彈丸錐形運(yùn)動對半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺穩(wěn)定性的影響分析

李杰, 鄭濤, 馮凱強(qiáng), 杜思遠(yuǎn), 張樨, 楊雁宇

(中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動態(tài)測試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山西 太原 030051)

0 引言

半捷聯(lián)慣性測量系統(tǒng)是專門為高旋轉(zhuǎn)、高過載的彈載環(huán)境量身定制的一種測量系統(tǒng)，其核心部件為半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺。半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺是一種采用機(jī)械裝置實(shí)現(xiàn)與彈體滾轉(zhuǎn)隔離的慣性平臺，半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺可以使微慣性測量單元(MIMU)在滾轉(zhuǎn)方向保持穩(wěn)定，而在俯仰和偏航方向保持捷聯(lián)[1]。在飛行過程中，彈丸的錐形運(yùn)動是一種固有運(yùn)動，所以研究錐形運(yùn)動對半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺穩(wěn)定性的影響是有必要的。

半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺利用軸承實(shí)現(xiàn)了MIMU與彈體在滾轉(zhuǎn)軸方向上的隔離，該平臺以重力和軸承摩擦力的合力作用下的復(fù)擺運(yùn)動原理進(jìn)行工作[2]，其中軸承摩擦力矩是決定平臺穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素。前期對彈丸不存在錐形運(yùn)動，即對彈丸只做滾轉(zhuǎn)運(yùn)動情況下的半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺的運(yùn)動進(jìn)行分析，得到理想情況下作用在半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺上的動力學(xué)模型[1]。本文在前期分析的基礎(chǔ)上考慮了彈丸錐形運(yùn)動對半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺運(yùn)動規(guī)律的影響。抓住彈丸在做錐形運(yùn)動時，作用在半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺上的傳遞動力學(xué)模型，從傳遞模型出發(fā)考慮錐形運(yùn)動對軸承摩擦力矩的影響，最終得到彈丸錐形運(yùn)動情況下的半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺擺動角速率的變化規(guī)律。

1 半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺的工作原理

本文針對高旋轉(zhuǎn)的彈載環(huán)境下捷聯(lián)慣性測量系統(tǒng)測量精度降低這一問題，設(shè)計了半捷聯(lián)慣性測量系統(tǒng)。該系統(tǒng)內(nèi)部裝有半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺，此平臺在橫滾軸方向上通過軸承實(shí)現(xiàn)與彈丸的連接，起到“隔旋止轉(zhuǎn)”的效果。半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺作為一種用于搭載傳感器的機(jī)械結(jié)構(gòu)，主要用于實(shí)現(xiàn)等效減小彈丸滾轉(zhuǎn)角速率，從而降低對傳感器量程要求，以達(dá)到提高測量精度的目的。

1.1 半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺的組成

半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺由軸承和內(nèi)筒兩大部分組成，如圖1所示。軸承實(shí)現(xiàn)了內(nèi)筒與彈丸在滾轉(zhuǎn)軸方向上的連接。內(nèi)筒內(nèi)部由實(shí)現(xiàn)姿態(tài)測量的MIMU、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和增加重力回復(fù)力矩的配重3部分組成。

1.2 半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺動力學(xué)模型

理想情況下，質(zhì)量為m的半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺重心由于軸承摩擦力矩Mf的帶動作用，在垂直于滾轉(zhuǎn)軸的橫截面內(nèi)圍繞支撐軸點(diǎn)做復(fù)擺運(yùn)動，其動力學(xué)模型簡圖如圖2所示。圖2中m為軸承和半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺的總質(zhì)量，θ(t)為重心與豎直方向的夾角，L為穩(wěn)定平臺等效重心位置到支撐軸點(diǎn)的距離即擺臂[3-5]。

從圖2可知，穩(wěn)定平臺重心圍繞支撐軸點(diǎn)的擺動是由軸承摩擦力矩與重力回復(fù)力矩共同作用的結(jié)果，兩個力矩的具體作用方式為

(1)

