微分遞推法在艦船靜態(tài)電場深度換算中的應(yīng)用研究

孫嘉慶, 陳聰, 危玉倩, 李定國

(海軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部, 湖北 武漢 330031)

0 引言

遞推算法是指在一定的遞推模型基礎(chǔ)上，利用體系內(nèi)部各分體系之間的分布、邊界、數(shù)量等相關(guān)規(guī)律，建立遞推關(guān)系，再依據(jù)遞推關(guān)系逐步遞推求解的方法[1-3]。微分法則是通過對整體進行合理劃分，利用微分學(xué)公式來對復(fù)雜問題進行求解的方法[4]。在工程計算中，對于受多種交叉因素所影響的復(fù)雜體系而言，由于傳統(tǒng)的解析法一般都是從體系的整體性質(zhì)或邊界條件出發(fā)，受交叉因素的復(fù)雜性影響，直接采取解析法來對體系進行分析往往比較困難。相比之下，利用遞推算法與微分法相結(jié)合的微分遞推法，先對體系進行合理劃分，再從體系內(nèi)部各分體系之間的遞推關(guān)系出發(fā)，往往能夠大大簡化分析計算過程。

船舶靜態(tài)電場是重要的水下軍用目標(biāo)特性，由于測試條件的限制，實際應(yīng)用中往往需要進行電場分布的深度換算[5-6]。而由于場域邊界的存在及船舶附近海水區(qū)域中腐蝕電流和防腐電流的復(fù)雜性，使得船舶靜態(tài)電場的深度換算成為一個難題。文獻[7]將艦船靜態(tài)電場的場源等效為一組電性模擬體，借助測量平面上電場強度三分量的數(shù)據(jù)和分布特征反演出場源的參數(shù)，再通過這些參數(shù)求解出其他深度平面上的電場強度三分量的分布。盡管從理論上講，這一方法適用于各類深度換算問題，但若希望對模擬源的所有參數(shù)進行準(zhǔn)確反演，則對算法的要求非常高，實際應(yīng)用中很難實現(xiàn)。文獻[8]從艦船靜態(tài)電場的物理特性出發(fā),提出基于拉普拉斯方程的靜態(tài)電場深度換算方法，實現(xiàn)了由靜態(tài)電場的某分量向較大深度該分量的自換算，由靜態(tài)電場的垂直分量向較大深度其他分量的互換算以及由靜態(tài)電場的水下標(biāo)量電位實現(xiàn)向較大深度的電場各分量換算。這種方法在一定程度上降低了計算量，但由于拉普拉斯方程對邊界條件的要求，這一方法無法實現(xiàn)在淺海區(qū)域內(nèi)的深度換算。

徐世浙[9]給出了解決地磁勘探領(lǐng)域位場延拓的積分迭代法,受此啟發(fā)，閆輝等[10]、胡英娣等[11]提出利用微分遞推法解決電場和磁場深度換算問題的方法，并對換算結(jié)果進行仿真分析，說明了微分遞推換算法的可行性，但卻只給出單一方向換算問題的換算結(jié)果，沒有進行進一步誤差分析。

本文針對微分遞推換算法在艦船靜態(tài)電場深度換算問題中應(yīng)用的方法及誤差來源開展研究。由水平測量平面上網(wǎng)格節(jié)點處電場強度三分量的測量值獲得其水平偏導(dǎo)數(shù)，再利用換算區(qū)域內(nèi)靜態(tài)電場的無源、無旋特性，得到電場強度三分量豎直方向上的1階偏導(dǎo)數(shù)。通過對換算區(qū)域的離散化處理，在兩相鄰深度平面之間建立以牛頓- 萊布尼茨公式為基礎(chǔ)的遞推關(guān)系，通過逐層遞推，實現(xiàn)場分量的深度換算。同時以艦船電場的基本模擬單元——水平電偶極子產(chǎn)生的電場為對象，對由近及遠和由遠及近兩類換算問題進行仿真分析，論證微分遞推換算法在一定換算深度范圍內(nèi)的可行性，并對測量平面的節(jié)點間隔、遞推步長、海水深度等因素對換算誤差的影響進行研究，給出換算誤差隨上述因素的變化規(guī)律。

