一類n階常微分方程邊值問題正解的存在性

劉 穎,陳逸藻,李 琳(.沈陽航空航天大學 理學院，沈陽 036;.遼寧大學 數學院，沈陽 0036)

1999年馬如云[1]研究了三點邊值問題

正解的存在性，此后上述結果被推廣到了更廣泛的邊界條件及更一般的微分方程情形。目前所能見到的推廣結果多數是三、四階微分方程[2-14]。這里通過降階法和格林函數法將微分方程邊值問題轉化為微分積分方程邊值問題。通過適當選取積分下限克服了不等式證明過程中的困難，利用范數形式的錐拉伸和錐壓縮不動點定理，將上述邊值問題推廣到了更一般的n階微分方程情形，得到了解的存在性結果。

1 主要結論

記

定義:當f0=0且f=時，稱f為超線性函數；當f0=且f=0時，稱f為次線性函數。

比如，f(v)=vβ，β為常數且β>1時在[0,+)上為超線性函數；f(v)=vβ，β為常數且0<β<1時在[0,+)上為次線性函數。

下面始終假設α,η為常數，且0<η<1,0<αη<1。

定理

(A)f(v)∈c([0,+),[0,+))

(B)a(t)∈c([0,1],[0,+))，且存在使得a(x0)>0

(C)f0=0且f=

(D)f0=且f=0

假設條件(A),(B)成立，則當f(v)滿足(C)或(D)時，下面邊值問題(1)至少有一個正解。

(1)

2 問題轉換

設v(n-2)(t)=u(t)，利用常數變易法及v(0)=v′(0)=…=v(n-3)(0)=0，可將v(t)表

u(τ)dτ[15]，則原邊值問題化為二階微分積分方程邊值問題,如式(2)所示。

(2)

再通過格林函數法可將上述邊值問題轉化為積分方程問題,如式(3)所示。

(3)

3 重要引理

(4)

引理1[1]若u(t)是(4)的解，則對任意的t∈[0,1]，都有u(t)≥0

設u(t)∈c[0,1]，且u(t)≥0，定義算子A為

(5)

引理3 記

K={u(t)|u(t)∈c[0,1],u(t)≥0,

易證K是一個錐[2]，另外由算子的定義不難驗證

再由引理1和引理2知AK?K,下面證明A是全連續(xù)算子。

所以{Ayn}一致有界。

顯然{Ayn}等度連續(xù)，由Ascoli-Arzela定理知{Ayn}存在收斂子列，即A是緊算子。

設yn,y0∈K且yn→y0(n→)，則

即A是連續(xù)算子，綜上A是全連續(xù)算子。

4 定理證明

定理1 設條件(A),(B),(C)成立，則邊值問題(1)至少有一個正解。

(6)

因此取Ω1={u(t)|u(t)∈c[0,1],‖u(t)‖

即

當u(t)∈K∩?Ω1，有‖Au‖≤‖u‖

(7)

又由條件(A),(C)，f=+，即，所以對任意ρ>0，存在使當時,有即f(v)>ρv。在這里取ρ滿足

(8)

設

(9)

所以

(10)

(11)

即

當u(t)∈K∩?Ω2時，‖Au‖≥‖u‖

(12)

定理2 設條件(A),(B),(D)成立，則邊值問題(1)至少有一個正解。

證明：由條件(A),(D)，f0=+，即，由無窮大定義，對任意ω>0，存在H3>0,使0ωv。在這里取ω滿足

取Ω3={u(t)|u(t)∈c[0,1],‖u(t)‖

即當u(t)∈K∩?Ω3，有‖Au‖≥‖u‖

由條件(D)，f=0，即由極限定義對任意λ>0，存在使時,有<λ，即f(v)<λv。在這里取λ滿足

(13)

以下分兩種情況討論：

情形1：f(v)有界，即存在N>0使得對所有v∈[0,+)，有f(v)≤N，選取

并取

Ω4={u(t)|u(t)∈c[0,1],‖u(t)‖

則當u(t)∈K∩?Ω4時，有u(t)≥0，且‖u(t)‖=H4

即

當u(t)∈K∩?Ω4時，‖Au‖≤‖u‖

則由(13)式

即

當u(t)∈K∩?Ω4時，‖Au‖≤‖u‖

綜上，定理得證。

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