軟酉空間及其運(yùn)算性質(zhì)

劉用麟，吳成達(dá)

（武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院， 福建 武夷山 354300）

由于客觀世界中或客觀世界在向人腦反映的過程中存在著大量的不精確、不完全或不完全可靠的信息（統(tǒng)稱為不確定信息）,因而，在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中需要處理大量的不確定性信息，經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法不能有效地處理.目前有一些理論，如概率理論，模糊集理論和粗糙集理論被用來處理不確定性事物，但這些理論都有自己的困難和問題.Molodtsov[1]認(rèn)為原因之一可能是這些理論的參數(shù)工具不足.為了克服這些困難，1999年Molodtsov引進(jìn)了軟集的概念作為一種新的處理不確定性的數(shù)學(xué)工具，他同時(shí)指出了軟集的若干可能應(yīng)用方向.軟集理論提出后，經(jīng)過一些學(xué)者的擴(kuò)展研究，取得了較大進(jìn)展.Maji等[2]應(yīng)用軟集理論于決策分析，Maji等[3]還研究了軟集理論的運(yùn)算.隨后,Ali等[4]指出了文[3]中所提出的交、并運(yùn)算的一些問題,并給出了新的運(yùn)算.Chen等[5]提出了參數(shù)約簡的一個(gè)新定義，并將這個(gè)定義與粗糙集理論中相關(guān)概念屬性約簡的進(jìn)行了比較.近年來，Aktas等[6]定義了軟群并給出了相關(guān)的性質(zhì)，將軟集理論應(yīng)用到群結(jié)構(gòu)上去.從此，一些學(xué)者成功地將軟集合理論應(yīng)用到各類代數(shù)系統(tǒng)上,如Feng等[7]提出了軟半環(huán)，Zhan等[8]提出了軟BL代數(shù)，Acar等[9]提出了軟環(huán)，Akram等[10-11]提出了軟李代數(shù)、軟K-代數(shù)等概念.本文作者也對(duì)軟代數(shù)理論作了一些研究，提出了軟剩余格、軟結(jié)合BCI-代數(shù)等[12-14]。已經(jīng)證明軟代數(shù)具有與經(jīng)典代數(shù)不一樣的性質(zhì)。

本文將軟集合理論應(yīng)用到酉空間中.首先給出酉空間和軟集合理論的相關(guān)知識(shí);再對(duì)軟酉空間進(jìn)行了合理的定義,給出具體的例子來證明軟酉空間的存在性;接著研究軟酉空間的運(yùn)算性質(zhì),給出軟酉空間的擴(kuò)展交、限制交和限制差分;最后研究軟酉空間的同態(tài)性質(zhì)。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 歐幾里得空間的定義及性質(zhì)

定義1.1.1[15]令V是實(shí)數(shù)域R上一線性空間,在V上定義一個(gè)二元實(shí)函數(shù),稱為內(nèi)積,記成（α,β）,它具有以下性質(zhì)：

1、（α,β）=（β,α）;

2、（kα,β）=k（α,β）;

3、（α+β，γ）=（α，γ）+（β，γ）;

4、（α，α）≥0,當(dāng)且僅當(dāng) α=0 時(shí)（α，α）=0.

這里α，β，γ是V中任意向量,k是任意實(shí)數(shù)，稱這樣的線性空間V為歐幾里得空間。

定理1.1.1[15]若V1,V2是歐式空間V的兩個(gè)子空間,那么它們的交V1∩V1也是V的子空間.

1.2 酉空間的定義及性質(zhì)

歐式空間是專門對(duì)實(shí)數(shù)域上的線性空間而討論的,因此,酉空間就是一種歐式空間.

定義1.2.1[15]設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的線性空間,在V上定義了一個(gè)二元復(fù)函數(shù),稱作內(nèi)積,記成（α,β）,它具有以下性質(zhì)：

2、（kα,β）=k（α,β）;

3、（α+β，γ）=（α，γ）+（β，γ）;

4、（α，α）是非負(fù)實(shí)數(shù),且（α，α）=0 當(dāng)且僅當(dāng) α=0.這里α,β，γ是γ中任意向量,k是任意復(fù)數(shù),這樣的線性空間V稱為酉空間.

性質(zhì)1.2.1[15]由內(nèi)積的定義可得到以下性質(zhì)：

2、（α，β+γ）=（α，β）+（α，γ）;

4、向量 α，β,當(dāng)（α，β）=0 時(shí)稱為正交或互相垂直.

定義1.2.2[15]設(shè)W是酉空間V的一個(gè)非空子集,若對(duì)于V中的加法及復(fù)數(shù)域C與V的純量乘法構(gòu)成復(fù)數(shù)域C上的一個(gè)線性空間,則稱W為V的酉子空間.

1.3 軟集合理論相關(guān)定義與基本運(yùn)算

定義1.3.1[1]設(shè)U是一個(gè)論域,E是參數(shù)集,U?E,P（U)是 U 的冪集.若 F 是 A 到P（U)的映射,則稱（F,A）為U上的一個(gè)軟集合.

