已知平面與高程點不同時的嚴密三維基準(zhǔn)變換

曹 旭,沈云中

(同濟大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院，上海 200092)

在GNSS測量工程應(yīng)用中經(jīng)常需要進行三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換[1]。根據(jù)旋轉(zhuǎn)與尺度參考點的不同定義，三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型：Bursa-Wolf模型、Molodensky模型及武測模型等[2]。傳統(tǒng)的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型只考慮了公共點的一套坐標(biāo)誤差，對另一套坐標(biāo)誤差不予考慮，利用線性或非線性坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型進行解算[3-7]。同時，諸多學(xué)者也對整體最小二乘的解法進行了研究[8-10]。文獻[11]提出顧及兩套坐標(biāo)誤差的Bursa模型坐標(biāo)變換方法，基于公共點兩套坐標(biāo)改正數(shù)加權(quán)平方和最小為準(zhǔn)則解算轉(zhuǎn)換參數(shù)，根據(jù)公共點與轉(zhuǎn)換點間的互協(xié)方差陣，利用公共點坐標(biāo)的改正數(shù)推估出轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)的改正數(shù)，顯著提高了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。文獻[12]提出無縫三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型，同時考慮公共點的兩套坐標(biāo)誤差和轉(zhuǎn)換點的坐標(biāo)誤差，將計算轉(zhuǎn)換參數(shù)和變換轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)聯(lián)合處理，坐標(biāo)精度得到進一步改善。文獻[13]針對常規(guī)控制網(wǎng)平面和高程控制網(wǎng)分開布設(shè)的特點，利用過渡坐標(biāo)系改進了三維坐標(biāo)變換模型，并不需要三維已知點，分別利用常規(guī)控制網(wǎng)的平面坐標(biāo)和高程解算7個轉(zhuǎn)換參數(shù)。

本文基于平面和高程控制網(wǎng)分開布設(shè)的實際情況，同時顧及兩套坐標(biāo)都存在誤差，導(dǎo)出相應(yīng)的基準(zhǔn)變換參數(shù)解算模型，并用算例說明了本文模型的優(yōu)點。

1 三維基準(zhǔn)變換模型

當(dāng)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)角是小角度時，三維基準(zhǔn)變換的Bursa模型[14]：

(1)

其中，TX，TY和TZ為三個平移參數(shù)，ωX，ωY和ωZ是三個旋轉(zhuǎn)參數(shù)，k為尺度參數(shù)；[XiYiZi]T為第i點的三維坐標(biāo)，上標(biāo)I和II表示兩套坐標(biāo)系。

當(dāng)旋轉(zhuǎn)和尺度參數(shù)相對于參考點K時，稱為Molodensky模型[13]，其變換為

(2)

其中，[ΔXKiΔYKiΔZKi]T=[Xi-XKYi-YKZi-ZK]T。

文獻[13]提出將原有的坐標(biāo)系先繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)Li角，再繞Y軸順時針旋轉(zhuǎn)90°+Bi角，最后Z軸反向，得到過渡坐標(biāo)系O-xyz，其中，Li和Bi為平面坐標(biāo)與高程分開的那個坐標(biāo)系的第i點的經(jīng)度與緯度。變換的旋轉(zhuǎn)矩陣：

在式(2)兩邊同時左乘Ri，可得

(3)

(4)

其向量和矩陣形式為

(5)

Ai=

對于平面控制點，只選取式(4)中的前兩個方程；對于高程控制點，只選取式(4)中的第三個方程。

2 基準(zhǔn)變換參數(shù)的解算模型

如果有n個公共點，其編號從1～n，則其誤差方程為

VII-RVI=Aξ-(LII-RLI).

(6)

2ST(VII-RVI-Aξ+LII-RLI)=min.

(7)

其中，S為聯(lián)系數(shù)向量，Q11,I為公共點的GNSS控制網(wǎng)坐標(biāo)系下的協(xié)因數(shù)陣，Q11,II為平面與高程分開布設(shè)的公共點對應(yīng)的傳統(tǒng)控制網(wǎng)坐標(biāo)系下的協(xié)因數(shù)陣。分別對殘差向量VI，VII和參數(shù)向量ξ求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得

(8)

由式(8)前兩式得

RVI=-RQ11,IRTS，VII=Q11,IIS.

(9)

兩式相減得

VII-RVI=(RQ11,IRT+Q11,II)S.

(10)

將其代入式(6)，得

S=(RQ11,IRT+Q11,II)-1

(Aξ-LII+RLI).

(11)

將式(11)代入式(8)中第三個方程，得

AT(RQ11,IRT+Q11,II)-1Aξ=

AT(RQ11,IRT+Q11,II)-1(LII-RLI).

(12)

所以，平面與高程分開布設(shè)的顧及兩套坐標(biāo)誤差的三維基準(zhǔn)變換的轉(zhuǎn)換參數(shù)解為

AT(RQ11,IRT+Q11,II)-1(LII-RLI).

