改進(jìn)Kriging模型及在寬馬赫數(shù)變幾何進(jìn)氣道的應(yīng)用*

徐珊珊，金玉華，張慶兵

(1.北京電子工程總體研究所，北京 100854；2.中國航天科工集團(tuán)有限公司 第二研究院，北京 100854)

0 引言

寬馬赫數(shù)范圍的變幾何進(jìn)氣道擁有不同的調(diào)節(jié)形式，如跳躍式唇口、轉(zhuǎn)動式唇口、楔板角度可調(diào)和楔板位置可調(diào)[1-3]。為選擇較為適合的調(diào)節(jié)方法，研究人員需要經(jīng)歷仿真、建模和優(yōu)化過程。整個研究周期需得到不同馬赫數(shù)下、不同攻角以及不同調(diào)節(jié)參數(shù)對不同進(jìn)氣道性能參數(shù)的影響模型。盧燕[4]的建模方法采用馬赫數(shù)每增加0.1，仿真一次進(jìn)氣道性能，最后使用最小二乘法擬合得到馬赫數(shù)和二級楔板角度變化的數(shù)學(xué)模型。而隨著飛行包線的進(jìn)一步拓展以及組合調(diào)節(jié)方式的使用，一次建模需要大量實驗數(shù)據(jù)或仿真數(shù)據(jù)。這將消耗過高的經(jīng)濟(jì)成本和計算成本。雖然文獻(xiàn)[5]提出了寬馬赫數(shù)變幾何進(jìn)氣道的快速計算方法，但采用預(yù)測精度足夠高和計算速度足夠快的建模方法仍然十分重要。

最先被用于預(yù)測礦產(chǎn)儲量的Kriging代理模型方法不僅能提供最優(yōu)無偏預(yù)測，還能對預(yù)測誤差進(jìn)行定量估計。因此，該方法被大量運用到計算機輔助設(shè)計和工程建模領(lǐng)域[6-7]。相比于多項式響應(yīng)面、BP (back propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，Kriging方法對于非線性復(fù)雜問題的較好預(yù)測效果和較高精度，適宜于氣動特性預(yù)測[8-9]。通用的Kriging模型多采用模式搜索法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，不再對相關(guān)參數(shù)求偏導(dǎo)，但由于較為依賴初始點位置，易收斂于局部極小值，從而嚴(yán)重影響預(yù)測精度[10]。陳志英等引入粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization，PSO)替換模式搜索方法，依靠PSO算法的群體搜索能力克服模式搜索法單點序列搜索方式產(chǎn)生的局限性和嚴(yán)重依賴初猜解的缺點，有效保證了在任意初始條件下都能獲取最佳預(yù)測精度的相關(guān)參數(shù)[11]。

雖然PSO具有程序簡單，多維并行優(yōu)化，優(yōu)化速度較快的優(yōu)點，但其也具有一定局限，比如容易局部收斂、收斂速度較慢等，不適合運算量較大的建模過程。而SUN等提出的量子粒子群優(yōu)化算法(quantum-behaved particle swarm optimization，QPSO)[12]，計算更為簡便，但隨機性較大，在多維優(yōu)化問題中，更易收斂到局部最優(yōu)解。這都會極大影響Kriging建模的精確度。

本文將帶全局判據(jù)的改進(jìn)量子粒子群優(yōu)化算法(improved quantum-particle swarm optimization with global criterion, GCIQPSO)與Kriging建模方法結(jié)合，提出了GCIQPSO-Kriging建模方法。GCIQPSO算法不僅降低了計算成本，而且可以保證每次優(yōu)化結(jié)果均為全局最優(yōu)解。為驗證GCIQPSO-Kriging建模方法的精確度，本文與標(biāo)準(zhǔn)Kriging方法和PSO-Kriging進(jìn)行了比對。結(jié)果表明，本文方法計算速度快，精確度高，誤差較小，具有一定的工程應(yīng)用價值。

針對進(jìn)氣道調(diào)節(jié)問題，本文采用文獻(xiàn)[5]的快速計算方法和GCIQPSO-Kriging代理模型建模方法，對馬赫數(shù)范圍為2.5～4的二楔板反折式變幾何進(jìn)氣道進(jìn)行了仿真計算和近似模型建立。結(jié)果表明，本文方法對變幾何進(jìn)氣道性能參數(shù)的非線性適應(yīng)性較強，建模精度較高，可適用于變幾何進(jìn)氣道調(diào)節(jié)方法的優(yōu)化研究。

1 方法研究

1.1 Kriging方法[11]

Kriging方法假設(shè)所需要建立模型具有如下形式：

y(x)=fT(x)β+z(x)

