基于Vasicek模型的非風(fēng)險(xiǎn)中性歐式期權(quán)定價(jià)研究

趙帥

[摘要]股票期權(quán)定價(jià)理論是現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)理論研究的核心問題之一，股票價(jià)格的漂移、波動(dòng)關(guān)系到股票價(jià)格的確定及其衍生產(chǎn)品的定價(jià)問題，因此對(duì)股票價(jià)格變動(dòng)過程展開深入研究具有重要的理論與現(xiàn)實(shí)意義。本文在股票價(jià)格漂移系數(shù)、擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)的假設(shè)基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，假定在特定的時(shí)間段內(nèi)沒有發(fā)生重大事件的情況下，股票收益率服從Vasicek模型，得出股票收益率的期望、方差，在此基a_h修正了B-S模型關(guān)于股票價(jià)格期望收益率、股票價(jià)格方差收益率恒定不變的假定，將股票價(jià)格的期望收益率、方差收益率進(jìn)行了內(nèi)生化處理，建立相對(duì)應(yīng)的非風(fēng)險(xiǎn)中性歐式期權(quán)，推導(dǎo)出非風(fēng)險(xiǎn)中性期權(quán)定價(jià)公式。并從實(shí)體經(jīng)濟(jì)層面對(duì)股票及其衍生品在短期、長(zhǎng)期兩個(gè)角度做了進(jìn)一步深入分析，以便更好地為現(xiàn)實(shí)中的股票及其衍生產(chǎn)品投資作參考。

[關(guān)鍵詞]非風(fēng)險(xiǎn)中性 均值回復(fù)性 歐式期權(quán) 穩(wěn)態(tài)

股票期權(quán)定價(jià)理論是現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)理論研究的核心問題之一。目前研究期權(quán)定價(jià)的方式大體可以分為兩大部分，其一研究標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)性；其二期權(quán)定價(jià)與利率相關(guān)性。雖然有大量文獻(xiàn)對(duì)此研究，但是大多數(shù)都是將漂移項(xiàng)、與波動(dòng)項(xiàng)分開研究，獨(dú)自的將其擴(kuò)展，而股票價(jià)格的漂移、波動(dòng)都關(guān)系到股票價(jià)格的確定及其衍生產(chǎn)品的定價(jià)問題。因此，對(duì)股票價(jià)格變動(dòng)過程展開深入研究具有重要的理論與現(xiàn)實(shí)意義，它將為股票及其衍生產(chǎn)品的投資提供參考依據(jù)。

