基于改進灰色模型GM(1,1)的故障間隔時間預測

,

(福建工程學院 管理學院， 福建 福州 350118)

在長期運行過程中電梯會逐漸老化，直至發(fā)生故障，為確保電梯設備的正常運行，預防性維修顯得尤為重要?，F(xiàn)有的預防性維修主要是基于時間的預防性維修，定期對未失效的系統(tǒng)進行維護維修，以減少系統(tǒng)在使用過程中出現(xiàn)故障的可能性，降低由系統(tǒng)失效造成的損失。

灰色GM(1,1)模型[1-3]是解決不確定系統(tǒng)問題的有力工具之一，在灰色預測模型中，灰色

GM(1,1)模型由于具有模型簡單，預測精確度較高等優(yōu)點，被廣泛應用于各類模型的預測中。但該模型對呈現(xiàn)隨機波動的原始數(shù)據(jù)的預測效果不理想。為提高模型在該類型數(shù)據(jù)的預測效果，很多學者對GM(1，1)模型進行改進，邵延君等[4-5]分別采用基于新陳代謝組合模型和灰色線性回歸組合模型對裝備故障進行預測，馬春茂等[6]采用基于灰色馬爾可夫模型對裝備故障間隔期進行預

測研究。Chen T[7]建立了馬爾科夫灰色三角預測模型TGM(1，1)，并以福建省的集裝箱數(shù)量為例子，驗證了該模型 的有效性和實用性；寧立漚[8]將三角函數(shù)-灰色GM(1,1)模型用于橋梁施工的監(jiān)控；LI和ZHOU[9-10]采用三角函數(shù)-灰色GM(1,1)模型對數(shù)據(jù)序列進行預測，但由于該方法采用固定的周期值，根據(jù)灰色新息理論，數(shù)據(jù)序列的不斷更新，積累到一定程度時周期可能會發(fā)生突變，采用固定的周期值顯然不合理。因此，本文采用粒子群算法實時計算數(shù)據(jù)序列的周期，提出變周期三角函數(shù)-灰色GM(1,1)模型故障間隔預測算法。

1 灰色GM(1,1)模型

灰色GM(1,1)模型相關(guān)定義如下：

定義1[1]

設X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))

為非負序列， 稱X(1)為X(0)的一階累加生成序列，其中,

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))，

稱Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列，其中,Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))，

k=2,3,…,n。

(1)

定義2 微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=w中的z(1)(k)稱為灰色GM(1,1)模型背景值。

(2)

其時間響應序列為

(k=2,3,…,n)

(3)

(k=2,3,…,n)

(4)

其中,-a為灰色GM(1,1)模型的發(fā)展系數(shù);w為模型的灰色作用量。

2 基于三角函數(shù)的灰色GM(1,1)模型

由于灰色GM(1,1)模型構(gòu)建的是指數(shù)遞增或指數(shù)遞減序列，為提高該模型在周期性數(shù)據(jù)的預測精度，可通過三角函數(shù)對原始數(shù)據(jù)與預測數(shù)據(jù)之間的殘差序列建立修正模型，從而補償灰色GM(1,1)模型最初的預測值。

定義3 假設通過灰色GM(1,1)模型得到的擬合值為

R(0)={r(0)(2),r(0)(3),…,r(0)(n)}

定義4[10]通過三角函數(shù)對殘差序列進行建模，函數(shù)如下：

(5)

其中,εk是隨機變量;T為主循環(huán)變化的周期參數(shù)。

3 基于變周期三角函數(shù)與灰色GM(1,1)模型預測算法

本文采用粒子群算法計算數(shù)據(jù)列的實時周期，提出變周期的三角函數(shù)，并與灰色GM(1,1)模型相結(jié)合，對故障間隔時間進行預測。

定義5 利用粒子群算法獲得的周期序列T=(t2,t3,…,tn)，則利用變周期三角函數(shù)對殘差序列進行建模，函數(shù)如下：

(6)

其中,tk為k時刻的周期參數(shù)。

顯然，可通過最小二乘估計方法計算式(6)。

(7)

3.1 粒子群算法描述

假設在一個D維的搜索空間內(nèi)，粒子數(shù)為n。算法通過迭代尋找最優(yōu)解，第i個粒子位置表示為向量Xi=(xi1,xi2,…，xiD);第i個粒子飛行歷史中的過去最優(yōu)位置為Pi=(pi1,pi2,…，piD),整個種群過去最優(yōu)位置Pg為所有Pi(i=1,2,3,…,n)中的最優(yōu)，在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個極值來更新自己，經(jīng)過有限次迭代后最終收斂于全局的最好位置。粒子根據(jù)如下的公式來更新自己的速度和位置：

vid(t+1)=w·vid(t)+c1·r1·(pid(t)-

xid(t))+c2·r2·(pgd(t)-xid(t))

(8)

xid(t+1)=xid(t)+vid(t+1)

(9)

其中，c1和c2為學習因子，取c1=2，c2=2，r1和r2是介于[0,1]之間的隨機數(shù)；w為慣性權(quán)重，可以調(diào)節(jié)算法的全局和局部尋優(yōu)能力。

