把握結(jié)構(gòu)特征，了解數(shù)學(xué)本性

沙國祥

結(jié)構(gòu)，《現(xiàn)代漢語詞典》釋義為“各組成部分的搭配或排列”，指事物基本單元或部件之間的關(guān)系.無論是具象世界，宏觀如太陽系，中觀如建筑，微觀如分子，還是抽象世界，如文章、詩詞，均有各自的結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)也不例外，數(shù)學(xué)對象如代數(shù)式、數(shù)列、函數(shù)、圖形等，同樣也有相應(yīng)的結(jié)構(gòu).結(jié)構(gòu)，在很大程度上決定了事物的本性.本文以數(shù)列為例，談?wù)勅绾巫プ?shù)學(xué)對象的結(jié)構(gòu)特征，研究、了解其本性，由此可以把準(zhǔn)很多很多高考題的命題立意，尋得解題思路.

命題往往采用逆向思維來立意，尋求刻畫數(shù)學(xué)對象本性的充要條件.

以上我們探討了等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征.那么，等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)有何特征？這些結(jié)構(gòu)特征又怎樣決定了它的本性？有關(guān)高考題是怎樣以此立意的呢？

現(xiàn)在來看一個有趣的滴水問題：

往一個水池中滴水，第1s，1滴水；第2s，2滴水；第3s，4滴水；第4s，8滴水；……每秒滴水量為前一秒的2倍.若加滿半池需要ns，問：加滿整個水池還需要多長時間？

半池水，共有

1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1（滴）.

再用1s，加水2ⁿ滴，已經(jīng)超過了前ns所加水的總滴數(shù)，因此加滿整個水池，還需要不到1s的時間就足夠了！

簡直不可思議！實際上，這個問題的結(jié)果生動地反映了等比數(shù)列的重要特性：

性質(zhì)一 設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，當(dāng)公比q≥2時，S_nn+1.

這表明，當(dāng)公比大于或等于2時，等比數(shù)列的項增長極快，以至于所有前項的和S_n還抵不上緊接著的后一項a_n+1.這種指數(shù)增長的特性，是由等比數(shù)列前n項的和S_n的結(jié)構(gòu)所決定的：

以此眼光來看一道高考題：

該題命題的立意基于：1.等差數(shù)列通項的一次函數(shù)特征（也即線性特征：一個等差數(shù)列的各項同時乘以或同時加上同一個數(shù)，所得新數(shù)列仍然是等差數(shù)列）；2.等比數(shù)列的前n項和與第n+1項之間存在線性關(guān)系（**）.

由于等差數(shù)列、等比數(shù)列具有各自的結(jié)構(gòu)特征和本性，只有極個別特殊數(shù)列可兼有二者身份.

（ii）求n的所有可能值.

（2）求證：對于給定的正整數(shù)n（n≥4），存在一個各項及公差均不為零的等差數(shù)列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數(shù)列.

本題第（1）題的立意，基于數(shù)列的一個簡單性質(zhì)：

性質(zhì)二 如果一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，那么該數(shù)列必定是常數(shù)列.

從等差數(shù)列與等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)和變化特征，可以直覺地領(lǐng)悟這一點：除了常數(shù)列以外，等差數(shù)列是均勻變化的，而等比數(shù)列則是非均勻變化的，可以是滾雪球或指數(shù)式增長！

對于第（2）題，仍然要抓住等差數(shù)列通項的一次函數(shù)特征，并再次利用數(shù)列的基本特性，即性質(zhì)二.