小學(xué)數(shù)學(xué)思維教學(xué)的幾個案例（上）

數(shù)學(xué)思維教學(xué)的重要性現(xiàn)已獲得了小學(xué)數(shù)學(xué)教師的普遍認(rèn)同，但就這方面的具體工作而言，還有不少問題需要我們深入地進行研究。特別是，如何將數(shù)學(xué)思維與具體知識內(nèi)容的教學(xué)很好地結(jié)合起來，從而使學(xué)生不僅能夠很好地掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識與技能，也能逐步學(xué)會數(shù)學(xué)地思維。筆者就近期接觸到的幾個課例對此做出具體分析，希望能夠引發(fā)廣大教師的思考，并能結(jié)合教學(xué)實踐積極地開展研究，從而將教學(xué)工作做得更好，切實促進自身的專業(yè)成長。

一、“年、月、日的認(rèn)識”的教學(xué)

這是蘇教版數(shù)學(xué)教材三年級下冊的一項內(nèi)容。常見的教法是：引導(dǎo)學(xué)生對某一年份的年歷做具體考察，從而發(fā)現(xiàn)大月、小月的區(qū)別，包括它們各有多少天，2月有什么特殊之處，全年共有多少天，以及平年和閏年的區(qū)分，等等。顯然，這樣的教學(xué)設(shè)計主要集中于知識的掌握。

上述的目標(biāo)應(yīng)該不難達到，但就我們的論題而言，筆者希望讀者能進一步思考：就這一內(nèi)容的教學(xué)而言，我們?nèi)绾魏芎玫伢w現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的教學(xué)這樣一個目標(biāo)？當(dāng)然，這也是這一教學(xué)活動的一個相關(guān)事實，即我們的教學(xué)如果完全局限于相關(guān)事實，就很難被看成一堂真正的數(shù)學(xué)課。因為，這些知識都只是生活知識，很難被看成與數(shù)學(xué)具有真正的聯(lián)系。

或許也就是基于后一種思考，有教師提出了這樣的教學(xué)方案，即由單獨考察某一年份的年歷轉(zhuǎn)而同時引入多個不同年份的年歷，希望學(xué)生通過對比，憑借自身的努力獲得相關(guān)的發(fā)現(xiàn)，甚至認(rèn)為這也屬于“找規(guī)律”的活動。

相對于簡單的傳授而言，讓學(xué)生自己獲得相關(guān)的發(fā)現(xiàn)當(dāng)然更加可取。但是，這樣的活動是否就因此具有了一定的數(shù)學(xué)味？筆者對此仍有一定的懷疑，包括這樣一個思考：所說的知識能否被看成真正的規(guī)律？因為，這正是人們關(guān)于日常認(rèn)識與數(shù)學(xué)認(rèn)識主要區(qū)別的一個共識：后者不應(yīng)停留于事實的發(fā)現(xiàn)，還必須對此做出進一步的說明與理解，包括必要的證明。再者，在筆者看來，與其將大月有31天、小月有30天、一年有12個月等看成所謂的規(guī)律，還不如說它們都只是一些歷史事實，具有很大的偶然性。

進而，也正是從同一角度分析，筆者以為，與單純強調(diào)找規(guī)律相比，這可以被看成關(guān)于這一內(nèi)容教學(xué)更恰當(dāng)?shù)囊粋€定位，即我們應(yīng)當(dāng)由現(xiàn)成知識的簡單傳授或發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)而更加重視其形成的過程———當(dāng)然，后者主要是指歷史與文化的考察，而非純粹的理性分析。

但是，我們?nèi)绾螌⑦@一內(nèi)容的教學(xué)與數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)很好地結(jié)合起來呢？或者說，使其具有較強的數(shù)學(xué)味呢？在筆者看來，這就直接涉及分析的視角：從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度看，我們應(yīng)當(dāng)將年、月、日的認(rèn)識放到度量，特別是時間的度量這一更大的范圍中去進行分析思考。

還應(yīng)強調(diào)的是，這里所說的數(shù)學(xué)的視角，不應(yīng)被看成是與前面所提到的歷史與文化的考察直接相抵觸的。這就為我們更好地從事這一內(nèi)容的教學(xué)指明了努力的方向：我們?nèi)绾螌烧吆芎玫亟Y(jié)合在一起。

具體地說，在此不妨首先將學(xué)生引入這樣一個情境：由于缺乏必要的時間概念與計時工具和方法，早期的人類與現(xiàn)代人相比，顯然更加容易發(fā)出這樣的感嘆：我們不知不覺就老了！時間都去哪兒啦？

當(dāng)然，這也就十分清楚地表明了計時的重要性。然而，由于當(dāng)時并沒有合適的計時工具及概念系統(tǒng)，人們就必然會借助日常生活中所觀察到的一些自然現(xiàn)象，特別是天體的變化作為基本的計時工具。這直接導(dǎo)致了日、月、年的引入：它們分別與晝夜的輪替、月亮的圓缺變化，以及春夏秋冬四季的循環(huán)直接相對應(yīng)。

