基于遞推關(guān)系的海盜分金幣數(shù)學(xué)模型的后續(xù)研究

(重慶交通大學(xué) 重慶 400074)

一、引言

有這樣一個(gè)問(wèn)題：5個(gè)海盜搶得100枚金幣，他們按抽簽的順序依次提方案：首先由1號(hào)提出分配方案，然后5人表決，不少于半數(shù)同意方案才被通過(guò)，否則他將被扔入大海喂鯊魚，依此類推。假定“每個(gè)海盜都是絕頂聰明的、兇殘的、貪婪的”，那么“第一個(gè)海盜提出怎樣的分配方案才能夠活下來(lái)并使自己的收益最大化？”

采用簡(jiǎn)單的博弈論與遞推關(guān)系模型即可得出結(jié)論：1號(hào)海盜能活下來(lái)，他分給3號(hào)1枚金幣，分給5號(hào)海盜1枚，自己獨(dú)得98枚[4]。

然而當(dāng)上述問(wèn)題中的海盜和金幣數(shù)取足夠大時(shí)，問(wèn)題會(huì)變得十分復(fù)雜，常規(guī)方法已不適用。因此，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型求解此問(wèn)題是十分必要的。

本文就海盜和金幣數(shù)量較大，并且海盜數(shù)大于金幣數(shù)的情況下，對(duì)“海盜分金幣”的拓展模型進(jìn)行了求解。拓展問(wèn)題如下：

有n個(gè)海盜，按兇狠程度排名老大、老二……老n，他們搶來(lái)m個(gè)金幣(n>m，且n足夠大)?，F(xiàn)在老大提出一種分配方案，然后大家投票，如果有不少于50%的人支持，就按照他提出的方案分。否則，將老大扔下海(下海即被鯊魚吃掉)，由老二來(lái)分，依此類推。

其中，海盜都是絕頂聰明的(任何一種情況大家都能想到)，是兇殘的(在利益相同的情況下沒有人情味)，是貪婪的(在條件允許下，誰(shuí)給的利益多就支持誰(shuí)，并使自身利益最大化)。問(wèn)：當(dāng)n,m為任意正整數(shù)時(shí),最多有多少海盜能活下來(lái)？

二、模型的建立與求解

(一)問(wèn)題分析

當(dāng)海盜和金幣的數(shù)量不大時(shí)，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)在某些情況下必存在一個(gè)海盜，無(wú)論怎樣分配金幣都不能使自己活下來(lái)?；诤１I是絕對(duì)聰明的，可假設(shè)一種情況：某些海盜可以利用“組團(tuán)”的方法活下來(lái)，即后面的某些海盜通過(guò)與其前面的部分海盜進(jìn)行“聯(lián)合”便能活下來(lái)。故以此假設(shè)為切入點(diǎn)，通過(guò)一定方法計(jì)算進(jìn)行“組團(tuán)”方式活下來(lái)的海盜數(shù)量，進(jìn)而求得可以活下來(lái)的海盜總數(shù)。

有這樣的規(guī)律：第奇數(shù)個(gè)海盜d后面的海盜總數(shù)為偶數(shù)(包括海盜d)，第偶數(shù)個(gè)海盜c后面的海盜總數(shù)為奇數(shù)(同上)。如果有奇數(shù)個(gè)海盜(計(jì)為λ)來(lái)“分贓”(λ：進(jìn)行“分贓”的海盜總數(shù))，則分配金幣的海盜要活下來(lái)，至少需要拿出0.5(λ-1)個(gè)金幣來(lái)賄賂后面的海盜才能使支持率滿足要求，但海盜是貪婪的，故他只會(huì)拿出0.5(λ-1)個(gè)金幣，即每個(gè)海盜只分1個(gè)金幣。

如果有偶數(shù)個(gè)海盜(計(jì)為(λ+1))來(lái)“分贓”，則分配金幣的海盜要能活下來(lái)，至少需拿出0.5(λ+1)-1個(gè)金幣來(lái)賄賂后面的海盜即可使支持率符合要求，可海盜是貪婪的，他也僅會(huì)拿出0.5(λ+1)-1個(gè)金幣，即每個(gè)海盜只分1個(gè)金幣。

因此有結(jié)論1：第奇數(shù)個(gè)海盜和第偶數(shù)個(gè)海盜在能活下來(lái)的前提下，都只會(huì)拿出0.5(λ-1)個(gè)金幣給后面的海盜。

受遞推關(guān)系模型啟發(fā)，本文從倒數(shù)第三個(gè)海盜起進(jìn)行分析。

(二)“組團(tuán)”海盜數(shù)量的分析與計(jì)算

1.海盜數(shù)量為偶數(shù)

假設(shè)海盜人數(shù)n取偶數(shù)，對(duì)第奇數(shù)個(gè)海盜和第偶數(shù)個(gè)海盜進(jìn)行“配對(duì)”(奇數(shù)在前，偶數(shù)在后)，如第n-3、n-2個(gè)海盜組合在一起，第n-5、n-4個(gè)海盜組合，依次類推(本文所述的‘第幾個(gè)海盜’均為按正序排列，例如：n-3

一共有m個(gè)金幣，并且金幣數(shù)少于海盜數(shù)，假設(shè)第ω個(gè)海盜成為第一個(gè)需采取與前面的海盜“組團(tuán)”的方式才能活下來(lái)的人?？梢钥闯鲋苯诱页鲞@個(gè)人不容易，為此采用間接方式：

