基于濾波器的迭代學(xué)習(xí)最小二乘辨識方法*

史偉民，吳達(dá)偉，楊亮亮

(浙江理工大學(xué) 機(jī)械與自動控制學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

一個運(yùn)動控制系統(tǒng)通常由上位機(jī)、運(yùn)動控制器、伺服驅(qū)動器、電機(jī)及執(zhí)行機(jī)構(gòu)等構(gòu)成[1-3]。運(yùn)動控制器作為一個機(jī)電系統(tǒng)的重要組成部分，它直接影響整個系統(tǒng)的控制效果。

要想達(dá)到高速度高精度的控制效果，控制器參數(shù)的設(shè)置至關(guān)重要。如果參數(shù)設(shè)置不合理將會導(dǎo)致整個運(yùn)動控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定，進(jìn)而達(dá)不到所要求的運(yùn)動性能。目前對控制器參數(shù)的設(shè)置多是根據(jù)人為經(jīng)驗(yàn)來調(diào)整，雖然簡單易行但是效率低下，控制性能依賴參數(shù)設(shè)置人員自身素質(zhì)。因此，要想得到一個穩(wěn)定的、高速度高精度的控制參數(shù)，精確的控制對象模型很重要[4-6]。

最小二乘辨識方法因其簡單穩(wěn)定，在參數(shù)辨識方面有著廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[7]中采用遞推最小二乘法對永磁同步電機(jī)進(jìn)行離線參數(shù)辨識，成功地辨識了電阻和電感參數(shù)；文獻(xiàn)[8]中以直線伺服系統(tǒng)作為辨識對象，用基于最小二乘的階躍辨識法獲得了比較精確的系統(tǒng)模型參數(shù)；李洪宇等[9]通過測量定子電壓和電流，基于擴(kuò)展卡爾曼濾波器(EKF)，研究了一種新穎算法，通過將兩個基于擴(kuò)展卡爾曼濾波器模型有機(jī)結(jié)合，協(xié)同工作，實(shí)現(xiàn)了對轉(zhuǎn)子電阻、勵磁電感、轉(zhuǎn)子磁鏈和轉(zhuǎn)速在線辨識；李旭春等[10]在電機(jī)靜止?fàn)顟B(tài)下使用遞推最小二乘的辨識方法獲得了電機(jī)參數(shù)，雖然他們通過不同的辨識算法獲得了辨識參數(shù)，但是得到的辨識參數(shù)反映在伯德圖上的情況并未做詳細(xì)說明。對于高階系統(tǒng)辨識，尤其是帶有振蕩環(huán)節(jié)的辨識，普通的最小二乘算法辨識精度不夠，即使性能準(zhǔn)則函數(shù)達(dá)到最優(yōu)，系統(tǒng)中的振蕩環(huán)節(jié)也未必能夠得到體現(xiàn)。

因此，本研究將提出一種迭代濾波最小二乘辨識方法。

1 辨識模型

設(shè)離散化的傳遞函數(shù)如下:

(1)

式中：α0…αn—分子需要辨識的系數(shù)；β1…βn—分母需要辨識的系數(shù)；z—延遲因子。

系統(tǒng)辨識中常用的廣義誤差模型如圖1所示[11]。

圖1 廣義誤差模型P—控制對象；r—輸入信號，即參考軌跡；n—外部干擾；y—系統(tǒng)輸出；N(z)，D(z)—廣義模型；e—廣義誤差

可表述為:

(2)

輸出誤差模型如圖2所示。

圖2 輸出誤差模型e—辨識出的模型輸出與實(shí)際系統(tǒng)輸出之間的差值

(3)

但是輸出誤差ej是關(guān)于參數(shù)α0…αn、β1…βn的非線性函數(shù)，這樣就增加了求解參數(shù)的難度和計(jì)算量。

因此，本研究在圖1的基礎(chǔ)上提出一個新的辨識模型。在輸入和輸出數(shù)據(jù)兩邊同乘以1/Di-1(z)，相當(dāng)于引入一個參數(shù)變動的低通濾波器。

迭代模型如圖3所示。

圖3 迭代模型經(jīng)過低通濾波器濾波后的r，y

當(dāng)圖3的模型辨識參數(shù)達(dá)到收斂的情況下，Di=Di-1，即：

(4)

本研究通過迭代的方法把輸出誤差模型轉(zhuǎn)化為廣義誤差模型來求解。

濾波迭代模型如圖4所示。

圖4 濾波迭代模型Band-pass filter—帶通濾波器；x，w—經(jīng)過帶通濾波器濾波后的輸入輸出數(shù)據(jù)；經(jīng)過迭代低通濾波器濾波后的數(shù)據(jù)；i—迭代次數(shù)

2 系統(tǒng)參數(shù)辨識

根據(jù)圖4得到：

(5)

誤差為:

(6)

即：

(7)

為了方便計(jì)算寫成如下形式：

(8)

其中：

(9)

(10)

式(7)代入到式(8)中可得：

(11)

則：

δ=Q-1C

(12)

其中：

(13)

3 參數(shù)辨識仿真與實(shí)驗(yàn)分析

3.1 參數(shù)辨識仿真分析

本研究以下式離散傳遞函數(shù)為參數(shù)辨識仿真對象，來驗(yàn)證本研究中提出的算法的有效性：

(14)

本研究用白噪聲作為輸入數(shù)據(jù)，發(fā)送給傳遞函數(shù)得到輸出數(shù)據(jù)。在這里需要注意對干擾噪聲的設(shè)置，噪聲過大會造成仿真辨識結(jié)果失真辨識失敗。