式中：J為穩(wěn)定平臺的轉(zhuǎn)動慣量。

2 彈丸錐形運(yùn)動下的軸承摩擦力矩變化規(guī)律

錐形運(yùn)動是彈丸運(yùn)動不穩(wěn)定的一種表現(xiàn)形式，錐形運(yùn)動發(fā)生時，彈丸除繞自身縱軸的自旋運(yùn)動外，還表現(xiàn)出彈體縱軸繞速度方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動[6-7]，如圖3所示。圖3中，α為半捷聯(lián)系統(tǒng)軸與水平面間夾角即俯仰角，γ為半捷聯(lián)系統(tǒng)軸與彈丸速度軸間夾角即半錐角,β=ωt為L與水平方向的夾角，ω為車床轉(zhuǎn)動角速率，Xv為彈丸速度軸(認(rèn)為是水平方向)，Xt為彈丸自身軸，R為半捷聯(lián)系統(tǒng)軸Xt與水平軸Xv交點(diǎn)到MIMU的距離，H為橫斷面到水平面的距離。

圖3描述了由于彈丸錐形運(yùn)動引起的過MIMU且與半捷聯(lián)系統(tǒng)軸垂直的橫截面圍繞速度軸Xv的“抬頭低頭”運(yùn)動。當(dāng)彈丸自身軸Xt繞彈丸速度軸Xv轉(zhuǎn)動時，過MIMU且垂直于彈丸自身軸Xt的橫截面會圍繞彈丸速度軸Xv轉(zhuǎn)動，從彈丸的速度軸Xv反方向看過去，此截面在垂直于速度軸Xv的橫斷面內(nèi)的夾角值會呈現(xiàn)正余弦變化規(guī)律，截面的面積在橫斷面內(nèi)投影會發(fā)生周期性變化，把橫斷面的這種運(yùn)動叫做“抬頭低頭”運(yùn)動。

2.1 錐形運(yùn)動下的俯仰角變化

當(dāng)彈丸做錐形運(yùn)動時，在考慮過MIMU的半捷聯(lián)系統(tǒng)橫截面面積的情況下，該橫截面與水平面的夾角會隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化；從速度的反方向看過去，半捷聯(lián)系統(tǒng)的橫截面會做周期性的“抬頭低頭”運(yùn)動。系統(tǒng)橫截面與水平面的夾角體現(xiàn)為俯仰角，俯仰角的變化可由(2)式表示：

(2)

2.2 錐形運(yùn)動下軸承所受支持變化

由于彈丸軸圍繞速度軸做錐形運(yùn)動，使得實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定平臺與彈丸連接的軸承也會做錐形運(yùn)動，因此軸承會產(chǎn)生離心力，與這一部分離心力相對應(yīng)的向心力由軸承外套圈的支持力F1提供。軸承運(yùn)動軌跡在過軸承且垂直于速度方向的面內(nèi)投影為圓形，如圖4所示。

軸承以角速率ω圍繞速度軸Xv做勻速圓周運(yùn)動，與豎直軸間夾角為ωt. 向心力沿軸承運(yùn)動軌跡的徑向且指向圓心，由軸承外套圈支持力F1提供，重力方向豎直向下，F(xiàn)p為軸承所受總支持力。根據(jù)三角形余弦定理可知：

F1=mω2L.

(3)

2.3 錐形運(yùn)動下的軸承摩擦力變化規(guī)律

由上述分析可知，彈丸錐形運(yùn)動的情況下軸承支持力等于F1和重力兩部分的矢量和，如果考慮到半捷聯(lián)系統(tǒng)橫截面圍繞速度軸的“抬頭低頭”運(yùn)動，那么軸承的徑向壓力Fr和軸向壓力Fa可以由(4)式[8-9]表示：

(4)

將(2)式、(3)式、(4)式代入SKF軸承摩擦力矩算法內(nèi)，可得到彈丸錐形運(yùn)動下的軸承摩擦力矩隨時間的變化規(guī)律。SKF軸承摩擦力矩算法[10-11]為

Mf=Grr(υn)0.6+μslGsl,

(5)

式中：Grr為滾動摩擦變量；Gsl為滑動摩擦變量，二者具體表達(dá)式與軸承類型有關(guān)；υ為潤滑劑工作溫度的運(yùn)動黏度；μsl為滑動摩擦系數(shù)；n為軸承轉(zhuǎn)速。

