帶視線角約束的多導(dǎo)彈有限時間協(xié)同制導(dǎo)律

呂騰， 呂躍勇， 李傳江, 郭延寧

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引言

隨著反導(dǎo)技術(shù)的快速發(fā)展，面對敵方地面或海面目標配備的密集導(dǎo)彈防御系統(tǒng)，單一導(dǎo)彈突防變得愈發(fā)困難，而多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)借助于通信系統(tǒng)將多枚導(dǎo)彈構(gòu)成一個作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)，通過信息共享實現(xiàn)配合與協(xié)作，共同完成打擊任務(wù)，極大地提高了導(dǎo)彈的突防概率[1-3]。因而對多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)的研究具有非常重要的實用價值，特別是在帶末端視線角約束、能打擊機動目標和有限時間協(xié)同等3個方面具有重要的研究意義，具體體現(xiàn)在：1)帶有末端視線角約束可使多導(dǎo)彈從期望方向?qū)δ繕诉M行打擊，從而大大提高導(dǎo)彈的突防能力和打擊效果；2)可打擊機動目標能夠極大地擴展導(dǎo)彈的適用場合；3)基于多智能體協(xié)同控制理論設(shè)計的有限時間協(xié)同制導(dǎo)律，可使多導(dǎo)彈打擊時刻在有限時間內(nèi)達到一致，有利于加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，提高整體突防概率。因此，本文針對考慮上述3個方面的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)進行研究。

多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)的特點是在發(fā)射前并不需要指定統(tǒng)一的打擊時刻，而是在發(fā)射后的飛行過程中通過彈間通信使得多導(dǎo)彈的打擊時刻趨于一致，從而實現(xiàn)同時擊中目標[4]。針對只考慮上述3個方面中一個方面的協(xié)同制導(dǎo)問題，Wang等[5]通過在比例導(dǎo)引律和帶角度約束導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上附加一項本導(dǎo)彈與相鄰導(dǎo)彈打擊時刻誤差控制項，設(shè)計了一種分布式協(xié)同制導(dǎo)律。張春妍等[6]利用各導(dǎo)彈的剩余飛行時間之差，對帶視線角約束的偏置比例導(dǎo)引律中的比例系數(shù)進行調(diào)節(jié)，提出了一種協(xié)同偏置比例導(dǎo)引律。趙啟倫等[7]提出了一種異類導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律。文獻[5-7]所提出的協(xié)同制導(dǎo)律，雖然帶有末端視線角約束，但是未考慮有限時間協(xié)同且只能打擊靜止目標。Zhao等[8]通過在傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律基礎(chǔ)上增加目標機動項和時間協(xié)同項設(shè)計了一種偏置比例協(xié)同制導(dǎo)律，可使得多導(dǎo)彈協(xié)同打擊機動目標。孫雪嬌等[9]在分布式通信和增廣比例導(dǎo)引的基礎(chǔ)上，基于網(wǎng)絡(luò)同步原理提出了一種多導(dǎo)彈分布式協(xié)同制導(dǎo)律。趙啟倫等[10]基于改進比例導(dǎo)引法和2階一致性算法提出了一種具有領(lǐng)彈- 從彈拓撲結(jié)構(gòu)的異類導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律。文獻[8-10]所提出的協(xié)同制導(dǎo)律，雖然能打擊機動目標，但是未帶末端視線角約束且未考慮有限時間協(xié)同問題。Hou等[11]基于時變比例導(dǎo)引法提出了一種協(xié)同制導(dǎo)律，該導(dǎo)引率雖然能實現(xiàn)有限時間協(xié)同，但是未帶末端視線角約束且只能打擊固定目標。針對同時考慮上述3個方面中兩個方面的協(xié)同制導(dǎo)問題，惠耀洛等[12]通過設(shè)計擴張狀態(tài)觀測器來對目標加速度進行估計，然后基于滑?？刂评碚撎岢隽艘环N協(xié)同制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律雖然帶視線角約束且可打擊機動目標，但是未考慮有限時間協(xié)同。Zhang等[13]基于1階多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制理論，提出了一種既可打擊機動目標又可實現(xiàn)有限時間協(xié)同的制導(dǎo)律，但是該制導(dǎo)律未考慮末端視線角約束。

目前，國內(nèi)外學(xué)者針對同時考慮上述3個方面的協(xié)同制導(dǎo)研究成果相對較少，又由于其有著十分重要的實用價值，因而本文針對同時考慮這3個方面的協(xié)同制導(dǎo)律進行研究。在視線方向，基于多智能體協(xié)同控制理論和積分滑?？刂评碚撛O(shè)計了可使多導(dǎo)彈打擊時刻有限時間內(nèi)達到一致的分布式協(xié)同制導(dǎo)律，并給出了相應(yīng)的穩(wěn)定性證明。在視線法向方向，基于有限時間滑?？刂评碚摵透蓴_觀測器理論設(shè)計了帶末端視線角約束且能打擊機動目標的制導(dǎo)律，并給出了相應(yīng)的穩(wěn)定性證明。通過仿真驗證了所設(shè)計的協(xié)同制導(dǎo)律可使多導(dǎo)彈從各自的期望方向同時擊中機動目標。

