基于Copula函數(shù)的切削力與表面粗糙度的相關(guān)性

裴宏杰, 李公安, 付坤鵬, 陳少峰, 王貴成

(江蘇大學(xué) 機械工程學(xué)院, 江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

智能制造是制造業(yè)的一個重要發(fā)展方向[1].為了實現(xiàn)機械加工的智能化,需要在線監(jiān)測生產(chǎn)加工過程,因而機械加工表面質(zhì)量和監(jiān)測參數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系成為了一個重要問題.在機械加工過程中,切削力是常用的監(jiān)測信號[2],表面粗糙度是衡量表面質(zhì)量的一個重要指標(biāo),因此研究切削力和表面粗糙度之間的相關(guān)性,對實現(xiàn)切削加工自動化生產(chǎn)具有重要的意義.

早期研究[3-4]采用線性相關(guān)系數(shù)描述分析變量間的相關(guān)關(guān)系,無法準(zhǔn)確度量切削過程變量之間復(fù)雜的非線性、非對稱關(guān)系.進而文獻[5-7]運用數(shù)理統(tǒng)計的方法,得出切削過程變量之間的相關(guān)關(guān)系.文獻[8]通過采用自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)模型來討論切削參數(shù)和切削力以及表面粗糙度之間的相關(guān)程度大小.

作為一種新的相關(guān)性研究方法,Copula函數(shù)既能構(gòu)造多變量的聯(lián)合分布函數(shù),也能很精確地描述它們的相關(guān)結(jié)構(gòu),而且可以定量地描述樣本數(shù)據(jù)的厚尾特性,近些年來被廣泛應(yīng)用于金融、電力、水文和故障診斷等領(lǐng)域[9-10].但是在機械加工領(lǐng)域的應(yīng)用較少,因而文中基于Copula函數(shù)以及由其所構(gòu)造的聯(lián)合分布函數(shù)對切削力和表面粗糙度變量之間存在的相關(guān)關(guān)系進行有效分析.

1 試驗設(shè)置

試驗機床采用SB-CNC超精密車銑復(fù)合中心,刀片型號CCGX 09 T308-AL H10,圓角半徑RE為0.8 mm,前角γo為0°,后角αo為7°,主偏角Kr為95°,副偏角Kr′為5°.工件材料選用直徑Φ30 mm的7075高強度航空鋁合金,表面粗糙度和切削力分別通過Olympus公司DSX500光學(xué)數(shù)碼顯微鏡和Kistler公司9293A壓電式測力儀得到.試驗方法采用控制變量法,冷卻方式為干切削,試驗總數(shù)為64組,結(jié)果如表1所示.

表1 車削試驗結(jié)果

注:v為切削速度;f為進給速度;ap為切削深度;Fx為軸向力；Fy為徑向力;Fz為切向力;Ra為表面粗糙度

2 Copula函數(shù)

Copula函數(shù)是一個連接多維聯(lián)合分布和邊緣分布的函數(shù),根據(jù)Sklar定理[11]表述:X,Y變量的聯(lián)合分布函數(shù)為H(x,y),其邊緣分布函數(shù)分別是u=F(x),v=G(y),則必定存在一個Copula函數(shù)C(u,v),對任意的x,y∈R均滿足下式:

H(x,y)=C(u,v)=C(F(x),G(y)),

(1)

式中:H(x,y)是邊緣分布F(x),G(y)的聯(lián)合分布函數(shù);C就是連接函數(shù)Copula函數(shù).

2.1 Copula函數(shù)的參數(shù)估計

由于切削力與表面粗糙度變量都服從正態(tài)分布,所以首先將各變量樣本值轉(zhuǎn)換為[0,1]區(qū)間內(nèi)的概率分布值(用U,V表示),再利用MATLAB中的相關(guān)命令計算得到Copula函數(shù)中所包含的未知參數(shù)估計值,其結(jié)果如表2所示.

表2 切削力與表面粗糙度變量的建模參數(shù)

2.2 Copula函數(shù)的確定

將選用L2距離最小法來對5種待選的Copula函數(shù)進行最優(yōu)選擇.將經(jīng)概率積分變換后的樣本值代入到各個待選Copula函數(shù)以及樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)中,就可以獲得樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的理論概率值和經(jīng)驗概率值,然后通過計算兩者的歐式距離,并以此作為函數(shù)選擇的評價標(biāo)準(zhǔn),其計算結(jié)果如表3所示.

表3 切削力與Ra變量對應(yīng)的歐式距離d2

從表3可知,根據(jù)擬合優(yōu)化選擇的標(biāo)準(zhǔn),Frank Copula函數(shù)對應(yīng)的歐式距離d2最小,因此將選用Frank Copula函數(shù)來描述Fx,Fy,Fz以及F各變量與Ra變量的相關(guān)結(jié)構(gòu).

2.3 聯(lián)合分布函數(shù)模型的建立

根據(jù)Sklar定理,軸向力Fx、徑向力Fy、主切削力Fz以及切削合力F各變量與表面粗糙度Ra變量的聯(lián)合分布函數(shù)分別如下式所示:

(2)

(3)

(4)

(5)

式中的建模參數(shù)α分別是3.287 5,4.250 5,4.018 6和4.118 5.

