基于逆向成型技術(shù)的曲面重建方法及數(shù)學(xué)模型

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(天津渤海職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 300402)

一、模型重建的基本方法

在完成點(diǎn)云數(shù)據(jù)的預(yù)處理之后，下一步的工作就是對點(diǎn)云數(shù)據(jù)的處理生成三維模型的過程，在逆向工程技術(shù)中，模型重建的基本方法分為兩類：一是用點(diǎn)、線、面的方式，由點(diǎn)云數(shù)據(jù)構(gòu)建基本曲線，根據(jù)曲線通過一定方式形成曲面；二是用點(diǎn)云數(shù)據(jù)注解擬合曲面方法，通過曲面片之間的裁剪、過渡、拼接等方式完成曲面的三維模型重建[1]。

模型曲面重建過程是整個(gè)逆向工程的另一核心，為后續(xù)產(chǎn)品的加工、制造、分析等一系列工作奠定了基礎(chǔ)，是逆向工程技術(shù)中最關(guān)鍵的一步。

(一)曲線的模型重建

在逆向工程中，基于點(diǎn)云數(shù)據(jù)通過一定方式得到點(diǎn)云的特征掃描線，再根據(jù)特征線運(yùn)用插值或擬合的方法構(gòu)造曲線，對曲線進(jìn)行拉伸、旋轉(zhuǎn)、放樣等方式構(gòu)造曲面模型，最后通過對曲面片之間的延伸、剪裁完成整個(gè)曲面模型的建立。曲線構(gòu)面的優(yōu)點(diǎn)是原理簡單，曲面質(zhì)量的關(guān)鍵在于曲線的擬合精度，但也存在一系列問題，一般用于曲面相對簡單的曲面。

1. 提取特征掃描線。任何產(chǎn)品都存在表面形狀的曲面特征，而特征線代表了產(chǎn)品曲面的外形特點(diǎn)，一般產(chǎn)品的特征線包括產(chǎn)品的邊界線、軸線、旋轉(zhuǎn)面的母線等。特征線重建的質(zhì)量決定著重建模型曲面的質(zhì)量,特征線一般通過截取特征曲面處點(diǎn)云方式獲得，通過橫縱兩個(gè)方向的點(diǎn)云截取，獲得密集的掃描線，從中比較選擇較好的曲線作為特征曲線。

2. 生成構(gòu)造曲線。直接生成的掃描線并不能用來構(gòu)建曲面，并且曲線的精度并不一定符合要求，經(jīng)常需要編輯調(diào)整。需要以構(gòu)造曲線的方式來重建曲面，而構(gòu)造曲線的生成方式通常有兩種：一是將掃描線轉(zhuǎn)化為構(gòu)造曲線，這種方式完全以點(diǎn)云數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，曲線精度較好。二是通過草圖的方式直接草圖創(chuàng)建逼近生成的掃描線。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是曲線靈活性較高，曲線精度能夠較好調(diào)整，曲面形狀易于編輯，因此這種方法為大部分技術(shù)人員所選擇。

3.重建造型曲面。完成曲線的構(gòu)建后，就相當(dāng)于完成的曲面的骨架，以此為基礎(chǔ)重建曲面。對于曲面特征不同的曲面，我們采用不同的曲面重建方式不同。類似曲面較簡單的直紋面，我們可以采用拉伸特征曲線的方式來重建曲面，若曲面的旋轉(zhuǎn)性較好，通過曲面母線和軸線以旋轉(zhuǎn)方式來構(gòu)建曲面，還有放樣、掃掠、混合等方式針對不同特征的曲面來選擇。

(二)曲面的直接擬合

對于曲面擬合，它是以對點(diǎn)云數(shù)據(jù)直接擬合的方式擬合。在曲面表面形狀較復(fù)雜，曲面精度要求不高的情況下適用。

基于點(diǎn)云數(shù)據(jù)直接擬合曲面方法具體分為兩種：

1. 插值法。插值法的定義是通過每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，直接插值完成曲面，此方法由于以原始點(diǎn)云數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，曲面精度直接決定于數(shù)據(jù)采集的精度，完成曲面可調(diào)整性較差，光順性效果難以保證。