定義1.3.2[4]設(shè)U的兩個(gè)軟集合分別是（F，A）和（G,B）,定義為（H,C）這兩個(gè)軟集合的擴(kuò)展交,此時(shí) C=A∪B,則

記為（F,A）∩E（G,B）=（H,C）.

定義1.3.3[4]設(shè)U的兩個(gè)軟集合分別是（F,A）和（G,B）,A∩B≠φ

1、此時(shí)可對(duì)這兩個(gè)軟集合的限制交定義為軟集合（H,C）,即：C=A∩B,?e∈C，H（e）=F（e）∩G（e）記為（F,A）∩△（G,B）=（H,C）

2、此時(shí)可對(duì)這兩個(gè)軟集合的限制并定義為軟集合（H,C）,即 C=A∩B,?e∈C，H（e）=F（e）∩G（e）.記為（F,A）∩R（G,B）=（H,C）

3、此時(shí)可對(duì)這兩個(gè)軟集合的限制差定義為軟集合（H,C）,即 C=A ∩B,?e∈C，H（e）=F（e）G（e）,記為（F,A）∩D（G,B）=（H,C）

定義1.3.4[4]設(shè)U的兩個(gè)軟集合分別是（F,A）和（G,B）,若滿足以下條件

1、A?B；

2、?x∈A，F(xiàn)（x）?H（x）.

則稱（F,A）為（G,B）的軟子集，記作（F,A）?（G,B）.

2 軟酉空間

2.1 軟酉空間的定義

為了便于說明,在這里令V是一個(gè)酉空間,A是一個(gè)非空集合.

定義2.1.1 設(shè)（F,A）是酉空間V上的一個(gè)軟集合,若?x∈A，F(xiàn)（x）,是 V 上的一個(gè)酉子空間,則稱（F,A）為V上的軟酉空間.

推論2.1.1 設(shè)（F,A）和（G，B）是酉空間上的兩個(gè)軟酉空間,如果滿足下列兩個(gè)條件：

1、B?A;

2、?x∈B，G（x）?F（x）.

則稱（G,B）是（F,A）的軟酉子空間,記為（F,A）?（G,B）.

定義2.1.2 設(shè)（F,A）和（G,B）是 V 上的兩個(gè)軟酉空間,當(dāng) G=F 時(shí),僅需滿足條件：B?A,則（G,B）是（F,A）的軟酉子空間.

2.2 軟酉空間的例子

例2.2.1 在線性空間 Cn中,對(duì)于向量 α=（α1，α2，…，αn）,β=（b1，b2，…，bn）,定義內(nèi)積,則Cn就成為一個(gè)酉空間.取S=,易證 S 是 Cn的酉子空間.令 A=｛0,1｝,定義

則（F,A）為 Cn上的軟集合.又 F（0）=Cn,F（1）=S皆是 Cn的酉子空間,所以（F,A）為Cn上的軟酉空間.

于是 F（a）=V，F(xiàn)（b）=S1，F(xiàn)（c）=S2，F(xiàn)（d）=S3， 都是 V 的酉子空間，所以（F，A）為｝上的軟酉空間.

3 軟酉空間的性質(zhì)

3.1 軟酉空間的擴(kuò)展交

引理3.1.1 若A,B均為酉空間X的酉子空間,則A∩B也是X的酉子空間.

證明：首先,根據(jù)0∈A,0∈B可知 0∈A∩B,因此A∩B 是非空的.其次,若 α,β∈A∩B,即 α,β∈A,且 α,β∈B,則 α+β∈A,α+β∈B,于是 α+β∈A∩B.對(duì) α∈A∩B,K∈C,即 α∈A,α,∈B,那么 kα∈A,kα∈B,因此 kα∈A∩B,所以A∩B也是X的酉子空間.

定理3.1.1 如果（F1，A1）和（F2，A2）是酉空間 X 上的兩個(gè)軟酉空間,則（F1，A1）∩E（F2，A2）也是酉空間 X上的軟酉空間.

證明：令（F，A）=（F1，A1）∩E（F2，A2）,其中 A=A1∪A2，?x∈A

因?yàn)椋‵1，A1）和（F2，A2）都是酉空間 X 上的軟酉空間,對(duì)?x∈A,則x∈A1A2或 x∈A2A1或 x∈A1∩A2三者必然成立一個(gè),若 x∈A2A1或 x∈A1A2則 F（x）=F1（x）或 F2（x）,均為 X 的酉子空間. 若 x∈A1∩A2,則 F（x）=F1（x）∩F2（x）,由引理 3.1.1,F（x）也為 X 的酉子空間.因此是（F，A）是X上的軟酉空間.

3.2 軟酉空間的限制交

定理3.2.1 如果（F1，A1）和（F2，A2）都是酉空間 X上的軟酉空間,且 A1∩A2≠φ,則（F1，A1）∩△（F2，A2）也是X上的軟酉空間.