,

(1)

式中:f(x)=(f1(x),f2(x),…,fp(x))T為回歸基函數(shù)；β=(β1,β2,…,βp)T為回歸系數(shù)；z(x)為高斯隨機過程，具有下列統(tǒng)計特性：

E[z(x)]=0，Var[z(x)]=σ2，
E[z(xi)z(xj)]=σ2R(xi,xj)

，

(2)

式中:xi與xj為2個任意輸入向量；R(*,*)為相關(guān)模型；σ2為過程方差。相關(guān)模型為各個維度上相關(guān)函數(shù)的乘積

(3)

設(shè)生成的樣本點為S={s1,s2,…,sm}，對應(yīng)的仿真程序輸出為Y=(y(s1),y(s2),…,y(sm))T。對任意給定的θ=(θ1,θ2,…,θm)T，β與σ2的估值分別為

β=(FTR-1F)-1FTR-1Y

，

(4)

(5)

式中：基函數(shù)矩陣F∈Rm×p，第i行第j列元素為fj(si)；相關(guān)矩陣R∈Rm×m，第i行第j列的元素為R(si,sj)。

極大似然意義下的最優(yōu)相關(guān)參數(shù)θ*應(yīng)使似然函數(shù)ψ(θ)取最大值

(6)

完成對θ*的求解后即可得出建立在m次數(shù)值仿真結(jié)果基礎(chǔ)上的Kriging近似模型：

(7)

r(x)=(R(x,s1),R(x,s2),…,R(x,sm))T.

(8)

可以證明，在確保式(6)取極值的情況下，式(7)即為待測響應(yīng)的最優(yōu)無偏預(yù)測。此外，Kriging還能對預(yù)測結(jié)果的誤差進(jìn)行定量估計

u(x)=FTR-1r(x)-f(x)

.

(9)

1.2 GCIQPSO方法

為保證每次優(yōu)化結(jié)果均為全局最優(yōu)解，并提高高維優(yōu)化問題的建模精度，在QPSO算法和慣性權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整的量子粒子群算法(dynamically changing weight’s quantum-behaved particle swarm optimization，DCWQPSO)[13]基礎(chǔ)上，本文擴(kuò)大粒子搜索范圍，并添加全局判據(jù)以判斷優(yōu)化結(jié)果的全局性，建立了GCIQPSO優(yōu)化算法。

QPSO算法引入δ勢阱模型，通過求解薛定諤方程得到相關(guān)波函數(shù)Ψ(x,t)，進(jìn)而計算出粒子在設(shè)計空間內(nèi)某一處的概率密度函數(shù)，最后由蒙特卡羅方法確定粒子的新位置。粒子的位置方程為

(10)

式中：xiop(t)=φixip(t)+(1-φi)xg(t) ；t為迭代次數(shù)；φi和ui為[0,1]上服從均勻分布的隨機數(shù)，粒子每一維取不同隨機數(shù)；xip(t)為第t次迭代時粒子的第i維局部最優(yōu)位置，i=1，2，…，N；N為粒子群中粒子維數(shù)；xg(t)為第t次迭代時，粒子群的全局最優(yōu)位置；L為勢阱的特征長度，代表了粒子更新的搜索范圍大小，Li(t+1)=2β|xpm(t)-x(t)|，其中xpm(t)表示為第t次迭代時種群粒子每一維度的局部最優(yōu)位置平均值，表達(dá)式為

DCWQPSO算法把慣性權(quán)重β的表達(dá)式改進(jìn)為與進(jìn)化速度因子sd和粒子聚集度因子jd有關(guān)的自適應(yīng)權(quán)重。表達(dá)式為

β=f(sd,jd)=β0-sdβ1+jdβ2

，

(11)