根據(jù)資本的流動(dòng)性原理，利率低的資本向利率高的資本流動(dòng)，即投資者更關(guān)心股票收益率的多少，因?yàn)槠涓荏w現(xiàn)資金運(yùn)行的效率。當(dāng)市場(chǎng)是完全的，同風(fēng)險(xiǎn)的股票收益率趨同，不同風(fēng)險(xiǎn)的股票收益率不同，即投資者對(duì)自己承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)要求風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，較高的風(fēng)險(xiǎn)要求較高的回報(bào)率，否則存在無風(fēng)險(xiǎn)套利行為。資本流動(dòng)性原理體現(xiàn)投資者的心理是非風(fēng)險(xiǎn)中性的，（陳萬義，2004）在股票期望收益率和股價(jià)波動(dòng)率均為常數(shù)的條件下，導(dǎo)出非風(fēng)險(xiǎn)中性意義下的股票歐式期權(quán)定價(jià)公式，擴(kuò)展了在風(fēng)險(xiǎn)中性意義下的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式。研究股票收益率是股票價(jià)格及其期權(quán)定價(jià)的核心，具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。目前，研究股票收益率文獻(xiàn)如下：（狄邦特，泰勒，法瑪，弗倫奇）較早發(fā)現(xiàn)股票收益率均值回歸現(xiàn)象，股票價(jià)格總是圍繞其價(jià)值上下波動(dòng)，既不會(huì)存在永遠(yuǎn)下跌，也不會(huì)有永遠(yuǎn)上漲。在價(jià)格高于內(nèi)在價(jià)值的情形下，股票下跌的概率會(huì)逐漸增加；相反，在價(jià)格低于內(nèi)在價(jià)值的情形下，股票上漲的概率會(huì)逐漸增加，最終的均值回歸一定會(huì)出現(xiàn)，而均值就是股票的內(nèi)在價(jià)值，它所體現(xiàn)的是市場(chǎng)從長(zhǎng)期看具有價(jià)格發(fā)現(xiàn)的基本功能。（彭方平，2008）運(yùn)用似無關(guān)回歸和Bootstrap仿真技術(shù)研究發(fā)現(xiàn)我國(guó)上海股票市場(chǎng)股票價(jià)格具有顯著的均值回復(fù)性?；诠善眱r(jià)格均值回復(fù)性，進(jìn)行價(jià)值反轉(zhuǎn)投資策略能獲得較高的季度收益率，表明股票收益率具有均值回復(fù)性。（張群，2010）采用股市開盤以來lO余年的周、月股價(jià)指數(shù)序列，采用自相關(guān)檢驗(yàn)法、單位根檢驗(yàn)法、回歸分析法、方差比率分析法進(jìn)行實(shí)證分析，都存在均值回復(fù)的特性。（孫江潔，杜雪樵，2009）假定利率服從在Vasicek利率模型下，通過等價(jià)測(cè)度變換及鞅的方法，利用廣義維納過程的Ito引理，將利率與標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格相聯(lián)系，并作出內(nèi)生化處理，得出在Vasicek利率模型下，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)與利率波動(dòng)相互獨(dú)立情形下歐式期權(quán)買權(quán)的定價(jià)公式顯示解，但是未給出理論解釋。（孫江潔，劉國(guó)旗，2011）在上篇的基礎(chǔ)上，擴(kuò)展為在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)與利率波動(dòng)相互相關(guān)情形下歐式期權(quán)買權(quán)的定價(jià)公式顯式解，同樣未給出理論解釋。Vasicek模型是一個(gè)具有均值回復(fù)特性的單因子模型，最重要的性質(zhì)是利率表現(xiàn)出了均值回復(fù)性，表明當(dāng)利率圍繞均值上下波動(dòng)。在現(xiàn)實(shí)中，股票價(jià)格具有上下頻繁波動(dòng)的現(xiàn)象，即股票收益率短期內(nèi)的均值回復(fù)效應(yīng)較強(qiáng)，該模型恰好刻畫了這一現(xiàn)象。另外，在現(xiàn)實(shí)中由于重大事件的發(fā)生是具有偶然性、突發(fā)性。且頻率較低，周期較長(zhǎng)，因此在特定時(shí)間段內(nèi)，可以將其忽略，即去除具有異常值數(shù)據(jù)，為了保證其滿足Vasicek利率模型。

目前大部分文獻(xiàn)主要集中在虛擬經(jīng)濟(jì)層面研究股票價(jià)格及其衍生品定價(jià)問題，從實(shí)體經(jīng)濟(jì)層面研究股票價(jià)格及其衍生品仍然較少。因此，從實(shí)體經(jīng)濟(jì)層面對(duì)股票價(jià)格及其衍生品做進(jìn)一步深入研究就具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。本文嘗試著在股票價(jià)格漂移系數(shù)、擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)的假設(shè)基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，力圖使股票價(jià)格變動(dòng)具有更完整的理論基礎(chǔ)。上述的文獻(xiàn)均表明股票的收益率存在均值回復(fù)性，表明股票收益率具有糾正時(shí)點(diǎn)定價(jià)偏差的自調(diào)節(jié)功能和實(shí)現(xiàn)價(jià)格發(fā)現(xiàn)的功能，并且表明投資者的心理是非風(fēng)險(xiǎn)中性的。因此本文假定在特定的時(shí)間段內(nèi)沒有發(fā)生重大事件的情況下，股票收益率服從Vasicek模型，得出股票收益率的期望、方差，在此基礎(chǔ)上修正了B-S模型關(guān)于股票價(jià)格期望收益率、股票價(jià)格方差收益率恒定不變的假定，將股票價(jià)格的期望收益率、方差收益率進(jìn)行了內(nèi)生化處理，建立相對(duì)應(yīng)的非風(fēng)險(xiǎn)中性歐式期權(quán)，并推導(dǎo)了非風(fēng)險(xiǎn)中性期權(quán)定價(jià)公式，且從實(shí)體經(jīng)濟(jì)的角度對(duì)模型做出理論的解釋，以便更好地為現(xiàn)實(shí)中的股票及其衍生產(chǎn)品投資作參考。

