老師，8月到底是升還是降
——折線統(tǒng)計(jì)圖升降分析錯(cuò)誤例談

浙江省象山縣丹城第四小學(xué) 金衛(wèi)東

統(tǒng)計(jì)與概率是義務(wù)教育階段教學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的四大內(nèi)容之一，課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)要讓學(xué)生經(jīng)歷簡(jiǎn)單的收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過程，幫助學(xué)生逐漸建立起數(shù)據(jù)分析的觀念。在這個(gè)理念的指引下，老師在統(tǒng)計(jì)教學(xué)時(shí)，都能注重學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的分析描述，但對(duì)于該怎樣正確地描述統(tǒng)計(jì)圖表，尤其是對(duì)折線統(tǒng)計(jì)圖的描述分析，常常會(huì)產(chǎn)生一些習(xí)慣性的錯(cuò)誤。

近日在聽《折線統(tǒng)計(jì)圖》一課中，又聽到了這樣的錯(cuò)誤：

【教學(xué)片段】

教師從某城市的月平均氣溫條形統(tǒng)計(jì)圖引入，做簡(jiǎn)單的介紹，告訴學(xué)生除了條形統(tǒng)計(jì)圖可以表示這座城市的每月平均氣溫外，我們還有一種新的統(tǒng)計(jì)圖可以更好地表示出每月平均氣溫的變化情況。課件演示把條形統(tǒng)計(jì)圖的每個(gè)條形演變成一個(gè)點(diǎn)，再把點(diǎn)逐個(gè)連接，演變成一幅折線統(tǒng)計(jì)圖（如圖1），帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)折線統(tǒng)計(jì)圖，并用手勢(shì)表示這幅折線統(tǒng)計(jì)圖的折線的起起落落，然后進(jìn)入描述分析折線統(tǒng)計(jì)圖的環(huán)節(jié)。

師：從這幅折線統(tǒng)計(jì)圖，你能發(fā)現(xiàn)這座城市一年里氣溫變化的特點(diǎn)嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)一年里氣溫最高的是8月份，最低的是1月份。

生：我發(fā)現(xiàn)氣溫開始是上升的，后來又降低了。

圖1

師：那么從幾月到幾月是上升的，從幾月到幾月是降低的呢？

生：氣溫從1月到8月是上升的，從8月到12月份是降低的。

從圖上看，先上升后下降的變化非常明顯，學(xué)生的回答也很符合老師內(nèi)心所需，于是老師帶領(lǐng)全體學(xué)生觀察哪兩個(gè)月之間上升最快，哪兩個(gè)月之間降低最多。學(xué)生各抒己見，課堂內(nèi)交流很積極，學(xué)生學(xué)得很高興，但有一個(gè)學(xué)生盯著大屏幕發(fā)愣，遲疑著想要舉手，又放下。老師發(fā)現(xiàn)了，于是問這名學(xué)生：“你有什么想說的嗎？”

這位學(xué)生站起來說：“我也不知道對(duì)不對(duì)，就是想問問，剛才老師你說1月到8月氣溫是上升的，而8月到12月氣溫又是下降的，那么這個(gè)8月份的氣溫到底是上升了還是下降了？”

下面聽課的老師一陣輕微的騷動(dòng)，上課的老師明顯愣了愣。

師：……8月份，在1月份到8月份是呈上升趨勢(shì)的，……在下半年又是逐漸下降的……

明顯這個(gè)答案不能很好地給這位學(xué)生解惑，于是他又繼續(xù)追問：“那老師你說8月份到底是上升還是下降？在這個(gè)月里面是一會(huì)兒上升一會(huì)兒下降嗎？”

這個(gè)問題老師沒有很好的準(zhǔn)備，打老師一個(gè)措手不及，于是老師說：“你這個(gè)問題提得很有價(jià)值，讓老師課后思考再回答你好嗎？現(xiàn)在先接著往下學(xué)?！?/p>