再者，如果教學(xué)中我們能從社會文化，特別是聯(lián)系人們生活生產(chǎn)的需要去進行分析，顯然就有助于學(xué)生更好地理解引入年、月、日這些計時單位的必要性。另外，與現(xiàn)實的需要相對照，以下的思考則可說表現(xiàn)出了較強的數(shù)學(xué)味：由于同時存在多個不同的計時單位，我們顯然也就有必要進一步研究它們之間的關(guān)系，如1年究竟有多少天？1個月有多少天？1年又有多少個月？等等。這也就是指，后者事實上即可被看成一般性的度量問題在這方面的具體體現(xiàn)。

當(dāng)然，上述各個問題的提出還可被看成很好地體現(xiàn)了精確定量這樣一個數(shù)學(xué)思想。然而，就這方面的各個具體結(jié)論而言，又應(yīng)說是文化的因素發(fā)揮了主要的作用。如，我們?yōu)槭裁磿M行大月和小月的區(qū)分，為什么會對2月的天數(shù)做出特別的規(guī)定等。再則，以下的事實顯然可被看成十分清楚地表明了它們的文化性質(zhì)，即歷史上存在多種不同的計時系統(tǒng)，如所謂的陽歷與陰歷等。當(dāng)然，最終又是科學(xué)的進步為時間度量的統(tǒng)一提供了客觀標(biāo)準(zhǔn)。比如，我們應(yīng)當(dāng)如何決定一年的長度，又應(yīng)如何依據(jù)相關(guān)的事實做出平年與閏年的區(qū)分，等等。

最后，筆者以為，借助以下事實我們或許可幫助學(xué)生初步地領(lǐng)會兩種文化的區(qū)別：如果說現(xiàn)行的計時系統(tǒng)主要體現(xiàn)了人文文化的影響，那么，這就是科學(xué)文化（數(shù)學(xué)文化是其中十分重要的一個成分）十分重要的一個特征，即更加注重結(jié)論的合理性。就我們當(dāng)前的論題而言，這也就是指，我們應(yīng)當(dāng)如何安排年、月、日才最為合理。例如，以下就是一些科學(xué)家曾提出的一個建議：我們應(yīng)當(dāng)完全取消大月與小月的區(qū)分以及2月的特殊地位，而是統(tǒng)一規(guī)定“一年中12個月都是30天”，并將剩下的5天（或6天）放在一年開始之時作為公共假日。

由此可見，上述內(nèi)容事實上也為我們在教學(xué)中很好地滲透數(shù)學(xué)文化提供了契機。

關(guān)于計時問題的另一實例可參見《24小時記時法的教學(xué)》（[1]：第一章，[例14]），其中特別提到了這樣一個事實：除了12小時記時法與24小時記時法的明顯區(qū)別以外，還涉及兩種不同的計時系統(tǒng)，即所謂的周期記時法，以及如同“2016年9月18日下午6時30分”這樣的精確記時。在此要強調(diào)的是：月份的引入事實上可被看成周期計時的又一實例，而這又正是采取周期記時法的一個主要優(yōu)點：“數(shù)學(xué)使一切科學(xué)變得簡單?！保愂∩碚Z）

二、“誰的面積大”的教學(xué)endprint

這是各類教學(xué)觀摩中經(jīng)?？梢钥吹降囊豁梼?nèi)容，任課教師普遍采取了聯(lián)系生活實際的引入方式，如，用28根1米長的木棍圍一塊長方形的菜地，如何圍面積最大？（這方面的一個課例可參見[1]：第一章，[例8]）這里所說的引入方式當(dāng)然有一定的優(yōu)點，但筆者在此從另一角度提出這樣一個問題，即我們?nèi)绾尾拍苁箶?shù)學(xué)課上所提出的問題對學(xué)生而言是真正十分自然的？如果說所謂的問題引領(lǐng)和問題驅(qū)動可被看成數(shù)學(xué)教學(xué)既能充分發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用，又能很好地體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，并能幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思維（更一般地說，就是促進學(xué)生思維的發(fā)展。特別是，能逐步學(xué)會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，并由理性思維逐步走向理性精神）的關(guān)鍵，那么，這就是這方面工作應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的一個問題，即我們應(yīng)當(dāng)高度重視相關(guān)問題的自然性：“一個很關(guān)鍵的因素就是教師必須讓學(xué)生感到問題的提出是自然的，而不是神秘的，是有跡可循的，而不是無章可依的。”（詳見[2]）

當(dāng)然，筆者在此所關(guān)注的，不只是所說的“圍地問題”對學(xué)生而言是否可以被看成十分自然的，而主要是這樣一個思考，即我們應(yīng)當(dāng)如何提出“誰的面積大”這樣一個問題，才能更加有利于學(xué)生思維的發(fā)展。這顯然要求我們更加重視對學(xué)生現(xiàn)實情況的深入分析。