(13)

由式(13)可以解出轉(zhuǎn)換參數(shù)后，代入式(11)計算聯(lián)系數(shù)向量S后，再由式(9)計算改正數(shù)向量VI和VII。因R是正交矩陣，式(9)的左式也可表示為

VI=-Q11,IRTS.

(14)

V2,I=Q21,I(Q11,I)-1VI.

(15)

利用式(15)對第一套GNSS控制網(wǎng)轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)進行改正，并用得到的轉(zhuǎn)換參數(shù)轉(zhuǎn)換改正后的轉(zhuǎn)換點，得到轉(zhuǎn)換點在另一套坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，即常規(guī)控制網(wǎng)坐標(biāo)。

3 算例分析

先模擬18個點的一套GNSS坐標(biāo)，給定一組轉(zhuǎn)換參數(shù)ξ=[1 000 m 2 000 m 3 000 m 6.43″ 5.12″ 4.89″ 1.000 01]，參考點K的坐標(biāo)為(-1 240 000.000，4 990 000.000，3 760 000.000)，采用Molodensky模型計算出18個點的轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)，轉(zhuǎn)換前后的部分坐標(biāo)如表1所示，再按克拉索夫斯基橢球參數(shù)，中央子午線104°投影得到平面坐標(biāo)和大地高，利用EGM2008模型計算出高程異常后求得18個點的正常高。為了說明本文變換模型的優(yōu)越性，選取1～8號點作為公共點，其中1～3號點為常規(guī)平面控制網(wǎng)，4～8號點為常規(guī)高程控制網(wǎng)。

表1 公共點與轉(zhuǎn)換點的坐標(biāo) m

續(xù)表1

對于常規(guī)控制網(wǎng)的平面網(wǎng)，其平面坐標(biāo)x和y均模擬標(biāo)準(zhǔn)差為5 mm，相關(guān)系數(shù)為0.3的隨機誤差，不同點之間誤差的相關(guān)系數(shù)為0.2；高程模擬5 mm的誤差，不同點的相關(guān)系數(shù)也是0.2。對于轉(zhuǎn)換前的坐標(biāo)(通常是GNSS控制網(wǎng)的坐標(biāo))，其X,Y,Z坐標(biāo)均模擬8 mm的誤差，且各坐標(biāo)分量的相關(guān)系數(shù)為0.3，不同點之間的相關(guān)系數(shù)為0.15。比較本文三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型與傳統(tǒng)模型的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換效果，設(shè)計兩種方案：

方案一：對于傳統(tǒng)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型的矩陣形式

l-el=Aξ.

采用傳統(tǒng)方法，即基準(zhǔn)變換模型只考慮公共點的第二套坐標(biāo)誤差。此時，根據(jù)間接平差原理，可解得轉(zhuǎn)換參數(shù)為

(16)

再由此參數(shù)對轉(zhuǎn)換點進行變換；

方案二：采用本文平面與高程點不同時的嚴密三維基準(zhǔn)變換方法。

(17)

以及轉(zhuǎn)換點的平面精度

(18)

模擬數(shù)據(jù)計算1 000次，得到兩種方案轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)變換精度如圖1和圖2所示。方案一4個平面點(912號點)的平均平面變換精度為5.0 mm，方案二為4.2 mm；方案一6個高程點(1318號點)的平均高程變換精度為5.4 mm,方案二為3.9 mm。結(jié)果表明：采用本文平面與高程點不同時的嚴密三維基準(zhǔn)變換方法能夠改善坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。

圖1 方案一(虛線)與方案二(實線)的平面變換精度比較

圖2 方案一(虛線)與方案二(實線)的高程變換精度比較

4 結(jié) 論

本文的基準(zhǔn)變換方法適用于常規(guī)控制網(wǎng)的高程與平面網(wǎng)分開布設(shè)的情況，同時考慮到兩套坐標(biāo)都含有誤差，利用分離的平面坐標(biāo)和高程值直接解算轉(zhuǎn)換參數(shù)，對轉(zhuǎn)換點的坐標(biāo)進行改正，模擬數(shù)據(jù)的分析結(jié)果表明，本文方法能夠有效地提高轉(zhuǎn)換結(jié)果的精度，實現(xiàn)與GNSS三維控制網(wǎng)的基準(zhǔn)變換，得到結(jié)論：

1)當(dāng)常規(guī)控制網(wǎng)的平面控制點沒有高程值或高程控制點沒有平面坐標(biāo)時，采用本文方法可以直接解算轉(zhuǎn)換參數(shù)，不需要計算獲得控制點完整的三維坐標(biāo)，避免出現(xiàn)誤差傳遞，提高解算精度。

2)與傳統(tǒng)基準(zhǔn)變換模型相比，本文方法考慮兩套坐標(biāo)誤差的影響，對轉(zhuǎn)換點坐標(biāo)進行改正，提高基準(zhǔn)變換的精度。

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