一、建立模型及理論解釋

（一）Vasicek模型

Gilliland（2000）對(duì)18個(gè)具有代表性歐美發(fā)達(dá)國(guó)家股票市場(chǎng)1969～1996年高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究，結(jié)果表明股價(jià)收益率長(zhǎng)期呈均值回復(fù)的。Jeffrey Gropp（2004）對(duì)美國(guó)證券交易所、紐約證券交易所和納斯達(dá)克的高頻股票收益率進(jìn)行實(shí)證分析，結(jié)果同樣表明有明顯的均值回復(fù)證據(jù)。Vasicek模型是一個(gè)具有均值回復(fù)特性的單因子模型，最重要的性質(zhì)是利率表現(xiàn)出了均值回復(fù)性，表明當(dāng)利率圍繞均值上下波動(dòng)。當(dāng)利率大于均值時(shí)，系數(shù)使得漂移項(xiàng)為負(fù)，所以利率會(huì)受到向下的拉力，使之趨于均值；同理，當(dāng)利率小于均值時(shí)，系數(shù)使得漂移項(xiàng)為正，所以利率會(huì)受到向上的推力，使之趨于均值。在現(xiàn)實(shí)中股票價(jià)格具有上下頻繁波動(dòng)的現(xiàn)象，表明股票收益率具有均值回復(fù)效應(yīng)，該模型恰好刻畫了這一現(xiàn)象。因此本文假設(shè)股票的瞬時(shí)收益率的動(dòng)態(tài)變化服從以下的隨機(jī)微分方程：

用rt表示股票的瞬時(shí)收益率即在區(qū)間[t，dt]的收益率，說明rt在t時(shí)不可測(cè)，在t之前可測(cè)。e代表的是長(zhǎng)期均衡收益率水平，b為刻畫回歸速度的參數(shù)，6為收益率的波動(dòng)率，w為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)上述隨機(jī)微分方程解得：

瞬時(shí)股票收益率的期望和方差為：

在模型可以擬合現(xiàn)實(shí)中股票收益率動(dòng)態(tài)變化的情況下，則可以將rt看作股票市場(chǎng)收益率，其期望看作真實(shí)收益率。從短期看，各個(gè)投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的承受能力以及對(duì)信息優(yōu)勢(shì)程度的不同，造成市場(chǎng)短期內(nèi)供求關(guān)系的調(diào)整。根據(jù)價(jià)值理論，價(jià)格圍繞價(jià)值上下波動(dòng)，則股票市場(chǎng)收益率圍繞真實(shí)收益率上下波動(dòng)，即rt圍繞其期望上下波動(dòng)。從長(zhǎng)期來看，當(dāng)初始收益率ro高于穩(wěn)態(tài)均值時(shí)，本公司或其他公司會(huì)擴(kuò)大經(jīng)營(yíng)，或其他公司進(jìn)入市場(chǎng)，從而市場(chǎng)供給量增加，市場(chǎng)價(jià)格下降，形成新的供求均衡，公司獲得均衡收益率，即收益率rt不斷下降，最終趨于穩(wěn)態(tài)均值e。相反，當(dāng)初始收益率低于穩(wěn)態(tài)收益率時(shí)，本公司或其他公司會(huì)降低經(jīng)營(yíng)規(guī)模，或其他公司退出市場(chǎng)，從而市場(chǎng)供給量減少，市場(chǎng)價(jià)格上升，形成新的供求均衡，公司獲得均衡收益率，即收益率rt不斷上升，最終趨于穩(wěn)態(tài)均值θ，因此將均衡收益率叫做穩(wěn)態(tài)收益率。上述表明從長(zhǎng)期看本公司不斷調(diào)整內(nèi)部結(jié)構(gòu)或其他公司進(jìn)入、退出市場(chǎng)的選擇以適應(yīng)市場(chǎng)的變動(dòng)，市場(chǎng)收益率相應(yīng)的圍繞穩(wěn)態(tài)收益率上下波動(dòng)，當(dāng)市場(chǎng)收益率偏離其穩(wěn)態(tài)收益率，市場(chǎng)會(huì)自發(fā)的將市場(chǎng)收益率拉向穩(wěn)態(tài)收益率。