1 微分遞推換算法

1.1 微分遞推原理

船舶靜態(tài)電場的深度換算問題分為兩類：一類是由近源平面向遠源平面的換算問題，即在靠近源(船)的平面上對場進行測量，由此換算至離源較遠的目標(biāo)平面上，稱為由近及遠換算，如圖1所示；另一類是由離源較遠的測量平面向離源較近的目標(biāo)平面的換算問題，稱為由遠及近換算，如圖2所示。在測量平面與目標(biāo)平面之間以Δz為間隔插入N-1個等間距的平面，如圖1、圖2所示。根據(jù)遞推法的基本思路，只要得到兩相鄰中間層平面上電場強度三分量之間的數(shù)值關(guān)系，就可以通過循環(huán)遞推N次，得到目標(biāo)平面上的電場強度三分量的數(shù)值。

根據(jù)牛頓- 萊布尼茨公式，位于兩相鄰中間層z=zk與z=zk+1上具有相同x坐標(biāo)、y坐標(biāo)的任意兩點的電場強度三分量存在以下關(guān)系：

(1)

若Δz足夠小，則得到兩相鄰中間層的遞推關(guān)系式為

(2)

1.2 垂向偏導(dǎo)數(shù)的獲得

根據(jù)艦船水下靜態(tài)電場的產(chǎn)生機理可知，在測量平面與目標(biāo)平面之間的換算區(qū)域內(nèi)，該場具有無源、無旋的特性，也就是有

(3)

將(3)式進行3個方向上的分解，即

(4)

式中：i、j、k分別為x軸方向、y軸方向、z軸方向的單位矢量。

即有

(5)

結(jié)合(2)式、(5)式，遞推關(guān)系式可改寫為

(6)

實際應(yīng)用中，若獲得一個水平面上網(wǎng)格節(jié)點處的場分布，則易于求出各節(jié)點處場分量的水平偏導(dǎo)數(shù)，本文采用1階導(dǎo)數(shù)計算方法。

1.3 水平方向偏導(dǎo)數(shù)的計算

若函數(shù)f(x)定義在[a,b]上，x0、x1、x2、x3、x4為間距均為h的等距節(jié)點，且a≤x0≤x1≤x2≤x3≤x4≤b.f(xk)為節(jié)點處的函數(shù)值，其中k=0,1,2,3,4. 則節(jié)點處f(x)的1階導(dǎo)數(shù)[12]為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：ξi∈(a,b)，i=0,1,2,3,4.

2 微分遞推換算法的算法設(shè)計

由上文所述思路，遞推算法在艦船靜態(tài)電場的深度換算中應(yīng)用時包括以下步驟：

1)由網(wǎng)格狀測量平面上節(jié)點處的電場強度三分量測量值，利用(7)式～(11)式求出其1階水平偏導(dǎo)數(shù)。

2)根據(jù)(5)式，由水平偏導(dǎo)數(shù)求出各節(jié)點處電場強度三分量的垂向偏導(dǎo)數(shù)。

3)由(2)式求出下一相鄰平面上或上一相鄰平面上電場強度三分量的值。

4)重復(fù)步驟1～步驟3，最終得到目標(biāo)平面上場。

具體算法設(shè)計框圖如圖3所示。圖3中：下標(biāo)x、y、z代表電場強度在某方向的分量；下標(biāo)i、j表示節(jié)點的位置編號，即x軸方向第i個、y軸方向第j個網(wǎng)格節(jié)點；下標(biāo)k為遞推步數(shù)，也表示第k層遞推平面，k=0為測量平面。

3 微分遞推換算法的可行性驗證

3.1 兩類換算問題的仿真換算結(jié)果

設(shè)海水電導(dǎo)率為4 S/m，海床電導(dǎo)率為0.4 S/m. 空氣- 海水界面取為z=0的平面，豎直向下為z軸正方向，以水平電偶極子電偶極矩方向為x軸正方向。將微分遞推換算法應(yīng)用于由遠及近和由近及遠兩類深度換算問題，換算涉及到的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

換算結(jié)果如圖4、圖5所示。

為了更全面準(zhǔn)確地表征換算結(jié)果的精度，本文采用目標(biāo)平面的換算值與該平面的理論計算值之間的相對均方根誤差RRMSE、最大值相對誤差ep、最小值相對誤差eb來描述換算誤差。以Ex為例，如(12)式～(14)式所示。

(12)

(13)

(14)

