力學(xué)中求解約束力的方法解析

秦 靜 趙恒博

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院，山東 青島 266106)

力學(xué)是七大基礎(chǔ)學(xué)科之一，力學(xué)的應(yīng)用無(wú)處不在，在我們的日常生活中和國(guó)防領(lǐng)域以及航天航空領(lǐng)域有著不可替代的作用[1-3]。對(duì)于土建類專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，力學(xué)是非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，主要開設(shè)三大力學(xué)：理論力學(xué)、材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)。力學(xué)是土建類專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課程的基礎(chǔ)，也是將來(lái)解決工程實(shí)際問(wèn)題的理論基礎(chǔ)[4]。而在三大力學(xué)中求解約束力是一個(gè)非常重要的基本內(nèi)容，可以說(shuō)是學(xué)生學(xué)習(xí)力學(xué)的基本功，在三大力學(xué)中都有講解求約束力的方法，各有特點(diǎn)和用途，在文中我們分別舉例說(shuō)明求約束力的方法，并比較它們的特點(diǎn)和不同。

1.方法介紹與數(shù)值算例

1.1 利用靜力平衡方程求約束力

靜力平衡方程求約束力是三大力學(xué)中最基本、最常用的一種方法，當(dāng)物體系統(tǒng)受平衡力系時(shí)，就可以通過(guò)列靜力平衡方程對(duì)未知的約束力進(jìn)行求解。靜力平衡方程有三種，一種是投影方程，是研究對(duì)象中所受的所有力及力偶在某個(gè)方向坐標(biāo)軸的投影代數(shù)和等于零；一種是力矩方程，是研究對(duì)象上所受的力及力偶對(duì)平面內(nèi)某點(diǎn)取矩的代數(shù)和等于零；第三種是力偶矩平衡方程。在平衡的力偶系中，所有力偶的力偶矩代數(shù)和等于零[5]。此方法通俗易懂、容易掌握、求解迅速、不易出錯(cuò)。下面我們舉例說(shuō)明。

例：求如圖1靜定多跨梁中支座D的約束力。

圖1

解：①畫層次圖如圖2。AB桿和DE桿為基本部分，BC桿為附屬部分。

圖2 層次圖

②取BC桿受力如圖3，通過(guò)列力偶矩平衡方程求出FC。

圖3 BC桿的受力圖

③列虛功方程，結(jié)構(gòu)上作用的所有的力在其位移上所做的虛功之和為零。取CE桿受力如圖4，列對(duì)E取矩的力矩方程求出 FD。

圖4 DE桿的受力圖

解得：FD=40kN(↑)

1.2 利用虛功原理求約束力

剛體系統(tǒng)的虛功原理是指：剛體體系在任意平衡力系作用下，體系上所有主動(dòng)力在任一與約束條件相符合的無(wú)限小剛體位移上所做的虛功總和恒等于零，其特點(diǎn)是用幾何方法求解靜力學(xué)問(wèn)題?，F(xiàn)舉例如下。

如圖5靜定多跨梁，試用虛功原理求支座D處的約束力。

圖5

解：①將力偶還原為兩個(gè)集中力，如圖6，A和E處的兩個(gè)大小為1KN集中力。

圖6

②解除支座B代以約束力FB，并沿約束力正向產(chǎn)生單位線位移，如圖7為結(jié)構(gòu)的位移圖。

圖7 解除后FB的位移圖

1.3 利用影響線求約束力

影響線是指在單位移動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)的約束力或內(nèi)力等物理量隨荷載位置變化的規(guī)律曲線[7]。影響線在力學(xué)中一個(gè)很重要的應(yīng)用就是求約束力。其求解約束力的規(guī)律如下。

（2）均布荷載作用時(shí)：FA=q·A(q 為均布荷載的荷載集度；A為均布荷載所對(duì)應(yīng)的FA影響線中的面積，其面積在基線上側(cè)為正，下側(cè)為負(fù)。)

（3）集中力偶作用時(shí)：先將力偶還原為兩個(gè)等值反向的集中力，然后按照集中荷載求解約束力的方法進(jìn)行求解，注意集中力方向向下為正，向上為負(fù)。

例：利用影響線求出圖8所示梁中B處的約束力。

圖8

①首先還原力偶為兩個(gè)集中力表示，如圖9所示兩個(gè)大小為6kN的集中力。

圖9

②畫出FB的影響線，如圖10所示。

圖10 FB的影響線

③利用影響線中荷載對(duì)應(yīng)數(shù)值列出表達(dá)式為：

1.4 利用力法求超靜定結(jié)構(gòu)的約束力

力法是以多余未知力作為基本未知量，解除多余約束代以約束力得基本體系，并根據(jù)基本體系與原體系變形協(xié)調(diào)的位移條件求解基本未知量的方法[8]?，F(xiàn)舉例如下。

例：求圖11示超靜定梁C處的約束力。

圖11

解：①解除C處的支座，代以約束力FC，得基本體系，如圖12。

圖12

②寫力法的基本方程：δ11FC+△1p=0

③作 Mp圖和圖求 δ11和△1p

Mp圖為實(shí)際荷載作用下基本體系的彎矩圖，如圖13；圖為當(dāng)FC=1時(shí)單位荷載作用下基本體系的彎矩圖，如圖 14。δ11通過(guò)圖的自乘來(lái)求解，△1p通過(guò) Mp圖和圖相乘得到。

圖13

圖14

④將δ11和△1p帶入力法的基本方程求出FC。

力法是求解超靜定結(jié)構(gòu)約束力的基本方法。它解除了多余約束把超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成靜定結(jié)構(gòu)，利用位移條件建立方程求出約束力。

2.結(jié)論

求解約束力是三大力學(xué)中一個(gè)基本而重要的知識(shí)點(diǎn)，文中通過(guò)靜力平衡方程、虛功原理以及影響線求解了靜定結(jié)構(gòu)的約束力。靜力平衡方程法是基本方法，通俗易掌握，學(xué)生需正確列出平衡方程進(jìn)行求解；虛功原理法從功的角度列虛功方程進(jìn)行求解，難點(diǎn)是找出各量的幾何關(guān)系；利用影響線求約束力，形象直觀，難點(diǎn)是需首先正確畫出結(jié)構(gòu)的影響線。力法是一種求解超靜定結(jié)構(gòu)約束力的方法，它將超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解，是一種行之有效的好方法。

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