數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)中的輔助運(yùn)用

馬燕

【摘要】幾何畫板作為一款教育軟件，其強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)演示功能能夠較好地為學(xué)生提供“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的環(huán)境，軟件在課堂教學(xué)中的恰當(dāng)運(yùn)用能夠增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)、拓展學(xué)生的探究空間，從而引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力（簡(jiǎn)稱“四能”）.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的核心知識(shí)需要學(xué)生自主建構(gòu)，數(shù)學(xué)思想方法需要強(qiáng)化運(yùn)用，因此，本文以中考復(fù)習(xí)課“圓”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，以具體的教學(xué)內(nèi)容和設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)為載體，從開(kāi)放的平臺(tái)、探究環(huán)境以及實(shí)驗(yàn)功能幾個(gè)方面描述了幾何畫板軟件在本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)中的輔助運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】幾何畫板；“四能”理念；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；自主探究；復(fù)習(xí)課

一、運(yùn)用幾何畫板的開(kāi)放平臺(tái)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

圖1

問(wèn)題情境 如圖1所示，已知圓M的圓心在x軸上，與兩坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A，B，C，D，其中B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）.想一想，根據(jù)已有信息，你能得到哪些結(jié)論，其中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？

生：基本圖形，如子母直角三角形、等腰三角形.

生：由D點(diǎn)的坐標(biāo)（0，-4）及圓的對(duì)稱性，我得到了C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）.

生：我可以計(jì)算出圓的半徑為5.

師：你是怎么求的？數(shù)學(xué)依據(jù)是什么？

生：連接MD，由勾股定理可以得到OM=3，圓的半徑為5.

生：除了可以得到點(diǎn)的坐標(biāo)外，我還能計(jì)算出線段AC的長(zhǎng)度以及BC，AC的函數(shù)解析式等.

（一）開(kāi)放性問(wèn)題情境的設(shè)置體現(xiàn)“四能”教學(xué)的基本要求

教師給出了這樣一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，并且給學(xué)生提供一定的時(shí)間和空間，旨在引領(lǐng)學(xué)生回顧舊知，在學(xué)生們都感覺(jué)到很熟悉的這個(gè)圖形中嘗試發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題.教師充分運(yùn)用了學(xué)生已有的相關(guān)知識(shí)，以開(kāi)放式問(wèn)題為載體，初步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，進(jìn)而為分析問(wèn)題、解決問(wèn)題做好準(zhǔn)備，培養(yǎng)了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，有效地建構(gòu)知識(shí)體系.

（二）幾何畫板軟件的輔助功能

幾何畫板軟件樸實(shí)無(wú)華的界面，體現(xiàn)了以數(shù)學(xué)內(nèi)涵為根本，簡(jiǎn)單易懂的畫圖操作實(shí)現(xiàn)了添加輔助線與還原圖形之間的順利切換，簡(jiǎn)單的“動(dòng)態(tài)幾何”則完成了基本圖形的提取，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)了基本方法和基本解題策略的鞏固.

二、運(yùn)用幾何畫板的探究環(huán)境，強(qiáng)化核心知識(shí)

（一）操作探究，體驗(yàn)方法

圖2

探究性問(wèn)題1 如圖2所示，你能在圖中找到一點(diǎn)E，使得弧BE的度數(shù)是60°嗎？說(shuō)說(shuō)你的想法.你能確定弦BE所對(duì)的圓周角的度數(shù)嗎？

在探究性問(wèn)題1中，學(xué)生們由等邊三角形的性質(zhì)順利完成了點(diǎn)E1，E2的確定，但對(duì)于弦BE所對(duì)的圓周角的度數(shù)問(wèn)題，卻出現(xiàn)了漏解.教師通過(guò)請(qǐng)不同學(xué)生上來(lái)在幾何畫板中將弦BE1所對(duì)的圓周角畫出來(lái)，并提問(wèn)：“你們找的這些角的頂點(diǎn)有什么特點(diǎn)？這些圓周角的頂點(diǎn)一定要在優(yōu)弧上嗎？”學(xué)生們頓悟，角的頂點(diǎn)也可在劣弧上.

（二）規(guī)律探究，選擇策略

圖3

探究性問(wèn)題2 如圖3所示，若點(diǎn)I為圓M上的任意一點(diǎn)，你能嘗試探索∠BIC和∠ADC的數(shù)量關(guān)系嗎？

在探究性問(wèn)題2中，學(xué)生們都注意到了分類的問(wèn)題，分別在圓上取了I1和I2兩個(gè)點(diǎn)，主動(dòng)地探索兩種情況下角的數(shù)量關(guān)系.

生：我的思路是將動(dòng)點(diǎn)I1與D點(diǎn)重合，此時(shí)兩個(gè)角的和為90°，理由是直徑所對(duì)的圓周角為直角.

師：這個(gè)想法很好，先從特殊的位置觀察，猜想結(jié)論.

生：連接AI1，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可得∠ADC=∠AI1C，從而轉(zhuǎn)化為直徑所對(duì)的圓周角解決.

