函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)案例分析

張學(xué)選

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）04-0134-01

[背景]

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本概念也是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，高中函數(shù)教學(xué)的思想方法貫穿整個(gè)高中的數(shù)學(xué)教學(xué)，因此函數(shù)應(yīng)用概念教學(xué)與應(yīng)用教學(xué)都是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可缺少的部分。但是就函數(shù)的概念卻較為抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候較為費(fèi)勁，理解與應(yīng)用都是難上加難的事情，雖然初中接觸了一次函數(shù)與二次函數(shù)的基本知識(shí)，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一些好的情境幫助學(xué)生體會(huì)函數(shù)是變量之間有依賴(lài)關(guān)系與重要的數(shù)學(xué)模型，從而促進(jìn)學(xué)生體會(huì)函數(shù)的概念與應(yīng)用。

[描述]

片斷：情景介入，引出舊知識(shí)

師：在講新知識(shí)之前，我們可以先考慮一個(gè)問(wèn)題：樓下三個(gè)開(kāi)關(guān)，人站在開(kāi)關(guān)前卻看不到樓上的燈是否是亮的，而這三個(gè)開(kāi)關(guān)分別控制樓上的三個(gè)燈，允許你開(kāi)其中的一個(gè)開(kāi)關(guān)時(shí)上樓查一次，然后分辨出哪個(gè)開(kāi)關(guān)是控制哪一個(gè)燈的？

生：（展開(kāi)了熱烈的討論）如果我們能在上樓前開(kāi)其中的任一個(gè)燈，開(kāi)一會(huì)，關(guān)上后再開(kāi)其中的另一個(gè)，上樓去檢查的時(shí)候，可以用手摸其中不著的兩個(gè)燈泡，熱的那個(gè)就是先前開(kāi)完之后關(guān)上的開(kāi)關(guān)控制的燈，亮著的一定是開(kāi)著的那個(gè)開(kāi)關(guān)控制的燈，另一個(gè)則明確了。

師：你們考慮得都非常全面，那么明確哪個(gè)燈完全受控于哪個(gè)開(kāi)關(guān)嗎？更清楚的表達(dá)一下。

生：那就編號(hào)吧，作圖表達(dá)出來(lái)。

……

師：為什么要編號(hào)呢？

生：為了表達(dá)更清晰。

師：你們表達(dá)得非常明確，知道嗎，你們做的這些就是函數(shù)。

在學(xué)生正對(duì)函數(shù)類(lèi)問(wèn)題感興趣的時(shí)候，導(dǎo)出一個(gè)函數(shù)圖像，并在函數(shù)圖像的帶領(lǐng)下引出函數(shù)方程的應(yīng)用：例如：函數(shù)f（x）=x3-3x-m在[0，2]上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍。通過(guò)分析我們可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）=x3-3x-m在[0，2]上具有單調(diào)性，同時(shí)根據(jù)這一特點(diǎn)求出極值，從而得到函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值和最小值，要使函數(shù)f（x）=x3-3x-m在[0，2]上有零點(diǎn)，只需其最小值小于等于0，最大值大于等于0即可。通過(guò)推斷就可以得出實(shí)數(shù)m的取值范圍。最后通過(guò)解析可以得出實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-2，2]。

在講解這類(lèi)函數(shù)的時(shí)候，可以根據(jù)學(xué)生進(jìn)入圖解的思路，在用圖畫(huà)出函數(shù)值域取值范圍的限定，一般來(lái)說(shuō)，可以利用函數(shù)圖像中的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定f（x）=m的取值范圍與個(gè)數(shù)問(wèn)題，這樣也就是通過(guò)對(duì)f（x）=m的函數(shù)構(gòu)造完成方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域加以解決。一般地，方程f（x）=m有解的條件是m在函數(shù)f（x）的值域范圍內(nèi)。

師：這道題就是我們引出的本節(jié)課的函數(shù)應(yīng)用的例子。

生：這些就是函數(shù)的應(yīng)用案例？

師：根據(jù)我們引導(dǎo)的案例與應(yīng)用，大家可以從中推出函數(shù)的物點(diǎn)。

生：（如剛才一樣進(jìn)入了又一番熱烈討論中）生活中燈炮的例子說(shuō)明，我們可以將其中不確定性先預(yù)定，然后另一變量確定之后，其他變量值也會(huì)成為唯一性而確定下來(lái)，剛剛的函數(shù)應(yīng)用也是這個(gè)道理。