3.2 算法整體設計

根據(jù)以上所述，基于變周期三角函數(shù)的灰色GM(1,1)模型預測算法建模及求解如圖1所示：

圖1 算法流程圖Fig.1 Flow chart of the algorithm

模型步驟具體描述如下：

1)給定初始周期向量T0，設定算法的迭代次數(shù)N，取定T=T0；

2)利用灰色GM(1,1)模型預測原始數(shù)據(jù)，得到預測值與原始值間的殘差序列；

3)根據(jù)周期向量T0，利用公式(5)對殘差序列建模，得到基于三角函數(shù)與灰色GM(1,1)模型的預測數(shù)列。

5)根據(jù)最終得到的周期T，利用公式(6)，輸出模型的最終預測值。

4 算例分析

(單位：h)，以故障間隔期的頻數(shù)為橫軸，以其發(fā)生的間隔期為縱軸，利用故障間隔期的數(shù)據(jù)依次做差，計算出故障頻數(shù)與間隔時間，見表1。

表1 故障間隔時間與頻數(shù)Tab.1 Interval time and frequency of failures

t1周期可以直接計算得出，見表2，首先給出初始向量T0=(t2,t3,…,tn)=(1，1,…，1)，設置迭代次數(shù)N=100，以公式(6)為適應度函數(shù)，根據(jù)算法步驟最終獲得的周期數(shù)列為Τ=(t2,t3,…,tn)。從表中可知,第9個間隔期周期最大為6，而第7個間隔期的周期最小，僅為2。

表2 故障間隔周期Tab.2 Interval periods of failures

將表2中的周期數(shù)列代入式(6)，可得到故障間隔時間的擬合值，見表3。本文預測模型得到的平均相對誤差為3.24%，將變周期三角函數(shù)與文獻[10]三角函數(shù)的GM(1,1)模型預測結(jié)果進行比較，變周期三角函數(shù)模型的GM(1,1)精度明顯優(yōu)于文獻[10]模型，見表3。

為直觀分析表3中兩種算法的預測結(jié)果，采用圖形的方式進行描述，見圖2。圖2中，三角函數(shù)的GM(1,1)模型預測算法的擬合值與原始值的偏移值較大，擬合效果不如變周期三角函數(shù)GM(1,1)模型預測算法。

表3 基于變周期三角函數(shù)的GM(1,1)模型擬合結(jié)果Tab.3 Fitting results of GM (1, 1) based on the trigonometric function with variable periods

根據(jù)表3，對之后的兩次故障時間間隔進行預測，預測的周期取值設定為前面8個周期的平均值，T預測結(jié)果見表4與圖3，三角函數(shù)GM(1,1)模型在第9個故障間隔時間的預測結(jié)果誤差較大，整體平均相對誤差為24.16%。而本文預測模型對應的平均相對誤差為3.24%，比三角函數(shù)的GM(1,1)模型低20.92個百分比。

變周期三角函數(shù)的GM(1,1)模型第9個與第10個故障時間間隔預測值與原始數(shù)據(jù)的比較結(jié)果見圖3。第9個故障時間間隔預測偏差極小，第10個故障間隔時間的預測值與原始值的偏移量也在理想范圍。整體預測效果理想。

圖2 故障間隔時間擬合值Fig.2 Fitting values of failure interval time

圖3 故障間隔時間預測圖Fig.3 Prediction graph of failure interval time

頻數(shù)原始值預測值三角函數(shù)的GM(1，1)模型本文模型相對誤差/﹪三角函數(shù)的GM(1，1)模型本文模型9480695．67480．9644．930．210600579．63637．793．396．29平均相對誤差24．163．24

5 結(jié)論

為提高灰色GM(1,1)模型在故障間隔數(shù)據(jù)序列的預測精度，本文利用灰色GM(1,1)模型預測原始數(shù)據(jù)列，獲得灰色模型預測值與原始數(shù)據(jù)的殘差序列；根據(jù)數(shù)據(jù)序列的傅里葉變換求解原理，利用三角函數(shù)對殘差序列進行修正，并在修正前利用粒子群算法獲得殘差序列各數(shù)據(jù)點對應的周期序列，提出基于變周期三角函數(shù)的灰色GM(1,1)預測模型。采用故障時間間隔對本文預測算法進行驗證，并與固定周期的三角函數(shù)灰色預測GM(1,1)模型相比較，算例結(jié)果顯示，本文預測模型具有更低的平均相對誤差，預測效果明顯提高。

[1] 鄧聚龍.灰理論基礎(chǔ)[M].武漢：華中科技大學出版社,2002.

[2] 劉思峰,黨耀國,方志耕.灰色系統(tǒng)理論及其應用[M].3版.北京：科學出版社,2004.

[3] 鄧聚龍.灰預測與灰決策[M].武漢：華中科技大學出版社,2002.

[4] 邵延君,潘宏俠,馬春茂,等.基于新陳代謝組合模型的裝備故障預測[J].振動、測試與診斷，2015,35(2):359-362.

[5] 邵延君,潘宏俠,馬春茂,等.基于灰色線性回歸組合模型的故障率預測[J].振動、測試與診斷,2014,34(4):664-667.

[6] 馬春茂,邵延君,潘宏俠,等.基于灰色馬爾可夫模型的裝備故障間隔期預測研究[J].兵工學報,2013,34(9):1193-1196.

[7] CHEN T, ZHAO S J. Improved trigonometric grey prediction and application[J]. Advanced Materials Research, 2014, 912-914: 1276-1278.

[8] 寧立漚.基于改進灰色GM(1,1)模型的橋梁施工監(jiān)控方法[J].建筑建材裝飾,2016(13)：233-237.

[9] LI Junliang, LIAO Runquan. Generalized accumulated GM (1,1) cosine model and its application[J]. Grey Systems Theory & Application, 2011, 2(2): 242 - 245.

[10] ZHOU P, ANG B W, POH K L. A trigonometric grey prediction approach to forecasting electricity demand[J]. Energy, 2006, 31(14): 2839-2847.