現(xiàn)對本文所提方法的優(yōu)勢和必要性進行進一步說明。本文所提方法除了考慮多導(dǎo)彈的有限時間協(xié)同問題之外，還同時考慮了帶有末端視線角約束和可打擊機動目標這兩個重要問題。目前國內(nèi)外學(xué)者所設(shè)計的協(xié)同制導(dǎo)律主要針對的是靜止目標且大部分未帶末端視線角約束。針對有限時間問題，本文所提方法不僅可使多導(dǎo)彈打擊時刻在有限時間內(nèi)達到一致，還可使視線角在有限時間內(nèi)收斂到期望值，有利于加快視線角收斂速度。本文所提方法無需明確了解目標加速度的信息，有利于工程應(yīng)用。另外，所設(shè)計的視線法向制導(dǎo)律采用了干擾觀測器對干擾進行了估計并補償，使得切換增益幅值大大減小，進而減弱了符號函數(shù)項給制導(dǎo)律帶來的抖振。值得一提的是，本文協(xié)同制導(dǎo)律采用的是分布式通信，使得每枚導(dǎo)彈只需要知道其相鄰導(dǎo)彈的信息，從而降低了對彈間通信距離的要求，同時還提高了彈群的整體突防能力，即使彈群中部分導(dǎo)彈被擊毀，只要剩余導(dǎo)彈通信拓撲仍然是無向且連通的，則其打擊時刻依然可以達到一致。

1 協(xié)同制導(dǎo)模型

為了簡化研究，本文采用運動學(xué)分析方法并基于以下假設(shè)[8,14]：

1) 導(dǎo)彈和目標的運動視為二維平面內(nèi)質(zhì)點運動；

2) 導(dǎo)彈的導(dǎo)引頭和自動駕駛儀動力學(xué)與制導(dǎo)回路相比響應(yīng)足夠快；

3) 每枚導(dǎo)彈的速度可控。

針對多導(dǎo)彈在平面內(nèi)從不同方向同時打擊機動目標問題，給出導(dǎo)彈與目標的相對運動幾何關(guān)系，如圖1所示。

圖1中：Mi和T分別代表第i枚導(dǎo)彈和目標，ri代表Mi與T之間的相對距離，qi代表Mi的視線角，vmi和vt分別代表Mi和T的速度，θmi和θt分別代表Mi和T的彈道角，ami和at分別代表Mi和T的法向加速度，其中i=1,2,…,n，n為導(dǎo)彈總枚數(shù)。

由圖1得到Mi與T的相對運動方程如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

將(1)式和(2)式分別對時間進行求導(dǎo)，并與(3)式和(4)式相結(jié)合可得

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

本文針對(11)式，首先，在視線方向設(shè)計uri使x1i及x2i在有限時間內(nèi)達到一致；然后，在視線法向方向設(shè)計uqi使x3i及x4i在有限時間內(nèi)收斂到0；最后，將得到的uri和uqi都代入到(11)式中，并通過仿真驗證所設(shè)計制導(dǎo)律的有效性。

2 協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 視線方向制導(dǎo)律設(shè)計

2.1.1 無向圖的相關(guān)知識

在多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)中，導(dǎo)彈通過與其相鄰導(dǎo)彈之間的相互通信交換各自的狀態(tài)信息。相互間通信拓撲關(guān)系可由無向圖G(A)=(v,ξ,A)來描述，其中v代表節(jié)點組成的集合，ξ代表節(jié)點之間的連線，矩陣A=[aij]∈Rn×n代表權(quán)系數(shù)矩陣，若導(dǎo)彈i和導(dǎo)彈j之間能夠進行信息交換，則aij=1，否則aij=0，特別地，aii=0，i∈{1,2,…,n}，由于G(A)是無向圖，因而有aij=aji. 如果G(A)中任意兩個節(jié)點間都存在至少一條通路，則整個圖是連通的。定義多導(dǎo)彈間無向圖G(A)對應(yīng)的拉普拉斯矩陣為L=[lij]∈Rn×n，其中矩陣的元素為

(12)

2.1.2 視線方向協(xié)同制導(dǎo)模型和設(shè)計目標

由(11)式可得Mi視線方向協(xié)同制導(dǎo)模型如下：

(13)

Mi的打擊時刻tfi可表示為

tfi=tgoi+t,

(14)

式中：tgoi為Mi的剩余飛行時間。則有

tfi-tfj=tgoi-tgoj.