師：很好，還有其他的方法嗎？大家可別忘了在圓中扮演著圓心角和圓周角之間媒介作用元素是什么？

（學(xué)生們說(shuō)道：“是弧！”）

師：那我們是否可以嘗試從弧的角度去解決問(wèn)題呢？

（教師引導(dǎo)學(xué)生感受將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為弧的度數(shù)即半圓的度數(shù)，解決了此題.）

師：在這些方法中你最喜歡哪個(gè)？它們之間有聯(lián)系嗎？

（三）推理探究，體現(xiàn)角度

圖4

探究性問(wèn)題3 如圖4所示，若要使過(guò)點(diǎn)C的直線l為圓M的切線，需要添加一個(gè)怎樣的條件，請(qǐng)說(shuō)明理由.

生：可以添加條件，使得∠DCA=∠CBA，連接CM，可證得CM⊥CD.

師：很好，還有別的方法嗎？

生：我是通過(guò)倒推的思路，若CM⊥CD，則有△MCO與△MDC相似，可計(jì)算出DM的長(zhǎng)度，從而確定D點(diǎn)的坐標(biāo).

生：因?yàn)椤螹CO=∠CDM，故可以利用∠MCO的正切值計(jì)算出OD的長(zhǎng)度.

在強(qiáng)化核心知識(shí)的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師分別設(shè)置了操作探究、規(guī)律探究和推理探究幾種類型的探究性問(wèn)題.通過(guò)這些問(wèn)題的設(shè)置，一方面，是讓學(xué)生主動(dòng)暴露知識(shí)的漏洞和思維的不足；另一方面，也體現(xiàn)了復(fù)習(xí)課的特征，即構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的同時(shí)理解數(shù)學(xué)核心知識(shí)之間的內(nèi)部聯(lián)系，感受分類、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與技能轉(zhuǎn)化為分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

① 幾何畫板較好的畫圖操作性得到了體現(xiàn)，對(duì)于問(wèn)題1，我們可以在軟件中運(yùn)用相關(guān)的功能，像使用圓規(guī)、三角板一樣方便地完成作圖，教師在講解時(shí)可當(dāng)堂操作，為幫助學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納等活動(dòng)創(chuàng)設(shè)了良好的幾何背景.

② 幾何畫板可以在圖形運(yùn)動(dòng)中動(dòng)態(tài)地保持幾何關(guān)系，如問(wèn)題2，則可以把“形”和“數(shù)”的潛在關(guān)系及其變化動(dòng)態(tài)的過(guò)程顯現(xiàn)在屏幕上，從而引導(dǎo)學(xué)生在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)不變的幾何規(guī)律.

三、運(yùn)用幾何畫板的實(shí)驗(yàn)功能，嘗試經(jīng)驗(yàn)遷移

拓展性問(wèn)題 我們已經(jīng)研究了直線和圓的位置關(guān)系，如果我們改變研究的對(duì)象， 將“圓”改為“正方形”，你會(huì)提出哪些問(wèn)題？用什么方法開(kāi)展研究？

生：類比于圓和直線的位置關(guān)系，我會(huì)研究正方形和直線有哪些位置關(guān)系.

師：很好，那你覺(jué)得會(huì)有哪些位置關(guān)系？

生：類比于圓和直線的位置關(guān)系，我想會(huì)不會(huì)也有相離、相交和相切呢？

師：大家如何想這個(gè)問(wèn)題？又該如何研究呢？

生：我覺(jué)得可以看正方形和直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

生：我覺(jué)得可以看正方形的中心到直線的距離.

師：大家說(shuō)得很好，能夠由學(xué)習(xí)“直線和圓的位置關(guān)系”的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提出非常有價(jià)值的研究問(wèn)題，而且還能夠設(shè)計(jì)出類似的研究思路和方法，太了不起啦！請(qǐng)大家課后嘗試思考，如果繼續(xù)改變研究對(duì)象，你還會(huì)有怎樣的想法？

（一）拓展性問(wèn)題設(shè)置體現(xiàn)“四能”教學(xué)的深層意義

最后，以“正方形和直線的位置關(guān)系”這一新問(wèn)題進(jìn)行拓展，這就進(jìn)一步提供了培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)的契機(jī).我們不難看出，學(xué)生們已經(jīng)具備了研究?jī)煞N圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單想法.稍加點(diǎn)撥，學(xué)生們就會(huì)嘗試將這些研究方法運(yùn)用在新的研究對(duì)象上，這種數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的遷移對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的整體邏輯思維是大有裨益的.

（二）幾何畫板軟件的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

學(xué)生可以通過(guò)自主畫圖并運(yùn)用幾何畫板中的計(jì)算和動(dòng)態(tài)演示功能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，自覺(jué)地將解決“直線和圓的位置關(guān)系”中的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移，這種“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的環(huán)境，使學(xué)生由過(guò)去枯燥乏味的“聽(tīng)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)檎嬲摹白鰯?shù)學(xué)”.

應(yīng)該說(shuō)，本節(jié)復(fù)習(xí)課努力以問(wèn)題為主線，注意啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使他們經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、反思等理性思維的基本過(guò)程，而幾何畫板的輔助功能使學(xué)生更加主動(dòng)地、富有探索性地學(xué)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，提升解決問(wèn)題的能力.endprint