在全國(guó)卷背景下對(duì)《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》教學(xué)內(nèi)容的思考

張佳

【摘要】2016年有26個(gè)省份使用全國(guó)卷。隨著全國(guó)卷在各省份的使用，全國(guó)卷的考試內(nèi)容和形式也越來(lái)越受到重視。本文從一線教師的視角出發(fā)，結(jié)合近幾年的高考真題，以求兩曲線交點(diǎn)問(wèn)題、？籽的意義和t的意義的理解、求最值問(wèn)題這三類重點(diǎn)題型為抓手，對(duì)《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》這部分內(nèi)容中的重點(diǎn)進(jìn)行分析，并給出教學(xué)建議，力求為一線老師的教學(xué)活動(dòng)提供方向，讓老師們少走彎路，讓學(xué)生們抓住重點(diǎn)，盡快得分。

【關(guān)鍵詞】坐標(biāo)系與參數(shù)方程 求兩曲線交點(diǎn)問(wèn)題 ？籽的意義和t的意義的理解 求最值問(wèn)題

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）03-0150-02

隨著全國(guó)卷在各省份的使用，全國(guó)卷的考試內(nèi)容和形式也越來(lái)越受到重視。在平時(shí)的教學(xué)中，如何教才能使學(xué)生在學(xué)到知識(shí)的同時(shí)，在高考中更加適應(yīng)全國(guó)卷的考法，在考試中取得好成績(jī)，是迫切需要解決的問(wèn)題。

選修4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》是全國(guó)卷選考內(nèi)容之一，在高考中是一道10分的大題，是解析幾何的內(nèi)容之一。這部分內(nèi)容在高考中要求不高，是學(xué)生在高考中必須拿分的地方。由此可見(jiàn)，學(xué)好這部分內(nèi)容對(duì)學(xué)生是十分重要的。

目前國(guó)內(nèi)關(guān)于《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的一些研究，主要集中在理論層面比較多，缺乏在高考中針對(duì)這部分內(nèi)容考點(diǎn)的指導(dǎo)。還有一些研究，是針對(duì)《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的部分教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行研究的，缺乏系統(tǒng)性，缺乏對(duì)整體教學(xué)內(nèi)容的把握。針對(duì)以上的問(wèn)題，筆者從一線教師的視角出發(fā)，結(jié)合近幾年的高考真題，對(duì)《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》這部分內(nèi)容中的重點(diǎn)進(jìn)行剖析，并給出教學(xué)指導(dǎo)建議，力求為一線老師的教學(xué)活動(dòng)提供方向，讓老師們少走彎路，讓學(xué)生們抓住重點(diǎn)，盡快得分。

一、為什么要“選學(xué)”《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》

第一、《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。這部分是學(xué)生在學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系后，介紹了一種新的坐標(biāo)系及曲線方程的新的表示方法。在學(xué)習(xí)了這部分內(nèi)容之后，學(xué)生可以在解題時(shí)根據(jù)需要，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求解曲線方程，進(jìn)而更好的解決相關(guān)問(wèn)題。通過(guò)這部分的學(xué)習(xí)讓學(xué)生知道在不同的坐標(biāo)系中，坐標(biāo)所表現(xiàn)出的不同的幾何意義，鍛煉學(xué)生思維的靈活性。

第二、這部分知識(shí)，在日常生活中具有廣泛的應(yīng)用。如：各種各樣的擺線已被應(yīng)用在圖案設(shè)計(jì)、擺線齒輪等方面。學(xué)生學(xué)完這部分內(nèi)容后，可以在生活中更好的解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，為生活服務(wù)的特性。有效的培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力和意識(shí)。

二、怎樣“選學(xué)”《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》

本章重點(diǎn)：坐標(biāo)系的選擇，極坐標(biāo)方程，平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程。

本章難點(diǎn)：理解極坐標(biāo)的不唯一性，會(huì)選取不同的坐標(biāo)系及參數(shù)求解方程。

以上是本專題的重點(diǎn)和難點(diǎn)。建議對(duì)部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好，學(xué)習(xí)興趣不高的學(xué)生，我們教學(xué)時(shí)應(yīng)該讓他們抓住本章的重點(diǎn)進(jìn)行學(xué)習(xí)；對(duì)于部分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣高、接受能力強(qiáng)的學(xué)生，可以使這部分學(xué)生對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程內(nèi)容有一個(gè)更完整的了解，在學(xué)好重點(diǎn)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，可幫助他們對(duì)難點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行自學(xué)，培養(yǎng)他們的自我探究能力。在高考中，重點(diǎn)考查極坐標(biāo)和參數(shù)方程的應(yīng)用。其它坐標(biāo)系，如：球坐標(biāo)系等只要了解即可。

