基于最近發(fā)展區(qū)的一元二次方程的解法（第一課時(shí)）課例分析

劉其虎

蘇聯(lián)著名教育家維果斯基認(rèn)為，兒童至少要確定兩種發(fā)展水平.一種是現(xiàn)有的（或當(dāng)前的）發(fā)展水平，指的是兒童在完成一定發(fā)展程序的基礎(chǔ)之上所形成的心理發(fā)展水平，表現(xiàn)為兒童能夠獨(dú)立地解決問(wèn)題；另一種是潛在的（或未來(lái)的）發(fā)展水平，即兒童可能完成的發(fā)展水平，表現(xiàn)為兒童不能獨(dú)立地完成需要解決的任務(wù)，但在教師或成人的幫助下，通過(guò)模仿和努力所達(dá)到的解決問(wèn)題的水平，也是通過(guò)教學(xué)所獲得的潛力.最近發(fā)展區(qū)指的是這兩者之間的差距，即兒童現(xiàn)有的發(fā)展水平與經(jīng)過(guò)他人的幫助可以達(dá)到的較高水平之間的差距.

基于最近發(fā)展區(qū)的理論，筆者對(duì)蘇科版解一元二次方程第一課時(shí)進(jìn)行如下教學(xué)設(shè)計(jì)和分析.

一、教學(xué)流程與解讀

環(huán)節(jié)1 經(jīng)歷回顧并提出問(wèn)題的過(guò)程——明確研究問(wèn)題.

師：我們以前學(xué)過(guò)的一元一次方程研究過(guò)哪些內(nèi)容？

生：研究了一元一次方程的概念、解法和應(yīng)用.

師：在以上的研究基礎(chǔ)上，我們現(xiàn)在已經(jīng)研究了一元二次方程的概念了，接下來(lái)可以研究什么了.

生：可以研究一元二次方程的解法及應(yīng)用了.

師：好的，我們已經(jīng)會(huì)解一元一次方程、二元一次方程組和分式方程，那么像解二元一次方程組和分式方程一樣，能否將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解呢？本節(jié)課就來(lái)研究一元二次方程的解法.

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步明確對(duì)一元二次方程整章的知識(shí)內(nèi)容，明確一元二次方程的解法是要轉(zhuǎn)化為一元一次方程，并揭示本節(jié)課課題.

環(huán)節(jié)2 復(fù)習(xí)平方根，復(fù)述平方根的定義.

（1）填空：9的平方根是；81的平方根是；7的平方根是.

（2）平方根的定義是什么？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)本環(huán)節(jié)是為了幫助學(xué)生理解本節(jié)課的直接開(kāi)平方法的依據(jù)就是平方根的意義，抓住學(xué)生的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，有利于學(xué)生更好地理解直接開(kāi)平方法是從哪里來(lái)到哪里去.

環(huán)節(jié)3 初探解法.

師：根據(jù)以上所復(fù)習(xí)的內(nèi)容，你認(rèn)為自己能解一些一元二次方程嗎？請(qǐng)舉例并說(shuō)明解法.

生：x2=4，x=±2.

師：為什么這個(gè)方程的解是x=±2？

生：因?yàn)閤2=4，x是4的平方根，所以是±2？

師：規(guī)范寫(xiě)法，x1=2，x2=-2，還能再舉難度稍大的一元二次方程嗎？

生：4x2=16，5x2-10=0.

師板書(shū)規(guī)范解答過(guò)程.

師：觀察、思考以上解答過(guò)程，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)這種解法的依據(jù)是什么？

生：依據(jù)是平方根的意義.

師：所以我們給這種方法取個(gè)名字可以叫什么呢？

師板書(shū)課題：直接開(kāi)平方法.

設(shè)計(jì)意圖：抓住學(xué)生已經(jīng)會(huì)解一些簡(jiǎn)單的一元二次方程這一“最近發(fā)展區(qū)”，鼓勵(lì)學(xué)生自己舉例并說(shuō)明方法，相對(duì)于教師拋出的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)更有求知的沖動(dòng)和欲望，打破教師提出問(wèn)題的常規(guī)，同時(shí)揭示本節(jié)課的解法及依據(jù).

