基于超單元和遺傳算法的張弦桁架優(yōu)化設(shè)計(jì)

(浙江省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院 浙江 杭州 310035)

一、引言

張弦桁架結(jié)構(gòu)在大跨度空間結(jié)構(gòu)中是一種典型的剛?cè)峤Y(jié)合的雜交體系[1]，在大跨度空間結(jié)構(gòu)中是比較多見的結(jié)構(gòu)形式，該結(jié)構(gòu)形式主要集中在各種大型場館、結(jié)構(gòu)設(shè)施中，如深圳會議展覽中心和上海浦東國際機(jī)場航站樓等[2,3]。張弦桁架結(jié)構(gòu)通過預(yù)應(yīng)力索、撐桿和拱形桁架三者相互連接而成，施加了預(yù)應(yīng)力的索將通過撐桿對拱形桁架產(chǎn)生力的作用，使其反拱，此時的結(jié)構(gòu)形成一個自平衡結(jié)構(gòu)體系。索通過撐桿對上弦構(gòu)件提供了支撐，改善了后者的受力性能，這樣可以降低結(jié)構(gòu)的撓度。同事，索承擔(dān)了上弦結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的水平推力，可以大大降低支座的水平方向的推力以及水平位移，在大跨度空間是十分有效的剛?cè)峤Y(jié)合的雜交體系[4]。

桁架截面尺寸、高度和撐桿數(shù)目、間距、垂跨比、矢跨比等都會對結(jié)構(gòu)的桿件變形、內(nèi)力和用鋼量等產(chǎn)生重要的影響，因此對該種結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)是十分重要和必要的[5,6]。遺傳算法在優(yōu)化設(shè)計(jì)中有著重要的作用，該方法不必去了解和操心如何去找最優(yōu)解，而只要簡單的否定一些表現(xiàn)不好的個體就行了?，F(xiàn)有的對復(fù)雜結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析可以通過有限元法結(jié)合遺傳算法很好的完成，但是單次計(jì)算時間較長，不斷的修改和反復(fù)計(jì)算則需要更多的時間，因此快速、準(zhǔn)確的完成優(yōu)化計(jì)算將是十分重要和必要的。而超單元具有快速、準(zhǔn)確的計(jì)算特點(diǎn)。本文將遺傳算法和超單元法相結(jié)合，對一跨度為118米的張弦桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行快速優(yōu)化分析，不僅得到了很好的優(yōu)化效果，同時節(jié)省了大量的寶貴時間。

二、超單元法

超單元法[7]是將結(jié)構(gòu)劃分為若干個子結(jié)構(gòu)，并將各個子結(jié)構(gòu)的自由度分成內(nèi)部和邊界自由度，再通過模型縮減方法將內(nèi)部自由度轉(zhuǎn)移到邊界自由度上。根據(jù)變形修正的局部剛體化動力模型簡化方法生成相應(yīng)的超單元。

圖1 局部剛體化動力模型簡化方法的超單元

如圖1所示，對一特定的區(qū)域r，該區(qū)域質(zhì)心位于C位置，在該位置處的平動位移向量和轉(zhuǎn)動位移分別表示為{qx,qy,qz}、{qφx,qφy,qφz}。以這六個基本的剛體模態(tài)對區(qū)域進(jìn)行簡化，則該區(qū)域上任一節(jié)點(diǎn)i的剛體運(yùn)動可以表示為：

ui=Riq

(1)

其展開形式為：

(2)

其中，ui為區(qū)域中第i點(diǎn)的位移向量，q為剛體位移向量，Ri為六個剛體模態(tài)的變換矩陣，xci,yci,zci分別為區(qū)域中任一點(diǎn)i到該區(qū)域質(zhì)心的距離。

為了對模型進(jìn)行簡化計(jì)算，這里將整個模型的節(jié)點(diǎn)分為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)、外部節(jié)點(diǎn)。內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的自由度由該區(qū)域的剛體自由度來代替，并進(jìn)行剛體模態(tài)縮聚，因此，在該區(qū)域的剛體質(zhì)心位置處增加內(nèi)部超節(jié)點(diǎn)，表示如下：

(3)

其中，uo為外部節(jié)點(diǎn)的位移向量，uin為內(nèi)部第n個節(jié)點(diǎn)的位移向量，Rn為內(nèi)部第n個節(jié)點(diǎn)的位移變換矩陣，qn代表內(nèi)部第n個節(jié)點(diǎn)的剛體模態(tài)，q代表內(nèi)部自由度縮聚后的節(jié)點(diǎn)位移向量，R表示總體位移變換矩陣。

根據(jù)總體誤差應(yīng)變能最小原理有：

(4)

其中T=K-1((RTR)-1RT)TRTKR

根據(jù)上述(4)式的變換關(guān)系代入到動力學(xué)方程中：

(5)

再在方程的兩邊同時左乘TT，得到簡化后的動力學(xué)方程：

(6)

