基于量綱分析法的單擺周期進(jìn)一步推演

楊汝娟，方 雪

（1.麗江市第一高級(jí)中學(xué)，云南 麗江；2.云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，云南 昆明）

量綱分析是日常物理教學(xué)中重要的板塊之一，其基本原理主要是量綱和諧原理和Ⅱ定理，其中量綱和諧原理適用于比較簡(jiǎn)單的物理問題，如果相關(guān)變量的未知數(shù)不超過5個(gè)，而Ⅱ定理則具有普遍使用性。本文通過量綱分析單擺中的周期，說明在物理實(shí)驗(yàn)中解決問題的便利性。

在物理學(xué)中導(dǎo)出物理量在SI單位制下由七個(gè)基本量構(gòu)成：長(zhǎng)度L，質(zhì)量M，時(shí)間T，電流強(qiáng)度I，溫度K，光照強(qiáng)度Θ和物質(zhì)的量N，一個(gè)所研究物理量的量綱可以用以上的七個(gè)基本量的冪次方的乘積 f=LαMβTχIδKεΘφNγ表示，稱這個(gè)冪次方乘積的數(shù)學(xué)關(guān)系為該物理量的量綱解析式，其中 α、β、χ、δ、ε、φ、γ 為常數(shù)，稱為量綱指數(shù)。若一個(gè)研究的物理量的量綱指數(shù)全部為0，則稱該物理量為無量綱量。

一、量綱和諧原理

量綱和諧原理是指凡能正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱都必須是一致的。因?yàn)橹挥邢嗤烤V的量才能相加減，否則是沒有意義的。所以一個(gè)方程中各項(xiàng)的量綱必須是一致的，例如連續(xù)方程、能量方程和動(dòng)量方程各項(xiàng)的量綱都是一致的，也就是說各方程式的量綱是和諧的，而且方程的形式不隨單位制的變化而改變。

二、π定理與量綱齊次法則

在研究一個(gè)物理現(xiàn)象中，所涉及完整的關(guān)系式都可以是無量綱化的。假設(shè)某一個(gè)物理現(xiàn)象中相關(guān)參量有X1，X2…Xk…Xn，之間存在著如下的關(guān)系：φ（X1，X2…Xk…Xn）=0

式中 X1，X2…Xk…Xn是由 Z1，Z2…Zk…Zn中 k 個(gè)獨(dú)立量綱的參量所組成的無量綱參數(shù)，通過對(duì)原來n個(gè)參量的無量綱化，一定可得到n-k個(gè)獨(dú)立無量綱參數(shù)X1，X2…Xk…Xn-k的函數(shù)關(guān)系式，這就是所謂的π定理。

由上述的函數(shù)關(guān)系，設(shè)有m個(gè)基本量物理量，則可組合形成m*n階矩陣，假使該矩陣的秩為r，則有n-r個(gè)基本解：Y1，Y2…Y（n-r），使得φ（Y1，Y2…Y（n-r））=0與φ（X1，X2…Xk…Xn）=0相互等價(jià)，稱為量綱齊次法則。

圖1 單擺示意圖

三、理想情況下單擺做小角度振蕩的周期量綱分析

單擺是在細(xì)繩的一端懸掛著一個(gè)具有一定質(zhì)量的物體，細(xì)繩的另一端是固定不動(dòng)的，而且細(xì)繩的質(zhì)量m比懸掛的物體的質(zhì)量要小得多，可忽略不計(jì)，細(xì)繩的形變比繩長(zhǎng)l小得多也可以忽略不計(jì)，當(dāng)懸掛物從鉛垂的自熱狀態(tài)，沿半徑為l的圓弧移動(dòng)到初始方位角，然后無初速度釋放，物體受重力的作用下作周期性振動(dòng)，如圖1所示。

顯然，單擺的振蕩周期t取決于與該物理現(xiàn)象相關(guān)的4個(gè)參數(shù)，即懸掛物的質(zhì)量m，細(xì)繩的長(zhǎng)度l，當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭以及運(yùn)動(dòng)的初始方位角α，于是我們可以得到單擺的振蕩周期t與懸掛物的質(zhì)量m，細(xì)繩的長(zhǎng)度l，當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭以及運(yùn)動(dòng)的初始方位角a之間的關(guān)系：