(15)

由(15)式可知，如果能控制多導(dǎo)彈的tgoi達到一致，就可使其tfi達到一致，從而實現(xiàn)同時擊中目標，tgoi可由(16)式估計得到：

(16)

本節(jié)的設(shè)計目標是針對每枚Mi的視線方向制導(dǎo)模型(13)式，通過設(shè)計視線方向協(xié)同制導(dǎo)律uri來控制x1i及x2i在有限時間Tr內(nèi)達到一致，即

(17)

從而使所有導(dǎo)彈的tgoi在有限時間內(nèi)達到一致。

2.1.3 視線方向制導(dǎo)律設(shè)計及其穩(wěn)定性證明

受文獻[15]和文獻[16]啟發(fā)，下面以定理的方式給出視線方向協(xié)同制導(dǎo)律。

定理1針對系統(tǒng)(13)式，如果存在常數(shù)lr>0，使得‖dr‖∞≤lr，同時，通信拓撲結(jié)構(gòu)圖G無向且連通，則視線方向可使得狀態(tài)x1i和x2i在有限時間內(nèi)達到一致的分布式協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計如下：

(18)

(19)

(20)

式中：k1r>0，k2r>0，0<αr<1，k3ri>lr且k4ri>0，以保證sri在有限時間內(nèi)收斂到0；sig(ξ)α=|ξ|α·sgn(ξ).

證明針對系統(tǒng)(13)式，首先，將積分滑模面(19)式對時間求導(dǎo)并與(13)式和(18)式結(jié)合可得

(21)

選取Lyapunov函數(shù)

(22)

將(22)式對時間求導(dǎo)可得

(23)

由于k3ri>lr，由有限時間穩(wěn)定性理論可知滑模面sri可在有限時間Tri內(nèi)收斂到0，取Tr=max{Tr1,Tr2,…,Trn}，則有

sri=0,t≥Tr.

(24)

對(24)式求導(dǎo)并與(19)式和(20)式相結(jié)合可得

(25)

令x1=[x11,x12,…,x1n]T，x2=[x21,x22,…,x2n]T，則(25)式可寫成如下矩陣形式：

(26)

(27)

由于當且僅當X1=0且X2=0時，x11=x12=…=x1n且x21=x22=…=x2n，因而系統(tǒng)(25)式的狀態(tài)x1i和x2i各自在有限時間內(nèi)達到一致，等價于系統(tǒng)(27)式的狀態(tài)X1和X2各自在有限時間內(nèi)收斂于0.

選取Lyapunov函數(shù)形式如下：

(28)

由于LM=L=ML且LT=L，將V1對時間求導(dǎo)可得

(29)

由LaSalle不變集原理可知系統(tǒng)(27)式的平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，同時，通過選擇0<αr<1可得系統(tǒng)具有負齊次度κ=(αr-1)/(αr+1)，因而由齊次系統(tǒng)理論可知系統(tǒng)(27)式的原點是有限時間穩(wěn)定的，進而可知系統(tǒng)(25)式的狀態(tài)x1i和x2i各自在有限時間內(nèi)達到一致。

定理1中uri的第1項用于調(diào)整多導(dǎo)彈的x1i和x2i使其在有限時間內(nèi)達到一致，第2項和第3項用于補償dri對系統(tǒng)帶來的影響。uri的優(yōu)勢在于：首先，uri采用的是分布式通信拓撲，可防止集中式通信所遇到的單點失效問題的產(chǎn)生，有效提高導(dǎo)彈群的整體生存能力；其次，uri所需要的狀態(tài)x1i和x2i均可通過彈上導(dǎo)引頭直接測量得到，而且目標加速度信息無需明確了解；最后，uri可使多導(dǎo)彈打擊時刻在有限時間內(nèi)達到一致，有利于加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，保證打擊時刻達到一致的時間。

2.2 視線法向制導(dǎo)律設(shè)計

2.2.1 視線法向方向制導(dǎo)模型和設(shè)計目標

由(11)式可得Mi視線法向制導(dǎo)模型形式如下：

(30)

式中：dqi=wqi/x1i.

本節(jié)的設(shè)計目標是針對每枚Mi的視線法向制導(dǎo)系統(tǒng)(30)式設(shè)計制導(dǎo)律uqi，使每枚Mi的x3i及x4i在有限時間Tq內(nèi)收斂到0，即

(31)

2.2.2 采用的干擾觀測器

為消除系統(tǒng)(30)式中目標機動對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，可將dqi視作外部干擾，然后利用干擾觀測器來對dqi進行估計，并將得到的干擾估計值qi加入到制導(dǎo)律中對dqi進行補償，所采用的非線性干擾觀測器如下：

(32)

2.2.3 視線法向制導(dǎo)律設(shè)計及其穩(wěn)定性證明

受文獻[18]啟發(fā)，以定理的方式給出視線法向制導(dǎo)律。

(33)

則帶有非線性干擾觀測器(32)式且可使系統(tǒng)狀態(tài)x3i和x4i在有限時間內(nèi)收斂到0的視線法向制導(dǎo)律uqi設(shè)計如下：

(34)

(35)

證明將方程(35)式對時間求導(dǎo)可得

(36)

然后由(30)式、(34)式和(36)式可得

(37)

選取Lyapunov函數(shù)形式如下：

(38)

則有

(39)

(40)

由文獻[18]中引理2可知，系統(tǒng)狀態(tài)x3i和x4i可在有限時間內(nèi)收斂到0.