師：讓我們用函數(shù)的集合的方法來(lái)闡述這一理論與應(yīng)用原理。

生：在確定某一數(shù)值的時(shí)候，都會(huì)涉及到兩個(gè)集合，而這兩個(gè)集合都是任意集合的元素組成的，這樣我們就可以找出相對(duì)應(yīng)的集合的元素與數(shù)了。

師：我們的思路已經(jīng)開(kāi)通了，再思考如下的問(wèn)題：

已知|a|<1，|b|<1，|c|<1.求證：abc+1>a+b+c

這時(shí)就需要我們考慮一下關(guān)于a的函數(shù)的構(gòu)造，這時(shí)可以將其中的a設(shè)置成主元，再考慮求證的問(wèn)題。

師：在證明時(shí)，我們可以先考慮一下這個(gè)函數(shù)所處圖像的位置及其圖像的形狀。

生：（互相討論）這應(yīng)當(dāng)是一條線段。

師：我們從其取值上可以看出其形狀，然后再對(duì)其進(jìn)行證明。

證明：設(shè)f（a）=abc+2-a-b-c，因?yàn)閒（-1）=-bc+3-b-c，因?yàn)閎<1， c<1， bc<1，所以f（-1）>0。

f（1）=bc+2-1-b-c=bc+1-b-c=b（c-1）+1-c=（1-c）（1-b）>0

因函數(shù)f（a）在[-1，1]上的圖像為線段，所以當(dāng)a∈（-1，1）時(shí)，f（a）的圖像在橫軸的上方，故f（a）>0恒成立，即abc+1>a+b+c。

師：（總結(jié)）這題比上一題的問(wèn)題與解題思路更加深入了。其所表現(xiàn)出來(lái)的函數(shù)觀點(diǎn)、方程觀點(diǎn)外，在兩種觀點(diǎn)的應(yīng)用中又都采用了“主元思想”，即將其中某個(gè)變量（或式子）看成主元，抓住主元進(jìn)行研究。

生：這就是站得高望得遠(yuǎn)的道理嗎？

師：理解得非常準(zhǔn)確。當(dāng)遇到這樣的問(wèn)題時(shí)，我們最先考慮的就是站在更高的高度來(lái)認(rèn)識(shí)問(wèn)題就能找到解決問(wèn)題的突破口。

[分析]

本節(jié)課是在新課標(biāo)的要求下，以教師為主導(dǎo)思想為基礎(chǔ)的前提下，推動(dòng)以學(xué)生為主體的原則從對(duì)函數(shù)的初步理解的回憶到逐步加深最后深入應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)行教學(xué)，這樣的前提下可以有效的解決問(wèn)題。

一、在進(jìn)入教學(xué)之前，教師如能利用恰當(dāng)?shù)那榫硯ьI(lǐng)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)環(huán)境，可以幫助學(xué)生合理解決問(wèn)題。根據(jù)新課標(biāo)的要求，教師在教學(xué)中起到的最主要的角色就是引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)，因?yàn)橹R(shí)不是被動(dòng)得到的，而是學(xué)習(xí)者在教師的情境創(chuàng)設(shè)的前提下，自動(dòng)獲取的，這是一個(gè)利用他人的幫助獲得相應(yīng)的學(xué)習(xí)資料的有意義的學(xué)習(xí)構(gòu)建的過(guò)程。這也讓學(xué)生覺(jué)得非常難的函數(shù)應(yīng)用課與現(xiàn)實(shí)生活是密切聯(lián)系的，因此增加了學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)促進(jìn)了學(xué)生的求知欲，并幫助學(xué)生通過(guò)這種趣味性，讓學(xué)生能夠更加明確函數(shù)應(yīng)用的解決思路。

二、利用現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用完成對(duì)原有概念的深入學(xué)習(xí)的引導(dǎo)，可以讓學(xué)生對(duì)新的知識(shí)點(diǎn)不那么抵觸，因?yàn)樽寣W(xué)生在回憶了過(guò)去的函數(shù)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系的基礎(chǔ)上加入現(xiàn)有的函數(shù)知識(shí)顯得不那么突兀，也讓學(xué)生對(duì)函數(shù)應(yīng)用不再那么抵觸。

三、數(shù)學(xué)是一項(xiàng)需要理解的學(xué)科，我們?cè)诮虒W(xué)的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)不跳出讓學(xué)生死記硬背的模式，讓學(xué)生發(fā)展相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維與積極的數(shù)學(xué)情感態(tài)度，結(jié)合高中函數(shù)的抽象思維促動(dòng)學(xué)生積極努力的學(xué)習(xí)與探索。