為增大粒子多樣性，避免粒子群陷入局部最優(yōu)，GCIQPSO算法加入β值和粒子位置周期性變異。位置周期性變異每迭代10次變異一次：

xi(t)=xi(t)[1+(0.5-randi(0,1))δ]，

n=1,2,…，

randi(0,1)表示0和1之間的隨機數(shù)。

在50步以后，若β值在5步時均保持一個值，則對β值進(jìn)行參數(shù)變異，具體方法如下：

βi(t)=βi(t)[1+(0.5-randi(0,1))δ]，

randi(0,1)表示0和1之間的隨機數(shù)。

為了保證優(yōu)化結(jié)果均為全局最優(yōu)解，GCIQPSO算法加入全局判據(jù)：①優(yōu)化迭代中：粒子聚集度jd變化越劇烈，粒子的全局搜索能力越強，若其連續(xù)10步(粒子位置變異周期為10步)均保持不變，則跳出此次優(yōu)化，重新初始化種群；②當(dāng)優(yōu)化參數(shù)小于等于5時，收斂速度較快，在迭代步數(shù)最大之前，已經(jīng)收斂。因此迭代結(jié)束時的收斂判據(jù)主要考慮連續(xù)5次出現(xiàn)提前跳出，且數(shù)值近似，取最優(yōu)值；在計算多維優(yōu)化問題(優(yōu)化參數(shù)大于5)時，迭代結(jié)束時：若優(yōu)化過程沒有中斷，迭代步數(shù)達(dá)到最大迭代值，則判斷粒子聚集度jd均值和標(biāo)準(zhǔn)差是否滿足判斷條件。當(dāng)?shù)襟E為150～200步之間，則判斷條件為jd均值小于0.5，標(biāo)準(zhǔn)差小于0.3。若以上2個步驟均滿足，則本次優(yōu)化結(jié)果收斂于全局最優(yōu)解。

為驗證本文算法，本文選擇了非線性和局部極值個數(shù)依次遞增的4個不同函數(shù)：

Sphere函數(shù)：

Rosenbrock函數(shù)：

Rastrigin函數(shù)：

Griewank函數(shù)：

min(f(x*))=f(0,0,…,0)=0.

本文采用了改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法[14](improvedparticleswarmoptimization，IPSO),QPSO算法和DCWQPSO算法與本文算法對比。由于QPSO和DCWQPSO算法主要針對優(yōu)化參數(shù)不大于5的優(yōu)化問題，為驗證本文算法精度，首先對4個函數(shù)進(jìn)行了4維30個粒子組成的粒子群150步30次獨立優(yōu)化。然后，針對多維優(yōu)化問題，本文采用4種優(yōu)化算法進(jìn)行了30維30個粒子組成的粒子群迭代200步的30次獨立優(yōu)化。所有優(yōu)化結(jié)果的平均值列于表1。

從表1可以看出，當(dāng)優(yōu)化參數(shù)為4時，4種優(yōu)化算法的Sphere,Rastrigin和Griewank函數(shù)優(yōu)化結(jié)果均較好，但前3種算法隨著函數(shù)的非線性增加，優(yōu)化精度均有一定下降。而QPSO算法的粒子量子性能使粒子位置更新隨機性更大，加快了算法收斂速度，降低了優(yōu)化時間，但也易導(dǎo)致優(yōu)化失敗。這使得Rosenbrock函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果極易不穩(wěn)定，其30次獨立優(yōu)化出現(xiàn)數(shù)值極大的失敗結(jié)果，致使平均優(yōu)化結(jié)果非常大。而DCWQPSO算法有效地消除了一定隨機性，使得Rosenbrock函數(shù)優(yōu)化結(jié)果有較大改進(jìn)，但仍低于IPSO算法。而在4種算法中，本文算法的Rosenbrock函數(shù)優(yōu)化結(jié)果最好，且速度也較快。其原因是全局判據(jù)可以有效消除粒子隨機性導(dǎo)致的優(yōu)化失敗，而且雙重變異方法也可有效擴(kuò)大全局搜索能力，增大收斂速度。由此可見，在低維優(yōu)化問題中，雖然GCIQPSO算法基于QPSO算法，但有效避免了算法的不穩(wěn)定性，并且在提高優(yōu)化精度的同時，計算時間并未有明顯增加。

而當(dāng)優(yōu)化參數(shù)增加到30時，前3種優(yōu)化方法的優(yōu)化精度明顯下降，而GCIQPSO算法優(yōu)化精度一直較高，雖然隨著函數(shù)非線性度的增加，優(yōu)化時間有所提高，但仍短于IPSO算法。這是由于增大粒子全局搜索能力的雙重變異方法增大了高維粒子同時收斂到最優(yōu)位置的概率，而全局判據(jù)有效地篩除了不良的優(yōu)化結(jié)果。由此可見，在高維優(yōu)化問題中，GCIQPSO算法的精度較高，適用性更強?，F(xiàn)有優(yōu)化算法均采用多次優(yōu)化，人工篩選最優(yōu)解的方式，但GCIQPSO算法可省略此步驟。

表1 4種函數(shù)的4種優(yōu)化算法結(jié)果

在低維和高維優(yōu)化問題中，GCIQPSO算法性能具有較短的優(yōu)化時間和較高的優(yōu)化精度，且擁有較好的函數(shù)非線性度適應(yīng)性。

