三角函數(shù)的一種新命題趨勢(shì)

紀(jì)朝霞

對(duì)于“三角部分”的復(fù)習(xí)，大部分教師和學(xué)生認(rèn)為記住三角公式、正余弦定理和三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)并會(huì)熟練運(yùn)用即可，而對(duì)三角函數(shù)定義的理解、記憶和運(yùn)用的重視不夠.從三角函數(shù)的定義入手，設(shè)計(jì)三角函數(shù)的相關(guān)試題是學(xué)生的薄弱點(diǎn)、是學(xué)生知識(shí)的盲點(diǎn).此類試題，設(shè)計(jì)背景“原生態(tài)”關(guān)注三角函數(shù)的本質(zhì)問(wèn)題，注重考查“過(guò)程與方法”，深刻體現(xiàn)了新課標(biāo)對(duì)高考試題的命制要求.

一、正確認(rèn)識(shí)三角函數(shù)定義

三角函數(shù)的定義在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)，高中把角推廣到任意角，高中三角函數(shù)的定義需要學(xué)生從認(rèn)識(shí)上必須轉(zhuǎn)變，不能僅局限于直角三角形中的對(duì)邊比斜邊、鄰邊比斜邊、對(duì)邊比鄰邊，而是用角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)表示.

例1 設(shè)α是第二象限角，P（x，4）為其終邊上的一點(diǎn)，且cosα=x5，求tanα的值.

解析 ∵點(diǎn)P（x，4），∴r=x2+16，

∴cosα=xr=xx2+16=x5，∴x2=9.

∵α是第二象限角，∴x=-3，∴tanα=4-3=-43.

點(diǎn)評(píng) 此題從三角函數(shù)的定義入手設(shè)計(jì)問(wèn)題，屬于容易題，題目的設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔干練，主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度.

二、三角函數(shù)與單位圓

三角函數(shù)又稱圓函數(shù)，因?yàn)槿呛瘮?shù)的研究曾經(jīng)長(zhǎng)期在圓內(nèi)進(jìn)行，“圓函數(shù)”由此而得名.因此，以單位圓為背景，從三角函數(shù)定義入手，設(shè)計(jì)三角函數(shù)的相關(guān)試題深入考查對(duì)三角函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為210，255.

（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值.

解析 （1）由題意知cosα=210，cosβ=255，

∴sinα=7210，sinβ=55，

∴tanα=7，tanβ=12，

∴tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=7+121-7×12=-3.

（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=tan（α+β）+tanβ1-tan（α+β）tanβ=-3+121-（-3）×12=-1.

∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α+2β<3π2，

∴α+2β=3π4.

點(diǎn)評(píng) 此題以單位圓為背景，從三角函數(shù)的定義入手設(shè)計(jì)問(wèn)題，涉及了單位圓、三角函數(shù)定義、兩角和的正切公式等知識(shí)點(diǎn)，主要考查了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的掌握情況，深入考查了對(duì)三角函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

三、三角函數(shù)與平面向量

三角函數(shù)和平面向量是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具，這兩部分內(nèi)容不僅可互相滲透，也和其他數(shù)學(xué)分支進(jìn)行融合.以單位圓為背景，把三角函數(shù)定義和平面向量的概念融為一體設(shè)計(jì)的相關(guān)試題能很好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.

例3 如圖所示，A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在單位圓上，∠AOP=θ（0<θ<π）.點(diǎn)C（-2，0），平行四邊形OAQP的面積為S.

（1）求OA·OQ+S的最大值及此時(shí)θ的值θ0；

（2）若點(diǎn)B-35，45，∠AOB=α，在（1）的條件下求cos（α+θ0）；

（3）若點(diǎn)B是單位圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且CB∥OP，求sin2θ-π6的值.

解析 （1）由已知得A（1，0），P（cosθ，sinθ）.

∵OQ=OA+OP=（1+cosθ，sinθ），

∴OA·OQ=1+cosθ.

又∵平行四邊形OAQP的面積

S=|OA||OP|sinθ=sinθ，

∴OA·OQ+S=1+cosθ+sinθ=2sinθ+π4+1.

又∵0<θ<π，

∴當(dāng)θ=π4時(shí)，OA·OQ+S的最大值為2+1.

（2）∵B-35，45，∠AOB=α，

∴cosα=-35，sinα=45，

∴cos（α+θ0）=cosα+π4=22（cosα-sinα）=-7210.

（3）由題意知CB=（2，1），OP=（cosθ，sinθ）.

∵CB∥OP，∴2sinθ=cosθ.

∵sin2θ+cos2θ=1，∴sin2θ=15，cos2θ=45，

∴sin2θ=2sinθcosθ=4sin2θ=45，cos2θ=cos2θ-sin2θ=35，

∴sin2θ-π6=sin2θcosπ6-cos2θsinπ6=43-310.

點(diǎn)評(píng) 本題以三角函數(shù)的定義為試題設(shè)計(jì)的入手點(diǎn)，對(duì)平面向量與三角函數(shù)進(jìn)行了交匯考查，考查了推理論證能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)以及創(chuàng)新意識(shí)；考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.endprint