……

【錯(cuò)誤分析】

課堂上的“驚險(xiǎn)”被暫時(shí)存檔了。課后，我找來了這個(gè)學(xué)生和老師。

我問了這個(gè)提問的學(xué)生：你認(rèn)為8月份的氣溫是上升了還是下降了？他說：我也不敢確定，氣溫上升還是下降不是跟原來的比嗎？比前一個(gè)月高就是上升，比前一個(gè)月低就是下降，可八月份有這么多天，我不能確定。

我又問老師，這位老師說：他的問題是我沒有想到的，我在教折線統(tǒng)計(jì)圖的變化趨勢(shì)時(shí)，一直是從哪里到哪里是上升，從哪里到哪里是下降的，中間的這個(gè)月是過渡的。

對(duì)于折線統(tǒng)計(jì)圖的描述分析，絕大多數(shù)老師都會(huì)像這位老師一樣去描述，好像這樣已是一種教學(xué)習(xí)慣。我剛開始教學(xué)時(shí)聽老教師上課就是這樣描述的，對(duì)于這個(gè)學(xué)生的疑惑我也一直存在。其實(shí)，老師在課堂上的描述是不恰當(dāng)?shù)?，在這幅圖中，每個(gè)月的氣溫都是平均氣溫，一個(gè)數(shù)值就代表了這個(gè)月的整體情況，不存在“8月份有這么多天”的情況。從前半部分看是上升的，后半部分是下降的，8月份在連接的節(jié)點(diǎn)上，很容易讓人錯(cuò)誤地表述為“從1月份到8月份是上升的，從8月份到12月份是下降的”。我非常同意這位學(xué)生對(duì)上升還是下降的判斷，符合本質(zhì)，事物的升與降就應(yīng)該是在原有（這題是前一個(gè)月的氣溫）的基礎(chǔ)上比較得來的，比原來的多就是上升了，比原來的少就是降低，不存在一會(huì)低一會(huì)高的含糊不清的描述。這題中，8月氣溫僅僅是一個(gè)點(diǎn)，根本就沒有過渡的說法。

【正確處理】

從圖中發(fā)現(xiàn)，8月份的氣溫比前一個(gè)月（七月）要高，8月份的氣溫是上升，到了9月份，氣溫比8月份要低，這樣9月份的氣溫是降低的。討論后認(rèn)為描述應(yīng)是：1月開始到八月份氣溫逐漸上升，八月份以后（或9月份）氣溫逐漸下降。這樣8月份就不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，也符合升降比較的本質(zhì)。循著這個(gè)思路，那么1月份不是沒有比較嗎？1月份為什么說它是升呢？針對(duì)這個(gè)提問進(jìn)行了思考，進(jìn)一步完善，這個(gè)城市的月平均氣溫變化描述為：1月份后到8月份氣溫逐漸上升，八月份以后（或9月份）氣溫逐漸下降。

【反思原因】

一、對(duì)于比較變化的提問不夠嚴(yán)謹(jǐn)

一直以來，多數(shù)教師都會(huì)這樣描述變化趨勢(shì)，究其原因，除了單純的從折線看變化而沒有思考升降比較的本質(zhì)外，還有一個(gè)原因是教師提問不夠嚴(yán)謹(jǐn)。在課堂中，老師提問：“從幾月到幾月是上升的，從幾月到幾月是降低？”“哪兩個(gè)月之間上升最快，哪兩個(gè)月之間降低最多？”很顯然，老師讓學(xué)生回答的就是月份與月份之間的話題，學(xué)生很容易循著老師的思路從圖上找答案。

圖2

在一次測(cè)試卷中就曾碰到：如圖2，張叔叔家從（ ）月到（ ）月用電量是上升的，從（ ）月到（ ）月用電量是下降的。處于最高點(diǎn)的四月到底是上升的還是下降的？學(xué)生的答案五花八門，有的把四月歸到上升的，也有的歸到下降的，更多的是把四月放到上升的后一括號(hào)，下降的前一括號(hào)，兩者兼而有之。造成這個(gè)折線統(tǒng)計(jì)圖中會(huì)經(jīng)常碰到的問題，原因是出題老師沒有思考何為上升，何為下降，只把折線統(tǒng)計(jì)圖中的折線當(dāng)成了圖片中的上坡、下坡，四月的用電量當(dāng)成連接上下坡的山頂了。