與SKF軸承摩擦力矩算法相對比而言，存在軸承摩擦力矩的一般算法。軸承摩擦力矩的一般算法是將軸承摩擦力矩分為不受負(fù)荷影響的力矩M0和受負(fù)荷影響的力矩M1，總的摩擦力矩為二者之和。但是如果不僅考慮負(fù)荷因素，還要考慮導(dǎo)致摩擦力矩產(chǎn)生的根本原因，那么可以給出更為精確的軸承摩擦力矩算法即SKF軸承摩擦力矩算法。該算法比軸承摩擦力矩一般算法更加細(xì)化且計算精準(zhǔn)，尤其體現(xiàn)在滾動項摩擦系數(shù)Grr與滑動項摩擦系數(shù)Gsl上,詳見文獻(xiàn)[11]。以采用開式深溝球軸承6200為例，(5)式中變量可表示為

(6)

式中：R1、R2、S1、S2為軸承摩擦力矩幾何常數(shù)；dm為軸承的平均直徑；αF為接觸角。詳見軸承型錄。

以深溝球軸承6200為例，將(2)式～(6)式代入(5)式，得到彈丸做錐形運(yùn)動情況下的軸承摩擦力矩隨時間變化規(guī)律，計算所需參數(shù)見表1，結(jié)果如圖5所示。

表1 仿真所需參數(shù)

假設(shè)彈丸圍繞速度軸滾轉(zhuǎn)角速率為700 r/min時，綜合考慮由于錐形運(yùn)動引起的“抬頭低頭”運(yùn)動以及軸承支持力變化對軸承摩擦力矩的影響，得到軸承摩擦力矩隨時間的變化曲線如圖5(a)所示；對軸承摩擦力矩進(jìn)行頻譜分析圖如圖5(b)所示，摩擦力矩中主頻為11.76 Hz，接近彈丸繞速度軸的滾轉(zhuǎn)角速率頻率。

根據(jù)復(fù)擺運(yùn)動原理可知，當(dāng)軸承摩擦力矩為恒定值時，穩(wěn)定平臺重心在軸承摩擦力矩與重力回復(fù)力矩的力矩平衡位置附近做鐘擺運(yùn)動，此時穩(wěn)定平臺擺動角速率呈現(xiàn)正余弦變化規(guī)律，且擺動頻率固定[12-13]。若軸承摩擦力矩呈現(xiàn)周期性變化時，使得軸承摩擦力矩與重力回復(fù)力矩的平衡位置發(fā)生周期變化，那么穩(wěn)定平臺擺動角速率會存在兩個固定頻率的波動。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了對上述理論分析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，將半捷聯(lián)慣性測量系統(tǒng)安裝在高精度數(shù)控車床上，如圖6所示?？刂栖嚧草S與系統(tǒng)軸間夾角即彈丸錐形運(yùn)動時的半錐角恒定且以恒定角速率轉(zhuǎn)動。通過對半捷聯(lián)系統(tǒng)采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得到彈丸錐形運(yùn)動情況下的半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺擺動角速率變化規(guī)律。將半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺擺動角速率理論仿真結(jié)果與實(shí)際運(yùn)動規(guī)律對比，可實(shí)現(xiàn)對理論分析結(jié)果的驗(yàn)證。

3.1 半捷聯(lián)系統(tǒng)理論輸出

考慮彈丸錐形運(yùn)動對軸承摩擦力矩的影響，借助4階、5階龍格- 庫塔自適步長法，對(1)式進(jìn)行仿真，將(1)式重寫為1階方程的形式：

(7)

圖7(a)表示彈丸錐形運(yùn)動情況下，半捷聯(lián)系統(tǒng)滾轉(zhuǎn)角速率理論輸出。圖7(b)中對滾轉(zhuǎn)角速率理論輸出進(jìn)行頻譜分析，可知存在與軸承摩擦力矩相近的頻段，頻率為11.780 Hz.