記第ω海盜的后面一個(gè)海盜為第η個(gè)海盜(η=ω+1)，η必定也是無(wú)法獲得金幣的。假設(shè)海盜η能分到金幣，那么意味著第ω海盜依然可以通過(guò)分配金幣的形式活下來(lái)，而無(wú)需合作，這與假設(shè)矛盾，故第η個(gè)海盜不能拿到金幣。

按照上文所述的“配對(duì)”的方法和結(jié)論1，可得結(jié)論2：海盜η必定是第奇數(shù)個(gè)海盜。

故此時(shí)由偶數(shù)個(gè)海盜來(lái)分贓，則有：

0.5[(n-η)+1]-1=m

得：η=n-(2m+1)

ω=n-(2m+2)

因此從第n-(2m+2)個(gè)海盜開始實(shí)行“組團(tuán)”策略。

2.海盜數(shù)量為奇數(shù)

假設(shè)海盜人數(shù)n取奇數(shù)(n足夠大)，則第奇數(shù)個(gè)海盜a后面的海盜總數(shù)為奇數(shù)(包括海盜a)，第偶數(shù)個(gè)海盜b后面的海盜總數(shù)為偶數(shù)(包括海盜b)。

從后往前，依舊從倒數(shù)第三個(gè)海盜開始分析，對(duì)第偶數(shù)個(gè)海盜和第奇數(shù)個(gè)海盜開始“配對(duì)”(奇數(shù)在前，偶數(shù)在后)，如第個(gè)n-3、n-2海盜組合在一起，第n-5、n-4個(gè)海盜組合……

易知，人數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)的“分贓”情況是相同的。經(jīng)計(jì)算，仍然是從第η=n-(2m+2)個(gè)海盜開始“組團(tuán)”。

綜上，在海盜數(shù)、金幣數(shù)為任意正整數(shù)n、m時(shí)(n>m)，第一個(gè)需要發(fā)起“組團(tuán)”才能活下來(lái)的是第n-(2m+2)個(gè)海盜?？梢钥闯霎?dāng)n≤2m+1時(shí)，不存在“組團(tuán)”的必要，此時(shí)全部海盜都能活下來(lái)。下文僅討論n≥2m+2的情況。

(三)模型求解

確定第一個(gè)發(fā)起采取“組團(tuán)”策略的海盜后，再來(lái)確定其需要聯(lián)合多少海盜。下文所用未知數(shù)含義如下。

xi+1(i=1，2，3……)：從后往前，第i次組團(tuán)成功后能活下來(lái)的海盜總數(shù)；

n-xi：第i次組團(tuán)時(shí)，這個(gè)團(tuán)體中等級(jí)最高的海盜；

ki(i=1,2,3……n)：提出“組團(tuán)”的海盜所需聯(lián)合的其他海盜的數(shù)量；

ki+1：第i個(gè)團(tuán)體的總?cè)藬?shù)；

假設(shè)第n-(2m+2)個(gè)海盜聯(lián)合了從第n-x1個(gè)海盜起的k1+1個(gè)海盜，則有(n-(2m+2))-(n-x1)=k1,化簡(jiǎn)得:

x1=k1+2+2m

(1)

為使支持率更容易滿足要求，所以m個(gè)金幣均分給后面合適的海盜[4]。由支持率不小于一半的條件得：因海盜是兇殘而無(wú)人情味的，得：

2(m+k+1)≥x1+1

(2)

聯(lián)解(1)、(2)得：ki=1

再看第n-(x1+1)個(gè)海盜，假設(shè)其聯(lián)合了從第n-x2個(gè)海盜開始的k2+1個(gè)海盜。所以(n-(x1+1))-(n-x2)=k2

化簡(jiǎn)得

x2=k2+x1+1

(3)

再結(jié)合(1)、(3)得：k2=x1-2m=3

(4)

余下的海盜按照上面同樣的方法進(jìn)行“組團(tuán)”，直至在固定的海盜人數(shù)的限制條件下，找不到足夠的需要聯(lián)合的人數(shù)ki。

利用ki與xi的關(guān)系得：

ki=k1+k2+…+ki-1+2+i-2

(5)

xi=k1+k2+……+ki+2+2m+i-1

(6)

采用求解數(shù)列遞推公式的方法計(jì)算(5)、(6),得：

ki=2i-1

(7)

xi=2i+1+2m-1

(8)

停止“組團(tuán)”的條件為：第n-(xi+1)個(gè)海盜前面的人數(shù)不足ki+1，這時(shí)從第n-xi個(gè)海盜之后的所有海盜都能活下來(lái)。由(7)、(8)得：

n-(xi+2)

解得：

i=log2(n-2m)-2，且i∈Z+

所以

i=[log2(n-2m)]-1，“[]”代表取整

活下來(lái)的海盜數(shù)h最多為：

h=xi+1=2i+1+2m，i=[log2(n-2m)]-1

三、結(jié)論

設(shè)海盜數(shù)與金幣數(shù)分別為n，m；支持率要求大于或等于50%時(shí)，活下來(lái)的海盜最多為：

[1]白島.寫給中國(guó)人的經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京：中國(guó)華僑出版社，2011.

[2]謝識(shí)予.經(jīng)濟(jì)博弈論[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2002.

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