高中數(shù)學(xué)教學(xué)中直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)策略研究

張濡川

【摘要】隨著課程改革的不斷推進(jìn)以及“核心素養(yǎng)體系”概念的提出，如何在實(shí)際教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)也成為目前熱議的問題.本文主要針對高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)中的直觀想象素養(yǎng)進(jìn)行深入研究.在實(shí)際的數(shù)學(xué)結(jié)論教學(xué)活動(dòng)中，重視學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生理解和掌握概念、定理、公式等數(shù)學(xué)結(jié)論，有利于提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，同時(shí)也有利于培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力以及對圖形感知力.

【關(guān)鍵詞】直觀想象素養(yǎng)；高中結(jié)論教學(xué)；培養(yǎng)策略

所謂“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.近幾年來，有關(guān)高中生直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)方面的研究有很多，但很少有人在數(shù)學(xué)結(jié)論教學(xué)方面做深入的研究，本文則著重研究在實(shí)際的數(shù)學(xué)結(jié)論教學(xué)活動(dòng)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).通過對文獻(xiàn)的梳理以及實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，主要概括為以下幾點(diǎn).

一、要聯(lián)系生活實(shí)際，重視幾何模型的制作與應(yīng)用

在人教版高中數(shù)學(xué)教材中，立體幾何初步這部分的內(nèi)容與幾何模型的制作與應(yīng)用有著密切聯(lián)系.這部分課程內(nèi)容主要安排在必修2和選修2-1.[1]教師在講解立體幾何初步這部分內(nèi)容時(shí)，可以先引導(dǎo)學(xué)生對現(xiàn)實(shí)實(shí)物進(jìn)行觀察，然后在制作的過程中思考一些重要問題，比如，要制作的這個(gè)幾何模型由幾個(gè)面組成？每個(gè)面都是什么形狀？這些面能否在一張紙上剪裁出來？等等，一連串的基于幾何直觀分析的思考過程.通過模型的制作，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)空間幾何體的一些本質(zhì)特征，同時(shí)可以感知點(diǎn)、線、面之間的位置以及長度關(guān)系，這將為學(xué)生之后學(xué)習(xí)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系及相關(guān)的判定定理、性質(zhì)打下一定的基礎(chǔ).同時(shí)幾何模型的應(yīng)用也不容忽視.

例1 已知1張平面可以把空間分為2部分，2張平面最多可以把空間分為4部分，由空間直角坐標(biāo)系可知，3張平面最多可以把空間分為8部分，那么4張平面最多可以把空間分為多少部分呢？

分析 教師可以先讓學(xué)生通過畫圖來分析，在二維空間中3條直線將平面最多分為幾部分時(shí)直線要滿足的條件（如圖1所示），得出“任意兩條直線相交；三條直線不共點(diǎn)”.即可以得出當(dāng)3條直線圍成一個(gè)三角形時(shí)，這3條直線就可以將平面分成最多部分，共7個(gè)部分.圍成的三角形的內(nèi)部是1個(gè)平面，與三角形共1線、1點(diǎn)的三個(gè)部分是三個(gè)平面.接下來引導(dǎo)學(xué)生分析在三維空間中4個(gè)平面將空間分成最多部分時(shí)需滿足的條件.類比之前的推理可以得出，任意的兩個(gè)平面都相交，并且任意三個(gè)平面都不共線，并且交線不平行時(shí)可將空間分成最多部分，即分析空間中四面體的四個(gè)面分隔空間的情況.

二、要結(jié)合幾何直觀圖形加強(qiáng)對數(shù)學(xué)結(jié)論幾何意義的理解

近幾年來，在教材的處理上越來越重視概念、公式以及定理的數(shù)與形的雙重特征.[2]但由于某些因素，教材中并沒有深入地分析其幾何意義.教師在講解時(shí)如果不進(jìn)一步介紹，容易導(dǎo)致學(xué)生過度的重視語言和符號表示，難以體會到知識的本質(zhì).在解一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生知道自己的解題方法比借助幾何直觀與想象復(fù)雜，但仍然堅(jiān)持用原有的解題方法.原因就在于學(xué)生對一些數(shù)學(xué)結(jié)論的幾何意義以及數(shù)學(xué)結(jié)論間的幾何關(guān)系理解不夠透徹，難以找到解題方法的突破點(diǎn).這就要求教師在教學(xué)過程中注重幾何意義的講解，運(yùn)用直觀圖形來幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)結(jié)論的理解.

例2 向量a、向量b的數(shù)量積a·b=|a||b|cosθ，幾何意義為a的長度與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積，即圖2中|OA|與|OB′|的乘積.

把數(shù)量積通過圖形直觀的展示出來，這樣數(shù)量積的幾何意義就十分清晰了.將代數(shù)式的抽象性與具有幾何意義的直觀圖形緊密結(jié)合起來，有助于學(xué)生對數(shù)量積概念的理解.[3]

三、要注重對數(shù)學(xué)結(jié)論直觀背景的分析

教師在數(shù)學(xué)結(jié)論及其證明的教學(xué)中，不僅要對給出的背景材料進(jìn)行分析，而且應(yīng)盡可能地畫出相關(guān)的幾何直觀圖形，并根據(jù)圖形闡述清楚證明的思路，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會證明方法的幾何思想，進(jìn)而對結(jié)論進(jìn)行證明.如果課堂中沒有設(shè)置這樣的直觀背景上的分析過程，大部分學(xué)生恐怕只能盡量跟著教師去理解每一步的形式化推導(dǎo)，無法去了解整個(gè)證明的直觀思路，一旦讓他們自己進(jìn)行推導(dǎo)證明，就又不會了.其次，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生用自然語言表達(dá)對數(shù)學(xué)結(jié)論的直觀感受，引導(dǎo)學(xué)生使用自然語言對數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)和形成過程進(jìn)行表述，對數(shù)學(xué)結(jié)論形成正確的理解與認(rèn)識.[4]

例3 在學(xué)習(xí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，較為普遍的引入方法則是結(jié)合高斯求解1+2+3+…+n=12n（n+1）的過程化證明方法.此時(shí)可以利用教材在數(shù)列概念中涉及的三角形數(shù)，結(jié)合數(shù)形理論的直觀化背景素材，讓學(xué)生感受公式的具體直觀化證明.

圖3

這時(shí)，根據(jù)圖3所示，教師可以在三角形數(shù)旁邊補(bǔ)上一個(gè)倒立的三角形數(shù)，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行談?wù)摲治觯U述直觀求解1+2+3+…+n=12n（n+1）的思路.

【參考文獻(xiàn)】

[1]武潔，劉宇航，高智中等.試論幾何直觀在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].科技信息，2010（8）：498-499.

[2]劉曉玫.對“幾何直觀”及其培養(yǎng)的認(rèn)識與分析[J].中國數(shù)學(xué)教育，2012（1）：23-25.

[3]黃阿拈.例談在高中教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力[J].數(shù)學(xué)教育與研究，2015（24）：62.

[4]苑建廣.對幾何直觀教學(xué)的思考[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014（5）：35-41.