由此得出短期內(nèi)公司按照現(xiàn)有規(guī)模經(jīng)營(yíng)，市場(chǎng)收益率圍繞真實(shí)收益率波動(dòng)。但長(zhǎng)期內(nèi)無論市場(chǎng)收益率是否大于真實(shí)收益率，只要當(dāng)市場(chǎng)收益率不等于穩(wěn)態(tài)收益率時(shí)，公司為了適應(yīng)市場(chǎng)的變動(dòng)將會(huì)調(diào)整規(guī)模，股票收益率將會(huì)相應(yīng)的發(fā)生變動(dòng)。且變動(dòng)的幅度其取決于市場(chǎng)收益率與穩(wěn)態(tài)收益率的差。通過選取各只股票短期的收益率的序列，了解各支股票市場(chǎng)收益率的走勢(shì)，并進(jìn)行與真實(shí)收益率、穩(wěn)態(tài)收益率大小比較，來判斷各支股票將來的走勢(shì)，進(jìn)而確定股票種類的選取。

（二）修正的股票價(jià)格隨機(jī)方程

長(zhǎng)期以來，我們研究股票價(jià)格總是從經(jīng)典的假設(shè)開始，即股票價(jià)格以恒定的期望收益率增長(zhǎng)且以恒定的方差波動(dòng)，這一假設(shè)存在局限性，因?yàn)楣善眱r(jià)格由股票的內(nèi)在價(jià)值決定。當(dāng)公司根據(jù)市場(chǎng)的供求進(jìn)行內(nèi)部結(jié)構(gòu)調(diào)整時(shí)，股票價(jià)格將以具有均值回復(fù)性特征的Vasicek模型的期望收益率增長(zhǎng)，方差收益率發(fā)生波動(dòng)。在此基礎(chǔ)上假定股票價(jià)格滿足如下微分方程：

由上述微分方程得：

上述過程是將股票價(jià)格的變動(dòng)過程做內(nèi)生化處理，得到修正的股票價(jià)格隨機(jī)過程。以下得出股票價(jià)格的解析式：

股票價(jià)格的期望和方差：

從上文可以得知股票的收益率與股票價(jià)格一一對(duì)應(yīng)，將期望收益率、方差收益率做內(nèi)生化處理，可以將模型的股票價(jià)格看作股票的短期市場(chǎng)價(jià)格，其期望相對(duì)應(yīng)的看作股票的內(nèi)在價(jià)值且將非風(fēng)險(xiǎn)中性意義下的B-S模型的股票價(jià)格看作股票的長(zhǎng)期市場(chǎng)價(jià)格，其期望相應(yīng)的看作股票的穩(wěn)態(tài)內(nèi)在價(jià)值即均衡時(shí)股票的內(nèi)在價(jià)值。因此，從短期看股票的市場(chǎng)價(jià)格圍繞股票的內(nèi)在價(jià)值波動(dòng)；從長(zhǎng)期看公司在不斷不規(guī)則的循環(huán)重復(fù)地?cái)U(kuò)大或縮小經(jīng)營(yíng)規(guī)模，表面上為股票價(jià)格的均值回復(fù)性，實(shí)質(zhì)上為公司的周期性。

（三）非風(fēng)險(xiǎn)中性期權(quán)定價(jià)

雖然B-S模型具有很多優(yōu)點(diǎn)，但是其在苛刻的假設(shè)條件下，使得其在實(shí)際中運(yùn)用大受限制。（陳萬義，2004）將B-S模型擴(kuò)展為非風(fēng)險(xiǎn)中性意義下的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)，將投資者的心理改為非風(fēng)險(xiǎn)中性的，具有重要的實(shí)際意義。在此基礎(chǔ)上本文修正B-S模型的漂移系數(shù)、擴(kuò)散系數(shù)，即對(duì)股票價(jià)格變動(dòng)過程做了內(nèi)生化處理，并采用非風(fēng)險(xiǎn)中性歐式期權(quán)定價(jià)，為了使期權(quán)具有更完整的的理論意義和實(shí)際意義。假定股票滿足沒有交易費(fèi)用或稅收，在期權(quán)到期之前股票無紅利支付，股票交易是連續(xù)進(jìn)行的，且無賣空限制。并且假定股價(jià)價(jià)格服從如上幾何Brown運(yùn)動(dòng)。期權(quán)的執(zhí)行價(jià)為K，當(dāng)前時(shí)刻為t，期權(quán)到期時(shí)刻為T，股票當(dāng)前價(jià)為St，T時(shí)刻價(jià)格為ST的股票歐式看漲期權(quán)：