三、高考真題分析

1.求兩曲線交點(diǎn)問(wèn)題

例1.2016年高考新課標(biāo)Ⅰ卷理

解法一：

解：

（1）∵x=acosty=1+asint（t為參數(shù)，a>0） ∴x2+（y-1）2=a2 ①

即 C1為以（0，1）為圓心，a為半徑的圓。方程為：

x2+y2-2y+1-a2=0

∵ x2+y2=ρ2，y=ρsinθ

∴ ρ2-2ρsinθ+1-a2=0即為C1的極坐標(biāo)方程。

（2）C2：ρ=4cosθ，兩邊同乘ρ得ρ2=4ρcosθ

∵x2+y2=ρ2， x=ρcosθ ∴x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4 ②

C3：化為普通方程為y=2x，由題意：C1和C2的公共點(diǎn)所在直線即為C3

①-②得：4x-2y+1-a2=0，即為C3 ∴1-a2=0， ∴a=1

[考點(diǎn)分析]

本題考點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，曲線交點(diǎn)的意義及求法。

[解法分析]

參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“相互轉(zhuǎn)化思想”。此方法是解決這類問(wèn)題的基礎(chǔ)解法。要讓學(xué)生熟練掌握方程轉(zhuǎn)化的公式。第二問(wèn)，應(yīng)用解析幾何中經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程解題。

[教學(xué)建議]

直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互相轉(zhuǎn)化，是 4-4最基本的內(nèi)容，也是最簡(jiǎn)單的內(nèi)容。要讓學(xué)生熟記公式x=ρcosθy=ρsinθ及x2+y2=ρ2，并會(huì)運(yùn)用。

在解題時(shí)，可以先將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后利用解析幾何的知識(shí)解決。這種解法的好處是：將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為熟悉的普通方程，極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為熟悉的直角坐標(biāo)方程，從方程形式上減少了學(xué)生的陌生感；在知識(shí)上，直線和圓的相關(guān)知識(shí)是學(xué)生在初中就接觸的內(nèi)容，在解析幾何中是比較基礎(chǔ)和簡(jiǎn)單的內(nèi)容，學(xué)生容易下手和敢下手去解題，從而增加了得分的概率。

解法二：

解：

（1） 同解法一

（2）公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組：ρ2-2ρsinθ+1-a2=0ρ=4cosθ

若ρ≠0，由方程組得 16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0，

由已知tanθ=2，可得16cos2θ-8sinθcosθ=0，

從而1-a2=0，解得a=-1（舍去），a=1。

當(dāng)a=1時(shí)，極點(diǎn)也為公共點(diǎn)，且在C3上。所以a=1。

[解法分析]

解法二在第二問(wèn)中，采用極坐標(biāo)方程的形式，利用方程組的思想解題?？疾閷W(xué)生理解曲線在不同坐標(biāo)系中的表現(xiàn)形式不同，但交點(diǎn)的意義不變，考查數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

[教學(xué)建議]

本題第一問(wèn)將曲線C1的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，第二問(wèn)直接給出直線C3的極坐標(biāo)方程，這些條件都在將本題引導(dǎo)向極坐標(biāo)方程解題。用解法一的方法可以解出本題，但在教學(xué)中只強(qiáng)調(diào)這一解法，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生困惑——既然直角坐標(biāo)系可以解決這些問(wèn)題，為什么還要教極坐標(biāo)系？這不是多此一舉嗎！極坐標(biāo)系有什么好處？極坐標(biāo)系問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系解題，極坐標(biāo)系不就成了直角坐標(biāo)系的附屬品了嗎？等等，一系列的疑惑都將產(chǎn)生。這些疑惑并不是《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》這部分知識(shí)內(nèi)容產(chǎn)生的，而是因?yàn)榻虒W(xué)導(dǎo)向產(chǎn)生的，這有違教學(xué)大綱和數(shù)學(xué)精神，不利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。所以，建議在平時(shí)教學(xué)時(shí)，這兩種方法都要介紹。甚至在新課時(shí)，只介紹解法二。讓學(xué)生理解和接受極坐標(biāo)這一新內(nèi)容，通過(guò)做題感受這一新的知識(shí)，以達(dá)到這部分的教學(xué)目的和教學(xué)要求，讓學(xué)生在學(xué)到知識(shí)的同時(shí)，感受到數(shù)學(xué)的美。在習(xí)題課和應(yīng)考時(shí)，可以向基礎(chǔ)不好的學(xué)生，重點(diǎn)介紹解法一，作為一種得分的手段。

2.關(guān)于？籽的意義，t的意義的理解

例2.2016年高考新課標(biāo)Ⅱ卷理

解：

（1）略

（2）

解法一：

將直線l的參數(shù)方程化為普通方程：y=kx，并代入到圓的方程得：（1+k2）x2+12x+11=0

x1+x2=-■，x1·x2=■

AB=■

=■=■

解得：k=±■， 所以l的斜率為■或-■

解法二：

在（1）中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α（ρ∈R）

由A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得 ρ2+12ρcosα+11=0

于是ρ1+ρ2=-12ρcosα， ρ1·ρ2=11，

AB=ρ1-ρ2=■=■

=■

解得cos2α=■ ，tanα=±■， 所以l的斜率為■或-■。

解法三：

將直線l的參數(shù)方程x=tcosαy=tinα（t為參數(shù)）代入到圓C的方程得：

t2+12tcosα+11=0

t1+t2=-12cosα， t1·t2=11

AB=t2-t1=■=■

=■

解得 cos2α=■，tanα=±■，所以l的斜率為■或-■

[考點(diǎn)分析]