式中：下標(biāo)c、t分別表示換算值與理論計算值。另外本文所取RRMSE為換算值的均方根誤差RMSE與計算值的均方根平均值RMSA的比值。圖4、圖5對應(yīng)的換算誤差分別如表2、表3所示。

顯然，從表2、表3可以看出，無論是由近及遠還是由遠及近換算，其電場強度三分量換算誤差的最大值均不超過0.035，換算精度較高。

表2 由近及遠換算誤差

表3 由遠及近換算誤差

保持其他參數(shù)條件不變，只改變目標(biāo)平面深度，使換算深度H分別為1 m、2 m、3 m、4 m、5 m、6 m、7 m、8 m、9 m、10 m、11 m，分別計算由近及遠和由遠及近兩類換算問題的相對均方根誤差，如圖6、圖7所示。

由圖6、圖7可知，隨著換算深度的增大，換算精度不斷下降。其中：由圖6可知，在本文所選換算參數(shù)條件下，當(dāng)H>7 m時，由近及遠的換算誤差迅速增大，最終H=11 m時電場強度三分量的換算誤差均超過了50%；相比之下，由遠及近的換算中，換算誤差隨換算深度的變化比較平緩，如圖7所示，且可以計算，當(dāng)換算深度H=20 m時，換算誤差才達到50%.

上述仿真結(jié)果表明，微分遞推換算法對于由遠及近和由近及遠兩類換算問題均適用，并且相較于由近及遠的換算問題來說，在解決由遠及近換算問題時，該方法能保持較好的換算精度。出現(xiàn)這個現(xiàn)象的原因在于5點微分公式應(yīng)用于求電場強度三分量的水平偏導(dǎo)數(shù)時，其誤差隨深度不斷減小。采用對水下電場場強表達式直接求導(dǎo)和先求場再利用5點微分公式求導(dǎo)這兩種方法，編程數(shù)值計算某深度平面上電場強度三分量水平偏導(dǎo)數(shù)的值。將它們進行比較可以發(fā)現(xiàn)，對于遠源平面，5點微分公式求導(dǎo)所帶來的誤差較近源平面要小。這就導(dǎo)致由遠及近換算的起始過程誤差較小，反復(fù)迭代過程中誤差逐步增大；而由近及遠換算的起始過程誤差就較大，反復(fù)迭代使得誤差增大更快，最終導(dǎo)致兩平面之間的深度換算中，由遠及近的換算誤差更小。

實際工程應(yīng)用中，廣泛采用的海床基測量點陣往往能夠提供海床- 海水界面上的場分布，此時一般需要進行由遠及近的換算，顯然前述研究結(jié)果表明，微分遞推換算法應(yīng)為利用海水- 海床界面上的場分布進行由遠及近換算的適用方法之一。

3.2 實測場分布的換算結(jié)果

在實驗室中模擬空氣- 海水- 海床3層海洋環(huán)境，模擬海水水深0.53 m，電導(dǎo)率為0.204 7 S/m. 采用通有穩(wěn)恒電流的兩平行鉑片模擬靜態(tài)電偶極子，兩鉑片間距0.03 m，外加電流0.2 A，置于水面下0.03 m深度處，坐標(biāo)系建立同3.1節(jié)。 選取電偶極子下方、以電偶極子投影點為中心、大小為0.25 m×0.25 m、深度分別為0.20 m和0.26 m的兩個平面進行電場強度的測量。結(jié)果如圖8、圖9所示。

以水深0.26 m處平面為測量平面，以水深0.20 m處平面為目標(biāo)平面，采用前文所述的微分遞推換算法進行深度換算，電場強度三分量換算結(jié)果如圖10所示。

對比圖10與圖9可以看出，換算所得目標(biāo)平面上的電場強度三分量的場分布特征與實測結(jié)果吻合較好。為了更精細地表達換算精度，表4也給出了換算值與實測值之間的RRMSE、ep和eb. 考慮到實際測量誤差條件和電場強度測試系統(tǒng)本身的測試精度的影響，表4所示的誤差表明微分遞推換算法應(yīng)用于艦船靜態(tài)電場深度換算是可行的。

4 微分遞推換算法換算精度的仿真分析

在3.1節(jié)中設(shè)置的仿真參數(shù)基礎(chǔ)上，保持測量平面大小，通過改變其他相關(guān)參數(shù)，采用仿真分析的方法分別研究遞推步長、測量平面網(wǎng)格節(jié)點間隔以及海水深度對換算精度的影響。

