分離參數(shù)法與分類討論法在求參數(shù)范圍問(wèn)題中的運(yùn)用

徐浩

一、問(wèn)題提出

通過(guò)高考數(shù)學(xué)試題研究不難發(fā)現(xiàn)，求不等式恒成立（有解）中參數(shù)取值范圍（最值）問(wèn)題是重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容之一，并且經(jīng)常在壓軸題中出現(xiàn).此類問(wèn)題涉及知識(shí)面廣，考題靈活，一直是考生的棘手問(wèn)題.

分離參數(shù)法與分類討論法是解決此類問(wèn)題常用的方法.分離參數(shù)法是通過(guò)分離參數(shù)，用函數(shù)觀點(diǎn)討論主變量的變化情況，由此可以確定參數(shù)的變化范圍.分類討論法即分類討論思想，是指在解決比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可將問(wèn)題所涉及的對(duì)象劃分為若干互不重疊的部分，然后分別求解或論證，最后綜合各類結(jié)果完成整個(gè)問(wèn)題的解決.

分離參數(shù)法是求參數(shù)范圍（最值）問(wèn)題比較快捷的方法，它直觀、明了，可以避免分類討論的麻煩，給做題帶來(lái)極大的方便，從而更受學(xué)生的“喜愛(ài)”.很多學(xué)生一遇到求參數(shù)問(wèn)題就采用分離參數(shù)法，分類討論法常常被冷落一邊.是不是所有的求參數(shù)問(wèn)題都可以采用分離參數(shù)法？分類討論是不是比較困難呢？答案顯然是否定的.下文將結(jié)合具體題目談?wù)剝煞N方法的運(yùn)用.

二、問(wèn)題探討

對(duì)于求一次、二次不等式中含參數(shù)取值范圍的較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，在這里不再贅述，下面結(jié)合解答題的例子談?wù)剝煞N方法的使用.

例 已知函數(shù)f（x）=2x+3lnx-x-2，g（x）=x2-4bx-14.若對(duì)任意x1∈（0，e]，都存在x2∈[0，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

思路探究 實(shí)質(zhì)是求f（x1）min≥g（x2）min恒成立問(wèn)題，其中x1∈（0，e]，x2∈[0，2].

解題過(guò)程呈現(xiàn) （方法一：分離參數(shù)法）

f′（x）=-2x2+3x-1=-x2+3x-2x2=-x2-3x+2x2（0

由f′（x）=0得x=1和x=2，

當(dāng)0

當(dāng)10；

∴f（x）在（0，1]和[2，e]上單調(diào)遞減，在[1，2]上遞增.

又f（1）=-1，f（e）=2e-e+1，

且f（e）-f（1）=-（e-1）2-3e>0，

∴x1∈（0，e]，f（x）min=f（1）=-1.

∵對(duì)任意x1∈（0，e]，都存在x2∈[0，2]，使得f（x1）≥g（x2），

∴只需當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，g（x）min≤-1，即x2-4bx-14≤-14bx≥x2+34在x∈[0，2]恒成立.

① 當(dāng)x=0時(shí)，不等式不成立；

② 當(dāng)0

∵x+34x≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x=34x（0

∴4b≥3，即b≥34，故b取值范圍為34，+∞.

（方法二：分類討論法）

由存在x∈[0，2]使得g（x）≤-1（求f（x）min同上）恒成立.

∵g（x）的對(duì)稱軸方程為x=2b，

∴① 當(dāng)2b<0即b<0時(shí)，g（x）min=g（0）=-14>-1，不合題意，舍去.

② 當(dāng)2b∈[0，2]即0≤b≤1時(shí)，g（x）min=g（2b）=-4b2-14≤-134≤b≤1；

③ 當(dāng)2b>2即b>1時(shí)，g（x）min=g（2）=154-8b≤-1b≥1932，所以b>1.

綜上所述，b取值范圍為34，+∞.

評(píng)注 x∈[0，2]，g（x）min≤-1恒成立，求b的取值范圍，采用分離參數(shù)法明顯優(yōu)于分類討論法.

三、問(wèn)題結(jié)論

1.對(duì)于含參數(shù)的不等式中，若分參后，主元式子（不含參的式子）不復(fù)雜，較為容易地求出對(duì)應(yīng)最值，最好選擇用分離參數(shù)法，因?yàn)榉蛛x參數(shù)比分類討論要直接，避免分類討論的麻煩.2.對(duì)于分參后，主元式子需要經(jīng)過(guò)一定構(gòu)造計(jì)算等問(wèn)題，既可以用分離參數(shù)法，也可以用分類討論，因?yàn)閮煞N方法都需要經(jīng)過(guò)一系列的轉(zhuǎn)化計(jì)算.3.對(duì)于很難分離出參數(shù)的或分參后，主元式子十分復(fù)雜、求不出最值，出現(xiàn)端點(diǎn)值無(wú)意義、“00”型（高中知識(shí)無(wú)法解決）等，只能用分類討論法，因?yàn)楦揪头植怀鰠?shù)或分參后無(wú)法求出相應(yīng)的最值.4.分離參數(shù)不是分離常數(shù)，在運(yùn)用分離參數(shù)法解決參數(shù)取值問(wèn)題時(shí)，可以分離出含有參數(shù)的式子，為求主元式子最值“減負(fù)”；在運(yùn)用分類討論解決參數(shù)取值問(wèn)題時(shí)，需要注意分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論.

分離參數(shù)法有時(shí)也不能避免討論，但是至少你需要研究的不含參的函數(shù)是不變的，所以一般具有很大的優(yōu)越性.分類討論法可以解決分離參數(shù)法不易解決的問(wèn)題，但分類討論法一般涵蓋知識(shí)點(diǎn)較多，具有明顯的邏輯特點(diǎn)，需要一定的分析能力和分類技巧，最重要的一條是“不漏不重”.總之，解題如同教學(xué)，“有法”但無(wú)“定法”，貴在“得法”.