1.3 GCIQPSO-Kriging方法

本文參考文獻(xiàn)[11]的PSO-Kriging建模流程，建立了GCIQPSO-Kriging的建模方法，除2個優(yōu)化算法的區(qū)別外，步驟均一致。具體步驟如下：

步驟1：根據(jù)待重構(gòu)函數(shù)(即基于仿真程序的隱式函數(shù))確定：輸入維數(shù)n；各維輸入的取值范圍；用于構(gòu)造Kriging模型的樣本數(shù)m。對于實際問題，應(yīng)該在主要關(guān)鍵點進(jìn)行加密。

步驟2：生成樣本輸入矩陣S={s1,s2,…,sm}，將仿真程序重復(fù)運行m次，得出與S相對應(yīng)的輸出向量Y=(y(s1),y(s2),…,y(sm))T。

步驟3：使用GCIQPSO算法搜索極大似然意義下的最優(yōu)相關(guān)參數(shù)θ*：似然函數(shù)ψ(θ)為適應(yīng)度函數(shù)；粒子維度為樣本點的維度n，粒子取值范圍采用對數(shù)分布，搜索范圍取為[-2,2]，運算形式為[lgθ1,lgθ2,…,lgθn]；種群規(guī)模按N≈5n。當(dāng)建模參數(shù)較少時，優(yōu)化收斂速度較快，jd保持不變的步驟提前，易跳出優(yōu)化程序，因此，下一次優(yōu)化初始粒子群加入本次Gbest粒子，若5次優(yōu)化均跳出程序，采用5次優(yōu)化的最優(yōu)解。

步驟4：根據(jù)得到的最優(yōu)相關(guān)參數(shù)θ*確定出回歸系數(shù)β及相關(guān)矩陣R，任意向量x的相應(yīng)依據(jù)公式(7)預(yù)測得到。

步驟5：若精度不足，采用式(9)確定出的誤差極值區(qū)域補充樣本并返回步驟3，重新優(yōu)化。

2 方法驗證

為驗證不同Kriging代理模型的精確度，本文采用以下兩種測試函數(shù)進(jìn)行了重構(gòu)：

f1(x)函數(shù)非線性程度較高，用以測試代理模型對非線性問題的預(yù)測精確度。式f2(x)用以驗證不同參數(shù)個數(shù)對建模精確度的影響。模型精確度采用3個參數(shù)衡量代理模型的預(yù)測精度，包括：代理模型在測試樣本點的百分比最大相對誤差(maximum relative error，MAE)、百分比平均相對誤差(average relative error，ARE)和百分比均方根差(root mean square error，RMSE)，其表達(dá)式為

為消除因額外補充的樣本點增加的模型精度，本節(jié)函數(shù)重構(gòu)不添加步驟4。f1(x)函數(shù)的初始樣本點個數(shù)選擇自變量的200倍，f2(x)函數(shù)的初始樣本點個數(shù)選擇自變量的20倍，隨機選擇441個預(yù)測點建立模型精度比對標(biāo)準(zhǔn)。為消除建模計算的偶然性，本文采用10次建模的平均數(shù)據(jù)具體數(shù)據(jù)，如表2所示。其中，式f2(x)采用不同參數(shù)個數(shù)n=2,3,5,10，對應(yīng)于a,b,c和d，IPSO-Kriging方法的優(yōu)化算法采用XIA[14]的改進(jìn)粒子群算法(IPSO)，使得全局搜索能力更強，收斂更快。

由表2可見，在消除了對優(yōu)化初始值的依賴后，后2種模型的平均精度較Kriging方法均有所提高。IPSO優(yōu)化算法收斂速度較慢，在迭代步數(shù)下降的情況下，更易陷入局部最優(yōu)點，這大大影響了IPSO-Kriging模型的精度。而由于樣本點選擇個數(shù)較少，Kriging和IPSO-Kriging模型精度較文獻(xiàn)[11]有所降低。但GCIQPSO-Kriging代理模型方法的3個參考值明顯最優(yōu)，且對非線性更高的函數(shù)適應(yīng)性較好。而隨著模型參數(shù)個數(shù)的增加，GCIQPSO-Kriging優(yōu)勢也有所增加，這與GCIQPSO優(yōu)化方法在多參數(shù)優(yōu)化的更好性能有關(guān)。若添加步驟5，進(jìn)一步補充樣本點個數(shù)，GCIQPSO-Kriging模型精度可進(jìn)一步提高。