假定市場(chǎng)上投資者是理性的且投資期權(quán)主要的目的是保值，因此將執(zhí)行價(jià)格看作預(yù)期的股票內(nèi)在價(jià)值，當(dāng)股票市場(chǎng)價(jià)格ST大于執(zhí)行價(jià)格K時(shí)，即投資者高估了股票的內(nèi)在價(jià)值，導(dǎo)致股票的需求量上升，市場(chǎng)價(jià)格上升，但是股票價(jià)格及其期權(quán)具有向下的拉力。當(dāng)股票市場(chǎng)價(jià)格ST小于執(zhí)行價(jià)格K時(shí)，即投資者低估了股票的內(nèi)在價(jià)值，導(dǎo)致股票的需求量下降，市場(chǎng)價(jià)格下降，但是股票市場(chǎng)價(jià)格及其期權(quán)具有向上的推力；上述表明期權(quán)描述了股票短期市場(chǎng)價(jià)格相對(duì)于預(yù)期股票內(nèi)在價(jià)值的走勢(shì)圖，反映了市場(chǎng)投資者對(duì)這只股票的預(yù)測(cè)偏差。因此通過期權(quán)價(jià)值的正負(fù)性、波動(dòng)性預(yù)測(cè)股票及其期權(quán)的短期走勢(shì)，同理通過非風(fēng)險(xiǎn)中性意義下B-S模型預(yù)測(cè)股票價(jià)格的長(zhǎng)期走勢(shì)，從而使股票及其衍生品投資有了參考依據(jù)。

二、結(jié)論

本文嘗試著在股票價(jià)格漂移系數(shù)、擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)的假設(shè)基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，力圖使股票價(jià)格變動(dòng)具有更完整的理論基礎(chǔ)。假定在特定的時(shí)間段內(nèi)沒有發(fā)生重大事件的情況下，股票收益率服從Va-sicek模型，得出股票收益率的期望、方差，在此基礎(chǔ)上修正了B-S模型關(guān)于股票價(jià)格期望收益率、股票價(jià)格方差收益率恒定不變的假定，將股票價(jià)格的期望收益率、方差收益率進(jìn)行了內(nèi)生化處理，建立相對(duì)應(yīng)的非風(fēng)險(xiǎn)中性歐式期權(quán)，并推導(dǎo)了非風(fēng)險(xiǎn)中性期權(quán)定價(jià)公式。當(dāng)時(shí)間t→∞，rt的均值為θ即為穩(wěn)態(tài)均值，方差為σ²/2b為穩(wěn)態(tài)方差，此時(shí)的漂移項(xiàng)、波動(dòng)項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，即符合非風(fēng)險(xiǎn)中性意義下的B-S模型，表明其是基于Vasicek模型的非風(fēng)險(xiǎn)中性歐式期權(quán)的特殊形式，即在Vasicek模型穩(wěn)態(tài)的情形下的非風(fēng)險(xiǎn)中性歐式期權(quán)是非風(fēng)險(xiǎn)中性意義下的B-S模型。

本文從實(shí)體經(jīng)濟(jì)層面對(duì)股票價(jià)格及其衍生品做進(jìn)一步深入研究。結(jié)果表明：市場(chǎng)短期收益率圍繞真實(shí)收益率上下波動(dòng)，股票的短期市場(chǎng)價(jià)格圍繞股票的內(nèi)在價(jià)值上下波動(dòng)；市場(chǎng)長(zhǎng)期收益率圍繞穩(wěn)態(tài)收益率上下波動(dòng)，股票的長(zhǎng)期市場(chǎng)價(jià)格圍繞股票的穩(wěn)態(tài)內(nèi)在價(jià)值上下波動(dòng)；通過判斷股票價(jià)格的走向、波動(dòng)幅度且相對(duì)應(yīng)通過期權(quán)的正負(fù)性來判斷股票及其衍生品的短期、長(zhǎng)期走勢(shì)，為股票及其衍生品投資做參考。