證明：令（F，A）=（F1，A1）∩△（F2，A2）,其中 A=A1∩A2且對(duì)?x∈A，F(xiàn)（x）=F1（x）∩F2（x）. 由于（F1，A1）和（F2，A2）都是 X 上的軟酉空間,所以對(duì)?x∈A1,有 F1（x）是 X 上的酉子空間;同理可得,?x∈A2,有 F2（x）是 X上的酉子空間,因此,對(duì)?x∈A,有F（x）是 X 上的酉子空間,從而（F1，A1）∩△（F2，A2）是 X 上的軟酉空間.

3.3 軟酉空間的限制差分

定理3.3.1 如果（F1，A1）和（F2，A2）都是酉空間 X上的軟酉空間,且 A1∩A2≠φ,則（F1，A1）∩D（F2，A2）一定不是酉空間X上的軟酉空間.

證明：令（F，A）=（F1，A1）∩D（F2，A2）,其中 A=A1∩A2且對(duì)?x∈A，F(xiàn)（x）=F1（x）F2（x）.由已知,對(duì)?x∈A,F1（x），F(xiàn)2（x）為酉空間 X 的酉子空間,所以 0∈F1（x）,0∈F2（x）,故 0?F（x）.于是，F(xiàn)（x）不是酉空間 X 上的酉子空間,故（F1，A1）∩D（F2，A2）一定不是酉空間 X 上的軟酉空間.

3.4 軟酉空間的同態(tài)性質(zhì)

定義3.4.1 設(shè)X和Y是復(fù)數(shù)域C上兩個(gè)酉空間,f：A→B是一個(gè)映射,若滿足：

1、?α,β∈A,有 f（α+β）=f（α）+f（β）,

2、?k∈C，α∈A,有 f（kα）=kf（α）,

則稱f是酉空間A到B的一個(gè)同態(tài)映射.若f是滿射,則稱f是酉空間A到B的一個(gè)滿同態(tài)；若f是單射,則稱f是酉空間A到B的一個(gè)單同態(tài)；若f是雙射,稱f是酉空間A到B的一個(gè)同構(gòu).

引理3.4.1 設(shè)X,Y是兩個(gè)酉空間,如果f：X→Y為從X到Y(jié)的酉空間同態(tài)：

1、假設(shè)X的酉子空間為M,那么Y的酉子空間就是 f（M）.

2、假設(shè)Y的酉子空間為L,那么的酉子空間就是f-1（L）.

證明：設(shè)?y1，y2∈f（M）,在 M 中存在兩個(gè)元素 x1,x2,使得 y1=f（x1）,y2=f（x2）.則 y1+y2=f（x1）+f（x2）=f（x1+x2）由M為X的酉子空間可知x1+x2∈M,從而y1+y2=f（x1+x2）∈f（M）；設(shè)?k∈C,?y∈f（M）,則 M 中存在 x,使得 y=f（x1）,于是 ky=kf（x）=f（kx）,由于 kx∈M,所以ky=f（kx）∈f（M）.因此 f（M）為 Y 的酉子空間.同理可證,f-1（L）為X 的酉子空間.

定理3.4.1 設(shè)X,Y是兩個(gè)酉空間,如果f：X→Y為從X到Y(jié)的酉空間同態(tài),（F，A）是上的軟酉空間,則（f（F），A）是 Y 上的軟酉空間.

證明：首先由（f（F），A）的定義知（f（F），A）為 Y 上的軟集.由（F，A）是X上的軟酉空間知,對(duì)任意的α∈A,F（α）是 X 的酉子空間,由引理 3.4.1,可知 f（F（α））為 Y的酉子空間,即對(duì)任意的 α∈A，f（F）（α）是 Y 的酉子空間,從而有（f（F），A）是 Y 上的軟酉空間.

定理3.4.2 設(shè)X,Y是兩個(gè)酉空間,如果f：X→Y為從X到Y(jié)的酉空間同態(tài),（H,B）是Y上的軟酉空間,則（f-1（H），B）為 X 上的軟酉空間.

證明：首先由（f-1（H），B）的定義知（f-1（H），B）為 X上的軟集.對(duì)任意的b∈B,由（H,B）是Y上的軟酉空間知 H（b）是 Y 的酉子空間,因此由引理 3.4.1,f-1（H（b））是 X 的酉子空間,即對(duì)任意的 b∈B,f-1（H）（b）是 X 的酉子空間,從而有（f-1（H），B）為 X 上的軟酉空間.

定理3.4.3 如果 f：X→Y 是一個(gè)酉空間同態(tài),（F，A）和（H,B）是酉空間 X 上的軟酉空間,（F，A）?（H,B）,則（f（F），A）?（f（H），B）.

證明：由（F，A）?（H,B）可知 A?B,故對(duì)?x∈A,有F（x）是 H（x）的酉子空間.又由 f是同態(tài)映射,有 f（F）（x）=f（F（x））是 f（H（x））=f（H）（x）的酉子空間,由定理3.4.1 可知（f（F），A）與（f（H），B）為 Y 上的軟酉空間,再根據(jù)定義 2.1.2 可得（f（F），A）?（f（H），B）.