖明顯可以使學(xué)生觀察出①DC=BC，②DB=BC，使學(xué)生感知到應(yīng)該將條件中等腰三角形按其兩腰相等進(jìn)行分類，共產(chǎn)生三種情況.此題還沒有完全解決，但是對(duì)學(xué)生來講最困難的部分已經(jīng)跨越了.接下來就是求平行四邊形的面積，只需找到合適的底與高即可.部分學(xué)生可能對(duì)求高存在一定的問題，觀察可發(fā)現(xiàn)高其實(shí)就是AB的長，在求高的計(jì)算過程中，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)剛才的分類討論有多么的重要.

在引導(dǎo)學(xué)生分類時(shí)，通過學(xué)生自己畫圖感知得出關(guān)鍵點(diǎn)，不斷地使學(xué)生分析問題直至得出結(jié)論，打破了傳統(tǒng)的由教師直接訴之的做法.在這個(gè)過程中學(xué)生全身心投入到對(duì)問題的思索當(dāng)中，由他們自己所畫而所思，由此可見畫圖是培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行幾何分析思維的有效途徑.

三、由“畫”引變，促進(jìn)幾何發(fā)散思維

在幾何圖形中，如果一個(gè)點(diǎn)的位置有所改變，那么最后得到的結(jié)論就會(huì)有所改變.

例3 在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在邊BC所在的直線上，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F.討論DE，DF，AC之間的關(guān)系.

分析 在這道題目里面并沒有明確指出點(diǎn)D的確切位置，因此，先以頂角為銳角時(shí)，等腰三角形做出圖如下所示.

其中圖5是學(xué)生最容易想到的，但是問題并不止于此，當(dāng)點(diǎn)D在BC左側(cè)時(shí)（如圖6所示），當(dāng)點(diǎn)D在BC右側(cè)時(shí)（如圖7所示）.點(diǎn)D的位置不同，導(dǎo)致最后結(jié)果也不同.

情況①：AC=DE+DF；

情況②：AC=DF-DE；

情況③：AC=DE-DF.

在此題中，根據(jù)學(xué)生自己作圖不僅僅得出DE、DF、AC之間的三種關(guān)系，而且還會(huì)更加生動(dòng)的使學(xué)生得出，點(diǎn)D位置的改變所帶來的不同影響.學(xué)生已經(jīng)探討了等腰三角形頂角為銳角的情況，自然會(huì)引發(fā)他們思索在頂角為直角、鈍角時(shí)是否依舊會(huì)得出這樣的結(jié)論呢？向?qū)W生所傳遞出數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和求真，學(xué)生的發(fā)散思維得到充分的訓(xùn)練.

如果沒有經(jīng)過學(xué)生親自作圖這個(gè)環(huán)節(jié)，那么他們失去的是一次發(fā)現(xiàn)的過程，得出的結(jié)論只是別人咀嚼過的殘羹剩食.

小結(jié) 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：初中階段的學(xué)生應(yīng)該具備一定的空間想象能力和基本的作圖技能，能借助于圖形有利于描述和分析問題，通過形象的圖形，同時(shí)采用數(shù)形結(jié)合的策略，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡潔明了.可見圖形中蘊(yùn)含著巨大的寶藏，要達(dá)到課標(biāo)所要求的，首先需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行幾何思維的培養(yǎng).通過根據(jù)題目由學(xué)生自己作圖能夠達(dá)到訓(xùn)練幾何的直觀思維、分析思維以及發(fā)散思維，并且通過學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，學(xué)生是真正地參與到解題過程中，在畫圖時(shí)不斷地讀題達(dá)到理解題目的目的.當(dāng)然方法不是唯一的，而且還有適用性，因此，在具體實(shí)踐環(huán)節(jié)針對(duì)不同的內(nèi)容、針對(duì)不同的學(xué)生要選擇合適的教學(xué)方法，才能展現(xiàn)出有效的教學(xué)效果.

（致謝：感謝趙臨龍導(dǎo)師對(duì)本文提出的有益建議）

【參考文獻(xiàn)】

[1]黃紅成.幾何思維能力培養(yǎng)的教學(xué)路徑[J].教學(xué)與管理，2016（5）：35-37.

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[3]盧英.初中生幾何思維水平的發(fā)展研究[D].重慶：西南大學(xué)，2014.endprint