參數(shù)迭代辨識結(jié)果如圖5所示。

圖5 參數(shù)迭代辨識結(jié)果

通過圖5的仿真結(jié)果可以看到：經(jīng)過五次迭代辨識后辨識數(shù)據(jù)已經(jīng)收斂。

仿真真值對比如表1所示。

表1 仿真真值對比

最后的迭代辨識結(jié)果與仿真對象的真值對比，誤差在2%以下。

3.2 直線電機(jī)參數(shù)辨識實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

永磁同步直線電機(jī)結(jié)構(gòu)簡單，沒有中間傳動環(huán)節(jié)，在低速時仍有較好的性能。另外，永磁直線電機(jī)與直線感應(yīng)電機(jī)相比，具有單位尺寸出力大、結(jié)構(gòu)輕、慣性小、響應(yīng)快、發(fā)熱少、冷卻要求低、精度高、結(jié)構(gòu)簡單、體積小、重量輕、損耗小、效率高、電機(jī)形狀和尺寸可以靈活多樣等諸多優(yōu)點(diǎn)[13]。因而直線電機(jī)廣泛應(yīng)用于各種有高速高精要求的場合。

該實(shí)驗(yàn)的運(yùn)動控制實(shí)驗(yàn)平臺如圖6所示。

圖6 運(yùn)動控制實(shí)驗(yàn)平臺

兩臺直線電機(jī)構(gòu)成x-y運(yùn)動平臺，直線電機(jī)均為Baldor公司的LMCF02C-HCO，運(yùn)動位置由GSI公司分辨率為0.5 μm的光柵尺測量，伺服驅(qū)動器同樣為Baldor公司提供的FMH2A03TR-EN23，對電機(jī)的控制采用電流控制。控制器采用的是TI公司的高性能浮點(diǎn)型數(shù)字信號處理器TMS320F6713?？刂破鞯挠?jì)算結(jié)果通過16位精度的數(shù)模轉(zhuǎn)換芯片作為電流指令輸出給驅(qū)動器。因?qū)嶒?yàn)中只用到了一個軸，只需把下層鎖死即可。

通過用功率譜分析得出的直線電機(jī)伺服系統(tǒng)的伯德圖可以看出直線伺服系統(tǒng)整體近似一個二階系統(tǒng)，在100 Hz的頻率點(diǎn)有共振和反共振產(chǎn)生，因此把整個直線伺服系統(tǒng)按照四階傳遞函數(shù)來辨識。

把四階傳遞函數(shù)用下式進(jìn)行雙線性變換：

(15)

式中：Ts—采樣周期；z—延遲因子。

得到離散化的傳遞函數(shù)，即公式(1)中na=nb=4。為了保證中頻段尤其是振蕩環(huán)節(jié)辨識的準(zhǔn)確，該實(shí)驗(yàn)中：

(1)設(shè)置帶通濾波器的通帶頻率為80 Hz～200 Hz對數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波；

(3)用辨識算法進(jìn)行辨識，得到δ；

(5)回到步驟(3)，直到數(shù)據(jù)收斂。

用基于濾波器的迭代學(xué)習(xí)最小二乘辨識方法對直線伺服系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)迭代辨識結(jié)果如圖7所示。通過10次迭代參數(shù)已經(jīng)收斂。

圖7 實(shí)驗(yàn)迭代辨識結(jié)果

隨著迭代準(zhǔn)則函數(shù)也下降趨于收斂，準(zhǔn)則函數(shù)如圖8所示。

圖8 準(zhǔn)則函數(shù)

本研究用辨識結(jié)果繪制伯德圖和功率譜分析對比，迭代學(xué)習(xí)最小二乘實(shí)驗(yàn)結(jié)果伯德圖對比如圖9所示。

圖9 迭代學(xué)習(xí)最小二乘實(shí)驗(yàn)結(jié)果伯德圖對比

由此可見，兩者整體擬合，特別是反應(yīng)在在100 Hz左右的振蕩環(huán)節(jié)，散點(diǎn)圖與實(shí)線完全擬合。

同樣，本研究經(jīng)過通帶頻率為80 Hz～200 Hz的帶通濾波器濾波后的數(shù)據(jù)用批處理最小二乘辨識，得到的辨識數(shù)據(jù)繪制伯德圖，并和功率譜分析對比，批處理最小二乘實(shí)驗(yàn)結(jié)果伯德圖對比如圖10所示。辨識數(shù)據(jù)結(jié)果的伯德圖雖然大體可以重合，但是在100 Hz的振蕩并無明顯體現(xiàn)。

圖10 批處理最小二乘實(shí)驗(yàn)結(jié)果伯德圖對比

4 結(jié)束語

本研究通過分析傳統(tǒng)的辨識模型的不足，進(jìn)而推導(dǎo)出了一種基于濾波器的迭代學(xué)習(xí)最小二乘辨識方法。仿真結(jié)果表明：該算法可以成功辨識模型參數(shù)，誤差在2%以下。通過運(yùn)動控制實(shí)驗(yàn)平臺進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)證明：基于濾波器的迭代學(xué)習(xí)最小二乘辨識方法能夠成功辨識模型參數(shù)，并且與傳統(tǒng)的最小二乘辨識方法相比基于濾波器的迭代學(xué)習(xí)最小二乘辨識方法能夠精確辨識出傳遞環(huán)數(shù)的振蕩環(huán)節(jié)，得到更加準(zhǔn)確的辨識對象的數(shù)學(xué)模型。

因此，利用基于濾波器的迭代學(xué)習(xí)最小二乘辨識方法辨識算法進(jìn)行離線參數(shù)辨識，可為后期的高速高精控制器的設(shè)計(jì)、振動的抑制提供可靠的依據(jù)。

但是辨識算法中濾波器的設(shè)計(jì)不夠靈活的問題，有待進(jìn)一步研究。

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