4.1 遞推步長對換算精度的影響

選取深度為20 m和26 m的兩個平面分別進行由近及遠和由遠及近換算。選取測量平面網(wǎng)格節(jié)點間隔δ=0.1 m，海水深度D=100 m. 分別計算遞推步長的絕對值為0.10 m、0.15 m、0.20 m、0.25 m、0.30 m、0.40 m、0.50 m、0.60 m、1.00 m、2.00 m時電場強度三分量的RRMSE，如圖11、圖12所示。

由圖11、圖12可知：在由近及遠換算中，隨著遞推步長的增大，電場強度三分量換算的RRMSE均呈現(xiàn)出先減小、后增大的趨勢；而在由遠及近換算中，電場強度三分量換算的RRMSE則呈現(xiàn)單調(diào)增大的趨勢。

誤差類型RRMSEepebEx換算誤差0.30470.04580.1043Ey換算誤差0.16540.02870.0239Ez換算誤差0.52440.53030.4956

從微分遞推換算法原理上來看，遞推步長主要通過兩種效果相反的效應(yīng)來影響換算精度。一方面是近似效應(yīng)，即在(1)式近似為(2)式的過程中，若Δz并非足夠小，則會引入換算誤差，且Δz越小，因近似引入的誤差就越??；另一方面是遞推過程中的誤差累積效應(yīng)，Δz越小，換算次數(shù)越多，誤差因累積也就越大。對比圖11、圖12可知：對于由遠及近換算而言，在圖示的遞推步長范圍內(nèi)，近似效應(yīng)始終占據(jù)主導(dǎo)；而對于由近及遠換算而言，誤差累積和近似效應(yīng)先后占據(jù)主導(dǎo)地位，使得誤差出現(xiàn)先減小、后增大的趨勢。因此，在選擇合適的遞推步長時，對于由遠及近換算問題，應(yīng)當(dāng)在不影響運算效率的前提下，盡可能選擇小的遞推步長；而對于由近及遠換算問題，則應(yīng)當(dāng)選擇靠近極值點處的遞推步長。

4.2 測量平面網(wǎng)格節(jié)點間隔對換算精度的影響

選取深度為20 m和30 m的兩個平面分別進行由近及遠和由遠及近換算。選取遞推步長Δz=0.1 m，海水深度D=100 m. 應(yīng)用微分遞推換算法，分別計算測量平面網(wǎng)格節(jié)點間隔δ為0.1 m、0.2 m、0.3 m、0.4 m、0.5 m、0.6 m時的電場強度三分量的RRMSE，如圖13、圖14所示。

由圖13、圖14可知，盡管隨著網(wǎng)格節(jié)點間隔的增大，電場強度三分量的換算誤差呈現(xiàn)增大趨勢，但增大不明顯。由遠及近換算中，網(wǎng)格節(jié)點間隔從0.1 m變化到0.6 m，換算的RRMSE變化不超過0.005；而在由近及遠換算中，RRMSE變化不超過0.05.

從微分遞推換算原理來看，網(wǎng)格節(jié)點間隔影響1階偏導(dǎo)數(shù)計算公式中的差值余項，但顯然影響并不大。但在編程應(yīng)用微分遞推換算法進行換算過程中，網(wǎng)格節(jié)點間隔對于運算量及運算效率的影響非常大，因此在實際應(yīng)用中，為了保證運算速度，網(wǎng)格節(jié)點間隔可以設(shè)置的稍大一點。這一點對實際的測量工作也非常有益，網(wǎng)格節(jié)點間隔大，減少了傳感器的需求數(shù)量，也降低了布設(shè)難度。

4.3 海洋水深對換算精度的影響

選取深度為20 m和25 m的兩個平面分別進行由近及遠和由遠及近換算。選取測量平面網(wǎng)格節(jié)點間隔δ=0.1 m，遞推步長Δz=0.1 m，應(yīng)用微分逆推換算法，分別計算海水深度D為30 m、40 m、50 m、60 m、70 m、80 m、90 m、100 m時電場強度三分量的RRMSE，如圖15、圖16所示。

由圖15、圖16可知，在本文設(shè)定的參數(shù)條件下，海水深度小于50 m時，海床的存在會影響換算精度；而海水深度大于50 m后，電場強度三分量換算誤差逐漸穩(wěn)定在一個較低的水平上，也就是說海床的影響可以不考慮。