圖8描述為取軸承摩擦力矩為恒定值0.315 N/m2時，結(jié)合(1)式用龍格- 庫塔自適步長法仿真得到穩(wěn)定平臺擺動角速率的理論輸出。

由圖7與圖8對比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)軸承摩擦力矩為恒定值時，穩(wěn)定平臺僅存在一個低頻段的角速率。若軸承摩擦力矩發(fā)生變化，那么穩(wěn)定平臺的角速率也會疊加與軸承摩擦力矩同頻變化的角速率。

3.2 半捷聯(lián)系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)

為了對錐形運(yùn)動下半捷聯(lián)滾轉(zhuǎn)角速率理論值進(jìn)行驗(yàn)證，將半捷聯(lián)系統(tǒng)安裝在高精度數(shù)控車床上，并將半捷聯(lián)系統(tǒng)滾轉(zhuǎn)軸與車床軸間夾角控制在1°左右，控制車床以700 r/min轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動。對半捷聯(lián)系統(tǒng)采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行解算分析[15-16]，得到當(dāng)車床轉(zhuǎn)速為700 r/min時滾轉(zhuǎn)角速率輸出波形，如圖9所示。

圖7和圖9分別表示當(dāng)彈丸滾轉(zhuǎn)角速率為700 r/min時，半捷聯(lián)系統(tǒng)滾轉(zhuǎn)角速率理論仿真數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)及其對應(yīng)的頻譜分析，經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)滾轉(zhuǎn)角速率理論輸出與實(shí)際輸出都存在高低頻段，低頻段滾轉(zhuǎn)角速率的頻率在2 Hz左右，高頻段滾轉(zhuǎn)角速率的頻率為11.790 Hz且與高精度車床轉(zhuǎn)動頻率相近。由于在地面半物理仿真試驗(yàn)時，高精度數(shù)控車床與半捷聯(lián)系統(tǒng)間夾角不能嚴(yán)格地控制在1°，以及半捷聯(lián)系統(tǒng)軸向安裝誤差角的存在，使得半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺實(shí)際角速率輸出幅值與理論仿真值之間有所差異，理論輸出和實(shí)際輸出波形基本符合。圖7和圖9中低頻段表示錐形運(yùn)動的半錐角固定不變且產(chǎn)生的軸承摩擦力矩為恒定值時，穩(wěn)定平臺擺動的角速率；高頻段表示因車床轉(zhuǎn)動導(dǎo)致軸承摩擦力矩周期性變化，進(jìn)而引發(fā)穩(wěn)定平臺擺動角速率的周期性變化，且變化頻率與車床轉(zhuǎn)動頻率相同。得到滾轉(zhuǎn)角速率的高頻段輸出是由于彈丸在錐形運(yùn)動時，導(dǎo)致軸承摩擦力矩產(chǎn)生周期性變化引起半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺累加的角速率；在此高頻段角速率的作用下，半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺擺動角速率增大。

4 結(jié)論

本文將半捷聯(lián)系統(tǒng)安裝在高精度數(shù)控車床上，控制半捷聯(lián)系統(tǒng)滾轉(zhuǎn)軸與車床軸間夾角，作為彈丸錐形運(yùn)動時的半錐角，進(jìn)行地面半物理仿真試驗(yàn)。驗(yàn)證了由于彈丸錐形運(yùn)動導(dǎo)致軸承摩擦力矩周期性的變化，使得穩(wěn)定平臺滾轉(zhuǎn)角速率疊加一個隨彈丸滾轉(zhuǎn)角速率同頻變化的角速率，在此疊加角速率的作用下使得半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺整體擺動角速率增大。合理解釋了彈丸錐形運(yùn)動情況下半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺擺動角速率增大的原因；從彈丸在錐形運(yùn)動時作用在半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺上的動力學(xué)模型入手，結(jié)合SKF軸承摩擦力矩算法得到在“抬頭低頭”運(yùn)動及軸承徑向支持力共同作用下的軸承摩擦力矩變化規(guī)律；得到半捷聯(lián)穩(wěn)定平臺由于彈丸錐形運(yùn)動下擺動角速率增大的原因，為半捷聯(lián)慣性測量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的設(shè)計優(yōu)化提供了理論參考依據(jù)。

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