幾何概型的關(guān)鍵“點(diǎn)”

余建國

幾何概型中的每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)。例如，用剪刀隨機(jī)剪斷一根繩子，斷處就是一個(gè)點(diǎn)；又如，向一個(gè)網(wǎng)盤投擲飛鏢，飛鏢擊中網(wǎng)盤就是一個(gè)點(diǎn)；再如，在1L高產(chǎn)小麥種子中混入l粒帶麥銹病的種子，可以將這粒種子看成一個(gè)點(diǎn)等等，但有些問題中的“點(diǎn)”看起來就不是很明顯，或根本就不是點(diǎn)，這樣的幾何概型如何求解呢？

與本題類似的是“會(huì)面問題”，都有兩個(gè)相互獨(dú)立的變量，從而將基本事件理解為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，同學(xué)們可以參照求解。

鑿例3 在圓O上隨機(jī)取三點(diǎn)A， B，c，求△ABC是銳角三角形的概率。

分析 三個(gè)點(diǎn)隨機(jī)取，是不是有三個(gè)獨(dú)立的變量，轉(zhuǎn)化為三維空間內(nèi)取點(diǎn)呢？還有同學(xué)說，不能面直徑，那就在直徑上方先面一條線AB，第3個(gè)點(diǎn)C不能在AB上方取，只能在AB下方取，所以概率是1/2。這些解法其實(shí)都沒有數(shù)學(xué)的邏輯推理和抽象概括，全憑感覺！

事實(shí)上，換一個(gè)等價(jià)的、且仍然保證“等可能性”的說法：從圓心O出發(fā)任意作三條射線，與圓周分別交于A，B，C三點(diǎn)，如圖4。由于∠A=1/2∠BOC等，要使△ABC是銳角三角形，當(dāng)且僅當(dāng)∠BOC，∠COA，∠AOB都小于丌，而∠BOC十∠COA十∠AOB=2丌，故設(shè)兩個(gè)獨(dú)立變量，基本事件就轉(zhuǎn)化為點(diǎn)了。

在平面直角坐標(biāo)系中，面出Ωn，A所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域D，d，如圖5，其中D指等腰直角三角形，d指陰影部分。所以，P（A）=d的面積/D的面積=1/4。

總結(jié)上面三個(gè)問題，解決幾何概型關(guān)鍵首先要看到“點(diǎn)”，任何基本事件都必須轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)”，且保證取點(diǎn)的等可能性；其次，隨機(jī)事件A的發(fā)生可視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn)，記住是指定區(qū)域！如果發(fā)現(xiàn)區(qū)域“飄忽不定”，可能是變量不夠用了，此時(shí)應(yīng)該升維。

這個(gè)“點(diǎn)”可能是實(shí)實(shí)在在的點(diǎn)，如飛鏢的落點(diǎn)、繩子的斷點(diǎn)、到達(dá)車站的時(shí)間點(diǎn)等，也有可能是我們?yōu)榱说瓤赡苄远鴺?gòu)造出來的點(diǎn)，而不是題目條件中的幾何點(diǎn)，總之，要抓住幾何概型的關(guān)鍵“點(diǎn)”。endprint