具體地說，正如人們普遍了解的，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)平面圖形的面積與周長時經(jīng)常會出現(xiàn)的一個錯誤，即對面積與周長這兩個概念產(chǎn)生混淆。為了解決這樣一個問題，有不少教師提出了很好的建議，如我們可以利用直觀動作（即所謂的畫一畫與摸一摸等）幫助學(xué)生較好地把握周長與面積的區(qū)別（這方面的一些實例可參見[1]：第三章，[例19]，第九章，[例17]）。這些做法當(dāng)然有一定的積極意義，但應(yīng)強調(diào)的是，這又正是人們思維發(fā)展的一個重要特點，即人們已建立的觀念，包括各種錯誤的認(rèn)識，并不能通過簡單糾正就會立即得到改變，而往往會潛伏在主體頭腦的某個部位，并在某個時候不知不覺地表現(xiàn)出來。容易想到的是：這事實上也就是將周長與面積混淆的一個具體表現(xiàn)，即有不少學(xué)生會認(rèn)為“如果兩個平面圖形的周長相等，它們的面積也一定相等”。特別是，如果兩者都屬于同一種圖形（如長方形）的話。

至此，相信讀者也就容易理解筆者關(guān)于如何引入“誰的面積大”的以下建議了，即不同于現(xiàn)實情境的設(shè)置，我們可讓學(xué)生自由地提出自己關(guān)于以下問題的猜想：“兩個長方形如果周長相等，它們的面積是否也一定相等？”應(yīng)當(dāng)強調(diào)的是，除了有益于更好地糾正學(xué)生對周長與面積這兩個概念理解上所存在的錯誤以外，后一做法還具有這樣一個優(yōu)點，即能使學(xué)生們切實體驗什么是真實的數(shù)學(xué)研究活動。特別是，這往往包含這樣的過程：問題———猜想———檢驗———修正或改進———再檢驗———理解與說明（作為真正的數(shù)學(xué)研究活動，最終當(dāng)然還應(yīng)對所得出的結(jié)論做出嚴(yán)格證明）。這也就是指，我們在此同樣可以按照上述的路徑開展相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)。

在此還應(yīng)清楚地指明這樣一點（這也是數(shù)學(xué)思維的一個重要特點）：所面臨的問題得到了解決（在此是指否定性結(jié)論的得出，即我們通過實例的計算———例如，假設(shè)長方形的兩條邊長分別是12與2，10與4———就可證明“周長相等時，長方形的面積也一定相等”這一猜想是錯的）并不意味著研究的結(jié)束，而是應(yīng)當(dāng)以此為基礎(chǔ)積極地開展新的研究，包括提出新的問題與猜想。（詳可見[1]：4.3節(jié)）

具體地說，在得出了“周長相等的長方形，面積未必相等”這樣一個結(jié)論以后，我們還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生遵循以下思路積極地開展新的思考：盡管周長與面積之間不存在簡單的相等關(guān)系，恰恰相反，隨著圖形形狀（或者說邊長）的改變，面積也會發(fā)生一定的變化。但是，對于所說的變化，我們是否可以找出某種確定的關(guān)系或規(guī)律？更一般地說，這也就是指，我們應(yīng)努力尋找變化中的不變成分或因素。（這方面的另外一些實例可參見潘小明，“用核心問題引領(lǐng)探究學(xué)習(xí)，培育小學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》，2016年增刊；鄭毓信，《小學(xué)數(shù)學(xué)概念與思維教學(xué)》，江蘇教育出版社，2014，第七章，[例22]）

另外，還應(yīng)強調(diào)的是，盡管單純從知識層面分析，上述的兩種教學(xué)方法似乎沒有什么重要的差異，即無論我們是從實際情境出發(fā)組織教學(xué)，還是按照“問題與猜想”的途徑進行教學(xué)，學(xué)生最終似乎都能很好地建立起這樣一個認(rèn)識：“在周長相等的情況下，長方形兩鄰邊的長度越接近，它的面積就越大?！钡珡拇龠M學(xué)生思維發(fā)展的角度看，后一做法應(yīng)當(dāng)說更為可取，包括有益于學(xué)生徹底地糾正將周長與面積混淆的錯誤認(rèn)識。當(dāng)然，為了實現(xiàn)后一目標(biāo)，教師在得出上述結(jié)論之后就應(yīng)有意識地強調(diào)這樣一個推論：我們決不能將周長與面積簡單地等同起來！

最后，從幫助學(xué)生逐步學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，特別是解決問題這樣一個研究傳統(tǒng)的角度進行分析，就上述內(nèi)容的教學(xué)而言，我們還可提出這樣一個建議：在解決了最初的問題以后，我們還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進一步思考：如果所涉及的圖形并非長方形，而是其他的圖形，如三角形等，所得出的結(jié)論是否仍然成立？再者，如果我們不對圖形的類別做出具體規(guī)定，這時又可得出什么樣的結(jié)論？

另外，建議讀者在教學(xué)中不妨也嘗試著讓學(xué)生說出自己對已得出結(jié)論的理解，包括相關(guān)的道理。因為，這也是我們在教學(xué)中始終不應(yīng)忘記的一個基本事實，即應(yīng)當(dāng)充分肯定小學(xué)生的創(chuàng)造能力，而且，他們在這方面的一些具體表現(xiàn)往往會給我們帶來極大的驚喜（這方面的一個實例可參見[1]：第三章，[例17]）。

（待續(xù)）endprint