小結(jié)：由原題得到x+2=3，x+2=-3，這一步的依據(jù)是什么？這兩個(gè)方程是什么方程？

師：解一元二次方程的基本思想是把二次降為一次，體現(xiàn)的是轉(zhuǎn)化思想，就像二元一次方程組和分式方程都要轉(zhuǎn)化為一元一次方程一樣.下面你們能繼續(xù)自己舉一些一元二次方程來(lái)給大家解解看嗎？

生：2（x-2）2=8.

生：3（x-2）2-9=0.

師再出示方程：（2x-3）2=（2-x）2.

師出示方程：x2=-4，（x+2）2=-3.

師：這兩個(gè)方程會(huì)解嗎？

生：不能解.

師：為什么不能解？

生：因?yàn)槿魏我粋€(gè)數(shù)的平方不能為負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

師：所以通過(guò)這兩個(gè)一元二次方程我們可以認(rèn)識(shí)到什么？

生：并不是所有的一元二次方程都有解.

師：不是所有的一元二次方程都有實(shí)數(shù)根，那么什么樣的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，什么樣的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根呢？我們以后會(huì)專門研究這個(gè)問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)先由教師拋出問(wèn)題再由學(xué)生自己提出問(wèn)題，得出形如a（x+k）2=b（a，k，b為常數(shù)，a≠0）的一元二次方程的解法，并和二元一次方程組和分式方程聯(lián)系起來(lái)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到解一元二次方程的基本思想是降次，是轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

環(huán)節(jié)4 課堂小結(jié).

對(duì)照下列問(wèn)題清單回答：

（1）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用什么方法解一元二次方程？這種方法的依據(jù)是什么？

（2）請(qǐng)你再舉幾個(gè)能用直接開(kāi)平方法解的一元二次方程.

（3）通過(guò)本課學(xué)習(xí)，你對(duì)解一元二次方程有什么認(rèn)識(shí)？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解直接開(kāi)平方法解一元二次方程的數(shù)學(xué)依據(jù)和要注意的一些問(wèn)題，并認(rèn)識(shí)到有的一元二次方程可能無(wú)實(shí)數(shù)根.

二、教后反思

1.課堂教學(xué)要找準(zhǔn)學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”.基于最近發(fā)展區(qū)的理論，筆者認(rèn)為，本節(jié)課是解一元二次方程的第一課時(shí)，學(xué)生已經(jīng)具備的發(fā)展水平是一元二次方程的概念、一般形式和平方根的概念、一元一次方程、二元一次方程組、分式方程的解法，教師要從學(xué)生的認(rèn)知水平和心理發(fā)展特征出發(fā)，利用學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，引導(dǎo)學(xué)生自己提出認(rèn)為會(huì)解的一元二次方程，從易到難，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，主動(dòng)建構(gòu)用直接開(kāi)平方法解一元二次方程的知識(shí)結(jié)構(gòu)，基礎(chǔ)較好的班級(jí)甚至可以跨越到用配方法、因式分解法解一元二次方程.

2.做到“三個(gè)理解”.近年來(lái)章建躍博士提出的“三個(gè)理解”（即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)）在一線教師中產(chǎn)生了廣泛的影響，筆者也深受啟發(fā)，在本節(jié)課的教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí)，理解和本節(jié)內(nèi)容相關(guān)的知識(shí)背景，理解本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)，充分考慮學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，以“學(xué)”定問(wèn)，從復(fù)習(xí)引入、探究新知、課堂訓(xùn)練、歸納小結(jié)幾方面入手，利用學(xué)生自己提出的簡(jiǎn)單的已經(jīng)會(huì)解的一元二次方程入手，由易到難，真正以學(xué)生為主體，不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)能力，把難點(diǎn)放在探究形如a（x+k）2=b（a，k，b為常數(shù)，a≠0）的一元二次方程的解法上，并培養(yǎng)學(xué)生的分類思想.

3.對(duì)于本節(jié)課，筆者有一個(gè)大膽的設(shè)想，可以打破教材安排，可根據(jù)學(xué)生舉的其他能用因式分解法或配方法的一元二次方程，如果班級(jí)學(xué)生整體水平較高，可把直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法進(jìn)行適當(dāng)整合來(lái)教學(xué)，當(dāng)然這還是一個(gè)設(shè)想還沒(méi)有實(shí)行過(guò).