海水深度對微分遞推換算法換算精度的影響主要表現(xiàn)在海水深度越大，換算區(qū)域邊界距離海床越遠，海床對換算的影響也就越小，因此，在實際應(yīng)用中，微分遞推換算法在解決貼近海床區(qū)域的深度換算問題時應(yīng)當(dāng)慎重。前文已經(jīng)提到在實際應(yīng)用過程中，經(jīng)常遇到以海水- 海床界面為測量平面進行由遠及近換算的問題。下面考察利用海床基測量值進行由遠及近換算時，換算誤差隨換算深度的變化。保持其他參數(shù)條件不變，設(shè)海洋水深D=40 m，測量平面為海水- 海床界面即zm=40 m，分別計算換算深度H為5.0 m、7.5 m、10.0 m、12.5 m、15.0 m、17.5 m、20.5 m時，由遠及近換算的RRMSE，如表5所示。

表5 以海水- 海床界面為測量平面時換算誤差隨換算深度的變化

由表5可知，以海水- 海床界面為測量平面進行由遠及近換算時，隨著換算深度的增大，換算誤差不斷增大，但在本文所設(shè)參數(shù)條件下，換算深度在5.0～15.0 m范圍內(nèi)時，電場強度三分量的換算RRMSE均不超過25%，換算精度較高。這表明在實際應(yīng)用過程中，以海水- 海床界面為測量平面布設(shè)測量基陣時，在一定的換算深度范圍內(nèi)，利用微分遞推換算法進行由遠及近換算，可得到較為可靠的目標(biāo)平面電場分布。

5 結(jié)論

本文對測量平面與目標(biāo)平面之間所構(gòu)成的換算區(qū)域進行離散化處理，利用牛頓- 萊布尼茨公式建立起兩中間平面之間的遞推關(guān)系，依據(jù)換算區(qū)域內(nèi)場的無源、無旋特性將電場強度三分量垂向偏導(dǎo)數(shù)的求解問題轉(zhuǎn)化成了水平偏導(dǎo)數(shù)的計算問題，給出了微分遞推換算法用于艦船靜態(tài)電場深度換算的方法并設(shè)計了算法。本文還通過仿真模擬與實驗驗證，說明了在一定換算深度范圍內(nèi)應(yīng)用微分遞推換算法進行換算的可行性。隨后采用仿真分析方法，分別考察了遞推步長、測量平面網(wǎng)格節(jié)點間隔和海洋水深對微分遞推法換算精度的影響，得到以下結(jié)論：

1)遞推步長的增大會帶來兩種效果相反的效應(yīng)，一方面會導(dǎo)致離散化處理的近似效果下降，增大誤差；另一方面由于遞推次數(shù)的減少會導(dǎo)致誤差累積效應(yīng)的下降，誤差也減少。對由近及遠換算，存在一個最佳的遞推步長，而對由遠及近換算，則應(yīng)當(dāng)在不影響運算效率的前提下，盡可能選擇小的遞推步長。

2)網(wǎng)格節(jié)點間隔變化引起的誤差變化很小，這是由于本文所采取的1階導(dǎo)數(shù)計算方法對節(jié)點間隔不敏感。因此實際應(yīng)用中，為提高換算速度、減少測量基陣布設(shè)難度，可以選擇較大的網(wǎng)格節(jié)點間隔。

3)海水深度對于遞推算法的影響主要取決于換算區(qū)域與海床的距離。如果換算區(qū)域離海床較遠，則受海床的影響較小，換算誤差也可以穩(wěn)定在一個較小的水平。

4)在同等參數(shù)條件下，采用微分遞推法進行由遠及近換算的精度要優(yōu)于由近及遠換算的精度。而實際軍事應(yīng)用中，以海水- 海床界面為測量平面進行由遠及近換算需求較多。仿真結(jié)果表明，盡管隨著換算深度的增大，其換算精度有所下降，但在一定范圍內(nèi)，其換算精度還能保持在一個較高的水平上。另外從本文研究也可看出，微分遞推法應(yīng)用于艦船水下靜態(tài)電場深度換算時，算法過程簡潔、測量基陣布設(shè)難度不大，因此該方法具有明顯的軍事應(yīng)用前景。

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