表2 3種建模方法精確度

3 變幾何進(jìn)氣道建模

寬馬赫數(shù)變幾何進(jìn)氣道建模的參數(shù)較多、非線性度較高，因此，導(dǎo)致計算量大且精度不足。本文采用以上3種方法進(jìn)行建模，以檢驗本文算法的精度。

對于混壓進(jìn)氣道而言，變幾何需要在保持較大流量系數(shù)的同時，盡量提高臨界總壓恢復(fù)系數(shù)。而臨界總壓恢復(fù)系數(shù)關(guān)鍵是喉道高度改變[15]，在正激波產(chǎn)生之前，盡量提高斜激波壓縮效率，可有效提高臨界總壓恢復(fù)。因此，本文選用第2級楔板角度和位置均可調(diào)的變幾何方式提高臨界總壓恢復(fù)系數(shù)，跳躍唇口提高流量系數(shù)(如圖1所示)。以2.0為接力馬赫數(shù)，2.8為設(shè)計馬赫數(shù)Mad(即激波封口馬赫數(shù))。根據(jù)空氣動力學(xué)理論，接力狀態(tài)下(Ma=2.0)氣流的最大折角為26°，考慮5°的攻角裕度，確定進(jìn)氣道的外壓楔板總折角δ最大為10°，一級楔板折角δ1設(shè)計為5°。在Ma=2.0時，二級楔板折角δ2最大為5°，其與喉道高度可隨飛行條件變化。在一級楔板和二級楔板聯(lián)接處，裝有一滑動鉸，使二級楔板在轉(zhuǎn)動的同時，沿一級楔板滑動，亞聲速擴(kuò)壓段楔板可伸縮，以補償喉道平直段牽連運動所造成的水平位移。本文運用文獻(xiàn)[5]的二級楔板反壓式進(jìn)氣道快速計算方法得到進(jìn)氣道性能參數(shù)，采用GCIQPSO-Kriging代理模型方法進(jìn)行建模，并在非線性較高的區(qū)域，預(yù)先進(jìn)行樣本點加密。

圖1 變幾何進(jìn)氣道示意圖Fig.1 Schematic of geometry-variable inlet

模型的5個自變量為：馬赫數(shù)Ma(2～4)、攻角α(-5°～5°)、二級楔板角度δ2(下界為5°，上界為來流Ma下、5°攻角裕度時最大角度)、一級楔板長度OT1(上界以不造成喉道堵塞為準(zhǔn)，下界為接力狀態(tài)起始位置)和唇口位置(上下界分別以接力馬赫數(shù)和最大馬赫數(shù)封口位置為準(zhǔn))。所求的2個預(yù)測值為進(jìn)氣道臨界總壓恢復(fù)系數(shù)σ和流量系數(shù)φ。由文獻(xiàn)[5]可知，唇口位置的變化對σ沒有影響，故在σ的建模過程中，去除唇口位置這一變量。本文仍然采用400個預(yù)測比對點，以驗證模型的精確度，3種方法的精確度數(shù)據(jù)對比列于表3。

表3 3種建模方法精確度

從文獻(xiàn)[5]可以看出，作為變幾何進(jìn)氣道性能參數(shù)的流量系數(shù)φ與臨界總壓恢復(fù)系數(shù)σ較第2節(jié)的2個測試函數(shù)均較弱，因此，表3顯示的3種代理模型方法精度均較高。而臨界總壓恢復(fù)系數(shù)σ非線性程度稍高，與前2個代理模型方法相比，本文方法誤差更小。

可見，對于寬馬赫數(shù)變幾何進(jìn)氣道的建模問題，本文方法精度較高，非線性適應(yīng)性更佳，若用于該問題的優(yōu)化，將大大降低計算時間，并可有效提高優(yōu)化結(jié)果可信度。

4 結(jié)束語

針對寬馬赫數(shù)變幾何進(jìn)氣道優(yōu)化過程中，建模參數(shù)多、精度不夠、計算時間長和非線性度高的問題，本文改進(jìn)了Kriging代理模型方法，采用帶全局判據(jù)的改進(jìn)量子粒子群算法替代原有的優(yōu)化部分，以提高優(yōu)化搜索時間，擴(kuò)大搜索范圍，進(jìn)一步降低對初猜解的依賴，得到最大似然函數(shù)的全局最優(yōu)解。本文采用驗證函數(shù)和變幾何進(jìn)氣道算例，對該方法進(jìn)行了驗證。結(jié)果表明，本文方法有效提高了代理模型對多參數(shù)建模和非線性問題的適應(yīng)力，對于寬馬赫數(shù)變幾何進(jìn)氣道建模問題精度較高，可適用于該問題的優(yōu)化計算。

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