圓的直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互相轉(zhuǎn)化， 直線的參數(shù)方程，線段長(zhǎng)的求法。

[解法分析]

第一問(wèn)：將直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，考查公式，讓學(xué)生牢記互化公式。

第二問(wèn)：

解法一，將直線方程轉(zhuǎn)化為普通方程，然后利用解析幾何的弦長(zhǎng)公式求解。

解法二，將直線方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，然后利用ρ的幾何意義求解。

解法三，直接使用直線方程，利用t的幾何意義求解。

[教學(xué)建議]

本題第二問(wèn)采用三種方法解題，意在讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程三種方法解題的各自的解法、異同點(diǎn)及難易度差別。這三種方法比較起來(lái)，解法一的計(jì)算量略大，但更好理解。解法二和解法三計(jì)算量略小，但要求學(xué)生對(duì)ρ的意義，t的意義的理解程度較高。

從命題者角度分析，三種方法都可以解本題，一題多解，考查數(shù)學(xué)的本質(zhì)。但本題更傾向于后兩種解法，由于本題直線l經(jīng)過(guò)極點(diǎn)（即直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)），所以解法二和解法三的過(guò)程有些相似，但意義不同。學(xué)生一旦對(duì)ρ的意義、t的意義理解了，則解本題思路清晰，計(jì)算簡(jiǎn)便，可以很快的得分，這也體現(xiàn)出坐標(biāo)系與參數(shù)方程的優(yōu)勢(shì)。

這就要求在教學(xué)中對(duì)ρ的意義和t的意義的講解要到位。極徑（ρ）是極坐標(biāo)系中的點(diǎn)到極點(diǎn)的距離。如果所求線段所在直線經(jīng)過(guò)極點(diǎn)，則考慮用極坐標(biāo)系求解比較簡(jiǎn)單。t是有正負(fù)兩種情況的。t的幾何意義為直線x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t為參數(shù)）上的點(diǎn)到直線上定點(diǎn)（x0，y0）的距離，線段長(zhǎng)公式AB=t1-t2=■。當(dāng)所求線段所在直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，考慮用參數(shù)方程求解比較簡(jiǎn)單。以上幾點(diǎn)一定要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，并讓學(xué)生通過(guò)做題來(lái)體會(huì)。學(xué)生一旦對(duì)ρ的意義和t的意義理解了，這部分內(nèi)容的精髓也就掌握了。

3.求最值問(wèn)題

例3.2014年高考新課標(biāo)Ⅰ卷理

解：

（1）略

（2）在曲線C上任取一點(diǎn)P（2cosθ，3sinθ），到l的距離為

d=■4cosθ+3sinθ-6

則PA=■=■5sin（θ+α）-6，其中α為銳角，且tanα=■

當(dāng)sin（θ+α）=-1時(shí)，PA取得最大值，最大值為■；

當(dāng)sin（θ+α）=1時(shí)，PA取得最小值，最小值為■

[考點(diǎn)分析]

橢圓的普通方程化為參數(shù)方程，直線的參數(shù)方程化為普通方程；利用三角函數(shù)值域求最值。

[解法分析]

第一問(wèn)：橢圓的普通方程化為參數(shù)方程，直線的參數(shù)方程化為普通方程，考查公式的應(yīng)用，讓學(xué)生牢記互化公式。

第二問(wèn)：將線段長(zhǎng)度用參數(shù)表示，利用三角函數(shù)值域的有界性求最大和最小值。

[教學(xué)建議]

將直角坐標(biāo)的x，y 用一個(gè)參數(shù)表示，從而減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)；再利用三角函數(shù)求值域。這一應(yīng)用，充分體現(xiàn)了參數(shù)方程相對(duì)普通直角坐標(biāo)方程，在求最值方面的優(yōu)勢(shì)。教師在教授參數(shù)方程這節(jié)課時(shí)，一定要介紹此應(yīng)用。因?yàn)?，可以通過(guò)此應(yīng)用讓學(xué)生在做題中體會(huì)應(yīng)用參數(shù)方程解題的優(yōu)勢(shì)，激發(fā)學(xué)生的興趣。

四、思考與總結(jié)

通過(guò)以上高考真題的分析可以看出，高考試題以直線和圓為載體，考查平面直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化公式。在參數(shù)方程方面，考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化方法。在第二問(wèn)中，考查利用上述方程，求解有關(guān)位置、交點(diǎn)和距離的問(wèn)題等。

在教授參數(shù)方程時(shí)，要著重讓學(xué)生理解好參數(shù)的幾何意義，利用幾何意義可以更快的解題。

在極坐標(biāo)教學(xué)時(shí)，要著重讓學(xué)生理解好？籽、？茲的意義，讓學(xué)生熟練應(yīng)用轉(zhuǎn)化公式。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制訂.普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（試驗(yàn)）.人民教育出版社，2003.4.

[2]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組編寫(xiě).普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀.江蘇教育出版社，2004.3.

[3]課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) 數(shù)學(xué).人民教育出版社，2005.6.