顯然，這里描述的是一個(gè)簡(jiǎn)單的力學(xué)系統(tǒng)，在函數(shù)t=f（m，l，g，α）中的自變量，有三個(gè)量綱是獨(dú)立的基本量，即m、l、g它們的量綱分別是質(zhì)量（M）長(zhǎng)度（L）和重力加速度（g）。上述函數(shù)關(guān)系式中的α為運(yùn)動(dòng)的初始方位角；而因變量t的量綱是時(shí)間（T），可以表示為基本量l、g之間的量綱組合，而振蕩周期t與初始方位角α都是導(dǎo)出量，于是我們進(jìn)行如下量綱矩陣分析：

我們可以把m、l和g取為該問題的基本單位系統(tǒng)，用來度量問題中所有的物理量，根據(jù)（1）（2）（5）式可得：

圖2 單擺示意圖

如圖2所示，設(shè)單擺的擺錘處于最低點(diǎn)時(shí)勢(shì)能為零，擺角為θ時(shí)擺錘上升的高度y為：

此時(shí)單擺的總的機(jī)械能為：

不計(jì)空氣阻力影響，則單擺的機(jī)械能守恒，由（9）（10）式得：

則式（12）變?yōu)椋?/p>

由式（13）可得：

由于k<1，sinu<1，式（14）被積的函數(shù)中二次方以上項(xiàng)的值近似為零，可忽略不計(jì)，于是有

f（α）實(shí)際上是α的偶函數(shù)，如果初始方位角α是個(gè)很小的角，將f（α）在α=0處作泰勒展開，于是有：

將（17）式帶入（7）式有：

可見，我們使用量綱分析的方法來尋找t=f（m，l，g，α）的關(guān)系只需做6組以上的實(shí)驗(yàn)來確定f（α）就足夠了，而使用傳統(tǒng)的測(cè)量的方法尋找的t=f（m，l，g，α）關(guān)系，假設(shè)對(duì)于每一個(gè)自變量測(cè)量10次，那么共要做10*10*10*10次實(shí)驗(yàn)，相比來看，益處太明顯了。

四、小角度下空氣阻尼系數(shù)對(duì)單擺周期的影響

單擺在空氣的運(yùn)動(dòng)是存在阻尼的，而且阻尼系數(shù)非常小，但是對(duì)擺的運(yùn)動(dòng)存在巨大的影響，我們對(duì)擺在空氣中的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析可以知道，擺的運(yùn)動(dòng)周期在大角度下是非線性的，而在小角度下的運(yùn)動(dòng)是線性的，擺在空氣中的運(yùn)動(dòng)周期t可能和質(zhì)量m、當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭、阻尼系數(shù)k、擺長(zhǎng)l、速度v有關(guān)，這里選擇m、g、k、l、v為基本量進(jìn)行如下分析：

獲得無量綱組合：

式中是某個(gè)函數(shù)，由（23）（24）（25）式得：

同時(shí)乘以質(zhì)量m

下面我們采用正交實(shí)驗(yàn)方法的思想確定函數(shù)φ的具體形式；

函數(shù)關(guān)系式，可以用以下函數(shù)關(guān)系式表示：

由函數(shù)方程式（29）式可得：

（33）式轉(zhuǎn)化為

現(xiàn)在對(duì)（34）式分析：

將（34）式轉(zhuǎn)化為

將（30）式帶入（35）式得

（說明：α為擺的初始方位角，θ為擺在運(yùn)動(dòng)的過程中移動(dòng)的方位角，n為所做的正交實(shí)驗(yàn)組數(shù)。）

結(jié)合單擺的分析，利用量綱分析法闡述了單擺周期的物理分析，可以得出量綱分析對(duì)于某一物理現(xiàn)象可以有效地進(jìn)行物理方程的確立，但由于量綱分析的結(jié)果是半定量化的，其中有一些無量綱的參數(shù)或函數(shù)難以確定，這些參數(shù)或函數(shù)還需進(jìn)一步使用其他工具計(jì)算，但是量綱分析出的變量之間的關(guān)系，可以減少所研究的物理問題的不確定因數(shù)。在此基礎(chǔ)上，對(duì)于所研究問題的數(shù)學(xué)模型的建立與確定關(guān)系式的一般函數(shù)形式，具有較大的實(shí)際意義。