式中，M,C,K為初始有限元結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；MR=TTMT，CR=TTCT，KR=TTKT為變化后結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，F(xiàn)R=TTF為變化后簡化模型的載荷矩陣。

三、遺傳算法

遺傳算法的實(shí)現(xiàn)過程實(shí)際上就像自然界的進(jìn)化過程那樣。首先尋找一種對問題潛在解進(jìn)行“數(shù)字化”編碼的方案。然后用隨機(jī)數(shù)初始化一個種群，種群里面的個體就是這些數(shù)字化的編碼。接下來，通過適當(dāng)?shù)慕獯a過程之后，用適應(yīng)性函數(shù)對每一個基因個體作一次適應(yīng)度評估。用選擇函數(shù)按照某種規(guī)定擇優(yōu)選擇。讓個體基因交叉變異。然后產(chǎn)生子代。由于早期的遺傳算法個體差異較大，因此為了避免早熟等現(xiàn)象，采用退火遺傳算法，具體的個體適應(yīng)度值為：

(7)

T=T0(0.99g-1)

(8)

式中Fi為第i個個體的適應(yīng)度，M為種群大小，g為當(dāng)前遺傳代數(shù)，T為溫度，T0為初始溫度。

系統(tǒng)遺傳算法所要解決的優(yōu)化問題可以定義為使得目標(biāo)函數(shù)f(x)(x∈Ω)最小，其中f是目標(biāo)函數(shù)，x是在空間內(nèi)的變量集，Ω為所有可行解集合。

四、計(jì)算模型

本計(jì)算模型采用一跨度為118m的張弦桁架結(jié)構(gòu)，矢高10m，索垂度為3m，左端為固定鉸支座、右端為滑動支座，如圖2所示。索的彈性模量1.8×108kN/m2，截面積0.015m2。撐桿彈性模量2.0×108kN/m2，截面積0.0075m2。桁架的桿件彈性模量2.0×108kN/m2，截面采用倒三角圓形無縫鋼管，其中支座與錨桿相連的腹桿(腹桿A)采用φ270×9圓形無縫鋼管，其他位置的腹桿(腹桿B)采用φ160×6圓形無縫鋼管。模型中主要考慮三種荷載作用：(1)索的預(yù)應(yīng)力為1430kN；(2)結(jié)構(gòu)自重；(3)屋面荷載，其中恒載1.2kN/m2，活載0.3kN/m2。

圖2 計(jì)算模型

尺寸設(shè)計(jì)變量主要有支座與錨桿連接處的腹桿、其他位置腹桿、索、桁架桿件四個部分的離散變量組成。為了保證結(jié)構(gòu)的基本形狀，只需要對這四個位置的部件的半徑r進(jìn)行優(yōu)化，因此該優(yōu)化模型中有4個需要優(yōu)化的變量。對于本次優(yōu)化在滿足給定載荷以及位移的條件下，其優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

(9)

其中上式第一項(xiàng)為各個桿件的重量，第二項(xiàng)下標(biāo)“s”為索的參數(shù)。

遺傳算法種群規(guī)模為100，每個變量用8位二進(jìn)制數(shù)來表示，最大遺傳代數(shù)為500，交叉概率為0.75，變異概率為0.04，結(jié)構(gòu)重量收斂如圖所示。桿件的優(yōu)化尺寸結(jié)果如表1所示。有限元網(wǎng)格中節(jié)點(diǎn)254個，自由度數(shù)為792。將模型從左到有劃分為2個超單元，該超單元模型有2個超單元，51個外部超節(jié)點(diǎn)，2個內(nèi)部超節(jié)點(diǎn)，106個自由度，因此采用超單元后自由度有了大幅度縮減。圖3為模型遺傳算法總重量收斂歷程，從曲線可以看出，在滿足荷載和位移等要求下，結(jié)構(gòu)的總重量從101.14頓優(yōu)化為85.21頓，得到了很好的優(yōu)化。具體的優(yōu)化數(shù)據(jù)見表2所示。

圖3 模型遺傳算法重量收斂歷程

類別優(yōu)化前截面積(cm2)優(yōu)化后截面積(cm2)索150.0140.2撐桿75.055.6腹桿A572.5491.2腹桿B201.1185.6

五、結(jié)論

1.遺傳算法能很好地解決張弦桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，直接以工程中根據(jù)構(gòu)件的規(guī)格變量進(jìn)行計(jì)算。

2.簡單的利用遺傳算法時計(jì)算量較大，這主要是由于每個個體的適應(yīng)度都需要進(jìn)行一次有限元模擬，會由于群體規(guī)模大和結(jié)構(gòu)本身復(fù)雜而加大計(jì)算量，從而影響優(yōu)化的計(jì)算速度，但引入超單元計(jì)算方法后，該問題得到了很好的解決。

3.優(yōu)化前桁架結(jié)構(gòu)重量(不含鋼板、螺栓、墊圈、腳釘以及絕緣子串等構(gòu)件的重量)為101.14噸，優(yōu)化后為85.21噸，重量比原來降低了15.75%。

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