為了驗證各切削力變量與表面粗糙度變量所建立的聯(lián)合分布函數(shù)模型的合理性,可以通過比較各個觀測樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)所對應(yīng)的經(jīng)驗累積概率值與理論累積概率值是否近似相同來判斷.根據(jù)式(2)-(5)可以計算出各切削力變量與表面粗糙度變量樣本點所對應(yīng)的理論累積概率值;而計算經(jīng)驗累積概率值的方法可以參照文獻[12],公式如下:

(6)

式中N表示隨機變量的樣本總數(shù)；nm,k指的是樣本值(xm,yk)出現(xiàn)的頻數(shù).根據(jù)經(jīng)驗累積概率與理論累積概率計算結(jié)果,將切削力與表面粗糙度兩相關(guān)變量各個觀測樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)的理論累計概率Fthe值作為縱坐標(biāo),經(jīng)驗累計概率Femp值作為橫坐標(biāo),分別畫出各變量對應(yīng)的散點圖,其結(jié)果如圖1-4所示.

從圖1到圖4中可以看出,各相關(guān)變量所對應(yīng)的理論值與經(jīng)驗值基本在一條直線上,并且兩者的線性相關(guān)系數(shù)r分別是0.994,0.995,0.991和0.992,說明切削力變量與表面粗糙度變量的聯(lián)合分布函數(shù)模型與實際情況擬合效果好.

圖1 Fx與Ra觀測數(shù)據(jù)經(jīng)驗累積概率與理論累積概率散點圖

圖2 Fy與Ra觀測數(shù)據(jù)經(jīng)驗累積概率與理論累積概率散點圖

圖3 Fz與Ra觀測數(shù)據(jù)經(jīng)驗累積概率與理論累積概率散點圖

圖4 F與Ra觀測數(shù)據(jù)經(jīng)驗累積概率與理論累積概率散點圖

3 切削力與表面粗糙度相關(guān)性分析

3.1 整體相關(guān)性

為了分析比較各切削力分量與表面粗糙度的整體相關(guān)性,選用由Copula函數(shù)導(dǎo)出的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ作為評價指標(biāo);同時,由于它們的相關(guān)結(jié)構(gòu)形式可以由Frank Copula函數(shù)來表達,依據(jù)文獻[10,12]可以計算得到Fx與Ra,Fy與Ra,Fz與Ra,F與Ra的τ值分別為0.331 8,0.404 6,0.389 5和0.396 9,檢驗水平α=0.01上顯著相關(guān)(雙尾).

所有方向的切削力與表面粗糙度之間都存在著顯著的相關(guān)性,并且徑向力與表面粗糙度之間的關(guān)聯(lián)程度最強,主切削力次之,軸向力對表面粗糙度的影響最弱;同時,切削合力與表面粗糙度也有著極強的相關(guān)性.由此可知,切削力與表面粗糙度的關(guān)聯(lián)性程度較大,整體上有一定的協(xié)同性.此外,由于徑向切削力垂直于加工表面,因此,徑向力的變化與工件表面輪廓高度的波動有著密切的聯(lián)系,于是它們之間的相關(guān)程度也最強.

綜上所述,切削力與表面粗糙度整體上有著明顯的正相關(guān)性,并且各切削力分量與表面粗糙度之間的相關(guān)程度大小并不一致.

3.2 尾部相關(guān)性

在切削過程中,由于工件的不均勻性以及刀具磨損程度的變化,切削力可能會出現(xiàn)極大或者是極小的情況,為了有效地控制表面質(zhì)量,極值條件下的切削力與表面粗糙度相關(guān)性分析也是不可或缺的.通過切削力與表現(xiàn)粗糙度的尾部相關(guān)性分析,可以定量地揭示它們在極值條件下的相關(guān)關(guān)系.上下尾部相關(guān)系數(shù)和Copula函數(shù)之間的關(guān)系如下:

(7)

(8)

式中:λu和λl表示上、下尾相關(guān)系數(shù);q代表分位數(shù).根據(jù)式(7)和(8)可以計算得到各切削力分量及切削合力與表面粗糙度在不同概率q條件下對應(yīng)的上尾及下尾相關(guān)系數(shù),分析結(jié)果如表4所示.

表4 切削力與表面粗糙度Ra的尾部相關(guān)系數(shù)

由此可知,各切削力變量與表面粗糙度變量的上、下尾相關(guān)系數(shù)相等,并且在同一水平q的條件下,徑向力Fy對應(yīng)的尾部相關(guān)系數(shù)最大.同時,隨著水平值q的增大,各變量對應(yīng)的上尾相關(guān)系數(shù)趨向于0,而隨著水平值q的減小,其下尾相關(guān)系數(shù)也近似為0,這說明了極值條件下的切削力對表面粗糙度的影響程度較小,即關(guān)聯(lián)性不強.

4 結(jié) 論

1) 切削力與表面粗糙度之間存在著明顯的正相關(guān)關(guān)系,并且各切削力分量所對應(yīng)的相關(guān)程度大小并不一致,徑向力、主切削力以及軸向力依次對應(yīng)的Kendall秩相關(guān)系數(shù)依次減小,說明徑向力對表面質(zhì)量的影響程度最大,軸向力影響最小;同時,切削合力能夠較好地表征各分量的綜合作用.

2) Frank Copula函數(shù)能夠較好地刻畫切削力與表面粗糙度兩變量的相關(guān)結(jié)構(gòu),并且其結(jié)構(gòu)是關(guān)于中心對稱的.

3) 切削力與表面粗糙度的上、下尾相關(guān)系數(shù)相等,并且它們之間的尾部相關(guān)程度較小.

)

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