數(shù)形結(jié)合思想在“數(shù)與形”教學(xué)中的實(shí)踐與思考

俞波

[摘 要]數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)要引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果?！痹谡J(rèn)真分析教材的基礎(chǔ)上，教師要活用教材，給予學(xué)生獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)和平臺(tái)，通過建構(gòu)模型，幫助學(xué)生在“數(shù)與形”的教學(xué)中形成數(shù)學(xué)思維，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有深刻的認(rèn)知。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合；直觀；數(shù)學(xué)思維；實(shí)踐與思考

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）05-0038-02

【教材分析】

1.解題策略直觀，易于激發(fā)學(xué)生興趣

“數(shù)與形”一課最大的優(yōu)點(diǎn)是一目了然。如例1（如下圖），圖中的算式與圖形一一對(duì)應(yīng)，學(xué)生立刻就能感受到數(shù)形結(jié)合的美。在之前的教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想已多有涉及，所以在六年級(jí)教學(xué)數(shù)與形的專題，其實(shí)是促進(jìn)學(xué)生原有知識(shí)生長。

2.題目類型多樣，便于拓展思維寬度

例1是利用各種不同的圖形來揭示數(shù)的規(guī)律，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形的面積、數(shù)量、邊長等不同維度的量來建立等式關(guān)系，其重點(diǎn)是揭示規(guī)律。而例2“計(jì)算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…”屬于利用圖形來計(jì)算有規(guī)律的算式，目的是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形解決計(jì)算問題。例1和例2雖然都是典型的數(shù)形結(jié)合的題目，但它們并不屬于同一個(gè)計(jì)算范疇，有利于拓展學(xué)生的思維寬度。

3.思考方法抽象，利于培養(yǎng)建模能力

例2展示的是用圖形表示抽象的算式，但要想到用這種方法是需要一定的數(shù)學(xué)能力的，這就給教師培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)創(chuàng)造了機(jī)會(huì)和條件。

【實(shí)踐研究】

一、活用教材，優(yōu)化思考方法

1.用數(shù)學(xué)的眼光觀察圖形

教學(xué)例1時(shí)，若直接出示課本中的算式和圖形，大部分學(xué)生都不能夠?qū)D形與算式聯(lián)系起來，教師最終只能直白地告知他們例題的思想，數(shù)學(xué)思考的重要價(jià)值就會(huì)因此喪失。對(duì)此，筆者采用繪畫的方式引入教學(xué)內(nèi)容。

師：老師畫了一個(gè)圖，你們想看嗎？（課件出示圖形，如右圖所示）你們能否從數(shù)學(xué)的角度來找出這幅圖中蘊(yùn)含的數(shù)呢？

生1：42=16。

師：逐一涂上顏色，你還能寫出一些等式來嗎？

生2：1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42。

用這樣的方式呈現(xiàn)例題，有利于學(xué)生深入解讀和認(rèn)識(shí)圖形，更有利于后續(xù)將算式與圖形進(jìn)行對(duì)比思考，真正用數(shù)的抽象揭示圖的神秘。

2.根據(jù)等式的變化尋找規(guī)律

上面這道例題的計(jì)算稍顯簡(jiǎn)單，為此教師需要給學(xué)生制造一些思維沖突。

師：根據(jù)上面的等式和圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：1+3+5+7+9=52，1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102。

生4：從1開始的連續(xù)n個(gè)奇數(shù)的和等于n2。

生5：重點(diǎn)要注意“連續(xù)”“奇數(shù)”“從1開始”。

這種讓學(xué)生尋找算式規(guī)律的方式，使得學(xué)生能夠更快速地掌握算式的特性，也能尋找到圖形屬性與算式的聯(lián)系。

3.利用規(guī)律解決問題

師：根據(jù)例1的結(jié)論算一算。1+3+5+7+5+3+1=（ ），1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ ）。

讓學(xué)生利用例1的規(guī)律解決問題，使之充分體驗(yàn)用數(shù)據(jù)揭示形的神秘的樂趣，很好地實(shí)現(xiàn)了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生感知數(shù)形結(jié)合的好處，知道用圖形來說明數(shù)的規(guī)律可以事半功倍。

二、創(chuàng)設(shè)平臺(tái)，引發(fā)解題感悟

1.給予機(jī)會(huì)獨(dú)立思考，思維有深度

教師適當(dāng)放手，給予學(xué)生獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，是實(shí)現(xiàn)深度思考的重要途徑。如例2，“計(jì)算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…”的教學(xué)。首先，教師請(qǐng)學(xué)生說一說題目的具體含義，啟發(fā)學(xué)生弄明白省略號(hào)的具體意思以及分母的變化規(guī)律；其次，教師追問：“這樣的題目你覺得該怎么解答？”學(xué)生提出的方法有通分計(jì)算、猜測(cè)規(guī)律、畫圖驗(yàn)證等。這樣就很好地實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)：實(shí)踐操作，學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的具體操作方法，感知到可以用線段、正方形、圓等圖形來揭示數(shù)據(jù)的規(guī)律。

2.提供平臺(tái)深入探究，學(xué)習(xí)有寬度

進(jìn)行探究實(shí)踐，是學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的最佳策略。

（1）通分計(jì)算，尋找規(guī)律

師：通過計(jì)算“1/2+1/4+1/8+1/16+…=”，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生6：隨著加數(shù)的增加，結(jié)果逐漸變大，越來越接近1。