在學(xué)校，我提出“8月這樣描述不當(dāng)”的觀點(diǎn)時(shí)，開始曾遭到很多老師的反對(duì)，有老師認(rèn)為“8月”猶如時(shí)鐘的“0時(shí)”，既是前面的結(jié)束，又是后面的開始，看著好像正確，但氣溫的上升變化還是下降變化是由比較得出的，不是簡(jiǎn)單的連接，這樣的描述不符合比較本質(zhì)。翻看現(xiàn)行教材與配套練習(xí)，已經(jīng)很難看到上述提問方式了，正確的問題是“哪幾個(gè)月的氣溫是上升的？哪幾個(gè)月的氣溫是下降的？哪個(gè)月的氣溫上升得最快，哪個(gè)月的氣溫上升最慢？”這樣的表述就十分科學(xué)。

二、沒有區(qū)別時(shí)間段與時(shí)間點(diǎn)

時(shí)間的描述有兩種情況，一種是“一段時(shí)間”通俗用“小時(shí)”表述，一種是“某一點(diǎn)的時(shí)間”，通俗用“時(shí)”表述。雖然在多年前的小學(xué)教材中已統(tǒng)一表述為“時(shí)”，在課堂上不提“小時(shí)”了，但不可否認(rèn)，一段時(shí)間與某點(diǎn)的時(shí)間是客觀存在的。在上面的教學(xué)片段中的氣溫是平均氣溫存在于各個(gè)月份中，已把各月份看成某點(diǎn)時(shí)間了，是一個(gè)整體，不再思考這個(gè)月的天數(shù)，就不存在“哪兩個(gè)月之間”的說法。比如折線統(tǒng)計(jì)圖中的7月份與8月份之間的連線就僅僅是視覺上的上升下降的連線，在兩個(gè)月份之間是不存在7.5月或7.6月的。經(jīng)常碰到的“日期”“星期”“季度”“年份”，還有“第幾屆”也是某點(diǎn)的時(shí)間。如圖3，每?jī)商熘g是不存在另外的星期幾的，提問哪兩天之間上升是不合理的。同樣，對(duì)于上升還是下降，A型水壺在星期二這天的銷售情況相比前一天就只能說是下降，不能錯(cuò)誤地認(rèn)為也是上升的。

圖3

當(dāng)然，折線統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)中是有某段時(shí)間的變化的，這類題目在學(xué)習(xí)中也會(huì)經(jīng)常碰到。如圖4，甲飛機(jī)在第25秒到第30秒是逐漸（ ）。在這題中，第25秒到30秒是一段時(shí)間，在第25秒與第30秒之間還有26秒、27秒……況且第25秒與第30秒雖然只有一秒，但它仍可作為某段的時(shí)間，在這一秒鐘內(nèi)存在25.1秒、25.2秒、25.22秒……，所以提問飛機(jī)“從哪幾秒到哪幾秒”是上升的，是可行的。而第25秒同時(shí)作為時(shí)間的連接點(diǎn)出現(xiàn)，可以描述成前一段是下降，接著是上升。

數(shù)學(xué)是一門語(yǔ)言精煉、推理嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)。課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)是對(duì)于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語(yǔ)言與工具。小學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)與運(yùn)動(dòng)是生活中不可或缺的一部分，同樣需要科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度去對(duì)待。精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言背后往往隱含著一定的數(shù)學(xué)道理。多年教學(xué)形成的約定俗成的說法可能并不準(zhǔn)確，敢于質(zhì)疑，勤于思考，不僅僅是對(duì)學(xué)生提出的要求，也是教師提高教學(xué)業(yè)務(wù)的必要途徑。

圖4