3 仿真分析

為了驗證本文所提出的帶視線角約束的有限時間協(xié)同制導(dǎo)律的有效性和魯棒性，下面考慮3枚導(dǎo)彈在平面內(nèi)同時攻擊一個機動目標的情形，在相同的制導(dǎo)律參數(shù)、通信拓撲結(jié)構(gòu)及不同的導(dǎo)彈初始條件下，共進行2組仿真，分別稱為工況1和工況2. 為減弱符號函數(shù)帶來的制導(dǎo)指令抖動，將制導(dǎo)律中符號函數(shù)換成飽和函數(shù)。仿真步長取定步長5 ms.

視線方向制導(dǎo)律參數(shù)取為k1r=10，k2r=10，k3ri=2，k4ri=1，αr=3/10，視線法向制導(dǎo)律參數(shù)取為k1qi=1，k2qi=6，k3qi=1，k4qi=1，αqi=0.8，非線性干擾觀測器參數(shù)取為Lqi=0.1，其中i=1,2,3.

3.1 工況1

目標和3枚導(dǎo)彈的初始條件分別如表1和表2所示。

表1 目標初始條件(工況1)

表2 導(dǎo)彈初始條件(工況1)

工況1下，3枚導(dǎo)彈的脫靶量、打擊時刻和視線角誤差由表3給出。它們的脫靶量都保持在0.9 m范圍之內(nèi)，說明本文方法提供了一種可以直接殺傷的毀傷方式。制導(dǎo)時間均達到一致，視線角誤差均保持在0.14°范圍之內(nèi)，說明本文方法可使所有導(dǎo)彈從期望方向同時擊中目標，從而實現(xiàn)了飽和打擊。

3.2 工況2

目標和3枚導(dǎo)彈的初始條件分別如表4和表5所示。

表3 協(xié)同制導(dǎo)仿真結(jié)果(工況1)

表4 目標初始條件(工況2)

表5 導(dǎo)彈初始條件(工況2)

工況2下，3枚導(dǎo)彈的脫靶量、打擊時刻和視線角誤差由表6給出。由表6可知，工況2下對應(yīng)的脫靶量、打擊時刻和視線角誤差同樣滿足相應(yīng)的要求。

由工況1和工況2的仿真結(jié)果可以看出，雖然2組仿真的導(dǎo)彈初始條件不同，但在同一組參數(shù)的制導(dǎo)律作用下，2組仿真中多導(dǎo)彈的打擊時刻都在有限時間內(nèi)達到一致，視線角都在有限時間內(nèi)收斂到期望值且所有導(dǎo)彈都能擊中機動目標。這說明本文方法的有效性，同時還說明該方法具有一定的魯棒性，對導(dǎo)彈初始條件的變化有一定的適應(yīng)能力。值得一提的是，2種工況下各導(dǎo)彈與目標間的距離均在11 km以內(nèi)，均在導(dǎo)彈彈載雷達的最大探測范圍之內(nèi)。

表6 協(xié)同制導(dǎo)仿真結(jié)果(工況2)

4 結(jié)論

本文針對多導(dǎo)彈以期望的視線角協(xié)同打擊機動目標問題進行了研究。首先，在視線方向，設(shè)計了有限時間協(xié)同制導(dǎo)律，可使所有導(dǎo)彈打擊時刻在有限時間內(nèi)達到一致。然后，在視線法向方向，將目標機動當作外部干擾，采用非線性有限時間干擾觀測器實現(xiàn)了對外部干擾的有限時間估計。接著，設(shè)計了帶視線角約束的有限時間制導(dǎo)律，可使所有導(dǎo)彈的視線角在有限時間內(nèi)收斂到期望視線角，且視線角速率在有限時間內(nèi)收斂到0. 最后，通過仿真驗證了所設(shè)計的協(xié)同制導(dǎo)律可使多導(dǎo)彈以各自期望的視線角同時擊中機動目標。未來，將在考慮導(dǎo)彈動力學(xué)特性約束和導(dǎo)彈間通信拓撲時變的協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計，以及各導(dǎo)彈末端期望攻擊方向可行域分析與制導(dǎo)律收斂時間定量設(shè)計等方面進行深入研究。

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