師：為什么最后結(jié)果接近于1？（啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)畫圖的優(yōu)越性——直觀）

（2）繪制圖形，展示過程

首先，請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)講解自己畫的圖形。

其次，教師在學(xué)生展示的基礎(chǔ)上利用課件出示與各種圖形對(duì)應(yīng)的思維過程。

揭示：陰影部分的和=1-式子中的最后一個(gè)分?jǐn)?shù)。

揭示：空白不斷變小，逐漸接近0，陰影部分就不斷變大直到接近于1。

這樣的探究活動(dòng)，不僅讓學(xué)生深刻地理解了數(shù)與形的內(nèi)涵，更使學(xué)生突破教學(xué)重難點(diǎn)，有利于學(xué)生不斷拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的寬度。

3.幫助學(xué)生形成策略，收獲有厚度

學(xué)生獨(dú)立探究后給出了各種圖形，教師將這些圖形放在一起，并提問：“通過畫圖來解決問題有什么好處？”最后，教師總結(jié)：“同樣是揭示分?jǐn)?shù)的計(jì)算規(guī)律，我們可以用不同的圖形來實(shí)現(xiàn)，可以用線段、可以用正方形、也可以用圓，也許還有別的圖形?！边@樣的回味學(xué)習(xí)將使得學(xué)生的收獲具有厚度。

三、借助模型，形成數(shù)學(xué)思維

1.數(shù)形結(jié)合突破難點(diǎn)——從學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)出發(fā)

數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容都比較抽象，因此，在教學(xué)過程中教師要給出一些具體、形象、直觀的圖形去幫助學(xué)生理解。endprint

師：當(dāng)遇到難題或比較復(fù)雜的問題時(shí)，你會(huì)用什么辦法解決？（畫圖）為什么喜歡畫圖？

師：如果題目本身就是圖形題，怎么辦？（找出圖形中的規(guī)律）

師：像之前用圖形來解決相關(guān)問題的方法就是數(shù)形結(jié)合的方法，以前學(xué)過的內(nèi)容有用到這種方法嗎？（加減法的意義、分?jǐn)?shù)意義等）

師：下面的算式與圖形分別有什么樣的關(guān)系？

（a+b）c=ac+bc，（a+b）2=a2+2ab+b2

通過研究算式與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用式子描述圖形面積，用圖形面積刻畫式子，兩相對(duì)照，學(xué)生就能深刻感知數(shù)形結(jié)合的重要性。

2.圖形推算落實(shí)重點(diǎn)——從學(xué)習(xí)的過程出發(fā)

本課重點(diǎn)是讓學(xué)生經(jīng)歷推理和探究圖形與算式之間關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。為此，首要的是將數(shù)與形關(guān)聯(lián)在一起的本質(zhì)找出來。教師可提問：“前面的例題是利用圖形的什么維度來建立關(guān)系的？”

3.抽象建模實(shí)現(xiàn)拓展——從學(xué)習(xí)的方法出發(fā)

本課的靈魂是抽象建模，首先要讓學(xué)生建立解決此類問題的模型；其次要讓學(xué)生形成思考和推理的意識(shí)。為此，教師可進(jìn)行拓展練習(xí)，通過在練習(xí)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題，凸顯其實(shí)用性，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)形結(jié)合不單是用圖形來解決數(shù)的問題的，其實(shí)很多圖形中也蘊(yùn)含著數(shù)的規(guī)律。

如用數(shù)的抽象來揭示圖形的神秘：

照這樣下去，第n個(gè)圖形有（ ）個(gè)紅色小正方形和（ ）個(gè)藍(lán)色小正方形。

這樣就能讓學(xué)生明白做這樣的題目首先要揭示圖形個(gè)數(shù)的規(guī)律，并且要用前面?zhèn)€數(shù)少的圖形中去揭示和發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律，這是解決問題的基本技巧。

4.回顧過程完成梳理——從學(xué)習(xí)的序列出發(fā)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有順序的，所以數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)生的頭腦中的存儲(chǔ)是有層次、有先后的。為此，非常有必要讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕仡櫯c小結(jié)，從而使得所學(xué)知識(shí)秩序井然，使得從本課所學(xué)的方法與之前的經(jīng)驗(yàn)得以合理的整合。

【研究成果】

在本課的教學(xué)中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察，讓學(xué)生明白可以用面積、數(shù)量、長度等將數(shù)與形聯(lián)系起來，算式可以用正方形、圓形、線段等不同的圖形來展現(xiàn)。這樣的教學(xué)落實(shí)了三個(gè)教學(xué)目標(biāo)。（1）滲透了數(shù)學(xué)思想方法：學(xué)生能用圖形來解決數(shù)的問題，能用數(shù)的規(guī)律來解決圖形的問題。（2）掌握一種方法：讓學(xué)生在例題的分析與講解中順利的將數(shù)與形進(jìn)行合理溝通。（3）提升一種能力：學(xué)生豐富了自身分析問題的手段與策略，明白數(shù)學(xué)中的問題并非孤立的，可以從另一個(gè)角度來解決問題。

（責(zé)編 吳美玲）endprint