點到直線的距離公式及其在基坑監(jiān)測中的應(yīng)用

戴水財，戴戈暉

(1.中南大學地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083； 2.湖南師范大學附屬中學，湖南 長沙 410006)

1 點到直線的距離公式

(A2+B2)S2=(A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]=A2(x-x0)2+B2(y-y0)2+A2(y-y0)2+B2(x-x0)2

=[A(x-x0)+B(y-y0)]2+[A(y-y0)-B(x-x0)]2

≥[A(x-x0)+B(y-y0)]2=(Ax0+By0+C)2(∵Ax+By+C=0)

(1)

(2)

2 實際工作中直線方程的表達方式

實際工作中，直線l往往用經(jīng)過兩點的坐標方式表達。如直線經(jīng)過P1(x1，y1)和P2(x2，y2)。則直線l的表達方程為：

(y2-y1)x-(x2-x1)y+y1x2-y2x1=0

(3)

其中：A=y2-y1B=x1-x2C=y1x2-y2x1

(4)

(5)

3 點與直線位置關(guān)系的判斷

判斷點P0(x0，y0)與直線l：Ax+By+C=0的位置關(guān)系，就是要確定點P0(x0，y0)在直線l的左邊還是右邊(或者是上邊還是下邊)。

過點P0(x0，y0) 作一條水平直線y=y0，與直線l：Ax+By+C=0相交于P′(x′，y0)，如圖1所示，則：

(6)

當x′≥x0時，點P0(x0，y0)與直線l的左側(cè)(或下邊)；

當x′≤x0時，點P0(x0，y0)與直線l的右側(cè)(或上邊)。

圖1 點與直線的位置關(guān)系

4 點到直線的距離的工程應(yīng)用

在現(xiàn)實生活中，經(jīng)常需要間接求解點到某一條特定直線的距離。如城市基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)中，經(jīng)常需要開挖建筑基坑。開挖基坑時需要在基坑頂部的圍護結(jié)構(gòu)上布設(shè)測量點，監(jiān)測支護結(jié)構(gòu)的水平位移變化，而位移變化的重要方向就是基坑邊的垂直方向，因此，需要間接求解監(jiān)測點位到基坑邊垂直方向的距離。如果開始確定一個初始基準值，就可以連續(xù)測量出測點位到基坑邊垂直方向的變化量，這個變化量對于判斷基坑是否安全非常重要。需要說明的是，工程坐標系的X/Y軸和數(shù)學坐標系的X/Y軸正好相反。因此，計算時需要把工程坐標系的X坐標和Y坐標交換，代入上述計算公式。

以長沙市地鐵3號線某車站基坑為例。該車站基坑水平位移監(jiān)測的工程坐標經(jīng)過處理后的原始測量數(shù)據(jù)見表1，地鐵車站基坑部分水平位移測點位置平面圖見圖2。該基坑四個端點分別為1號、5號、7號和11號，四條邊分別為1-5、5-7、7-11和11-1?；舆?-5布設(shè)有2號、3號和4號監(jiān)測點；基坑邊5-7布設(shè)有6號監(jiān)測點；基坑邊7-11布設(shè)有8號、9號和10號監(jiān)測點。基坑四條邊的直線方程系數(shù)計算結(jié)果見表2。監(jiān)測點到基坑邊的垂直距離計算結(jié)果見表3，這個計算結(jié)果與圖2中CAD作圖得出的結(jié)果一致。

基坑測量數(shù)據(jù) 表1

基坑邊直線方程系數(shù) 表2

測量點到基坑邊的垂直距離 表3

圖2 地鐵車站基坑水平位移測點位置平面圖

5 結(jié) 語

本文介紹了點P0(x0，y0)到直線l：Ax+By+C=0的距離公式的推導(dǎo)，并結(jié)合工程實例，對基坑測量監(jiān)測點位對于基坑邊垂直方向變化的大小和方向進行了分析和計算，測量數(shù)據(jù)可以在電子計算表格中自動編程實現(xiàn)，還可以用編程語言編輯程序更好實現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，可以進一步對一個時期的測量數(shù)據(jù)進行變形分析，對于監(jiān)控基坑的安全有著重要的意義。

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