2. 逼近法。此方法是創(chuàng)建一個(gè)逼近點(diǎn)云數(shù)據(jù)的曲面。軟件的具體操作是，由點(diǎn)云構(gòu)建自由曲面，通過設(shè)定曲面u、v方向的階數(shù)來控制曲面的階數(shù)，設(shè)定u、v方向的跨度確定控制網(wǎng)格的分布，設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)偏差范圍擬合曲面。曲面創(chuàng)建完成后，檢測曲面的精度和光順性，并通過編輯曲面的控制網(wǎng)格來調(diào)整曲面品質(zhì)，提高曲面精度和光順性。

曲面直接擬合的方法適用于玩具、石膏像、文物等曲面特征叫復(fù)雜，特征難以采集的模型。

(三)曲線曲面造型方法比較

曲線的曲面造型方式與曲面直接擬合的方式在技術(shù)路線上有所不同，如下圖1圖2所示。

圖1 基于曲線模型重建圖2 基于曲面模型重建

在具體的實(shí)踐應(yīng)用中，應(yīng)該根據(jù)曲面模型幾何特性及曲面的復(fù)雜性，選取不同的曲面造型方式。比如若某些曲面的邊界精度要求較高，內(nèi)部質(zhì)量要求不太高時(shí)，可以采用第一種方法提取曲面的邊界特征，對內(nèi)部點(diǎn)云進(jìn)行擬合，達(dá)到很好的效果。所以這兩種方法并不是分割的，可以融合起來使用。

二、曲面的數(shù)學(xué)模型

曲面造型技術(shù)是逆向工程技術(shù)中最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，重建曲面的質(zhì)量決定了模型逆向的成功與否。從數(shù)據(jù)信息的采集開始，采集完成后，由點(diǎn)云數(shù)據(jù)擬合曲面，通過插值或者逼近的方式重建曲面。樣條函數(shù)經(jīng)過50多年的發(fā)展，經(jīng)過了許多發(fā)展過程，從參數(shù)樣條到Coons曲面造型，從Bezier曲線曲面到B樣條甚至非均勻有理B樣條(即NURBS曲面)，理論體系的發(fā)展得到了極大的豐富。參數(shù)曲面重構(gòu)分為兩大類：一是以Bezier曲面為基礎(chǔ)的三角曲面構(gòu)造方法；二是以B樣條或NURBS曲線曲面為基礎(chǔ)的四邊域曲面造型。三者之間的關(guān)系如下圖3 。

圖3 三種描述方法之間的關(guān)系

(一) Bezier 曲線曲面建模理論

1. Bezier 曲線的表示方法和性質(zhì)。不同形狀的Bezier曲線都是由多段直線來定義的，這一系列的直線形成的多邊形我們可稱之為特征多邊形。多邊形的起始點(diǎn)與曲線起始點(diǎn)重合，多邊形的起始邊和終點(diǎn)邊與曲線的始終點(diǎn)切線方向重合。方程式表示：

u∈[0,1] (1)

式中，fi(u)——曲線內(nèi)插函數(shù)；

ri——曲線控制頂點(diǎn)。

或者用 Bernstein 多項(xiàng)式表示，設(shè)bi為空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量，曲線的插值公式為：

u∈[0,1] (2)

式中：Bi,k(t)——曲線基函數(shù)；

bi——控制頂點(diǎn)。

i=0,1,…,n(3)

若曲線的控制點(diǎn)位置發(fā)生變化，整個(gè)Bezier曲線的形狀隨之發(fā)生改變(如圖4所示)。則Bezier曲線P(t)移動至Q(t)，如下式：

(4)

(5)

=P(t)+Bm,k(t)n

(6)

圖4 Bezier曲線控制點(diǎn)改變影響

特征多邊形頂點(diǎn)的位置變化改變了整個(gè)Bezier曲線。

Bezier 曲線所具有特點(diǎn)：

(1)端點(diǎn)性質(zhì)，特征多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)與Bezier曲線重合，并且在端點(diǎn)處，特征多邊形與Bezier曲線保持相切。

(2)對稱性，若Bezier曲線多邊形頂點(diǎn)的位置保持不變，顛倒頂點(diǎn)的位置次序，得到新的特征多邊形，若以新的特征多邊形來構(gòu)造Bezier曲線，則新曲線與原來曲線重合，方向相反。

(3)幾何不變性，坐標(biāo)系的選擇與改變不影響曲線的形狀，而只與特征多邊形的頂點(diǎn)位置相關(guān)。

(4)其他性質(zhì)，Bezier曲線整體性較好，所以用它來做曲線的產(chǎn)品光順性較好，這也導(dǎo)致了Bezier曲線調(diào)整的困難，精度難以控制，所以Bezier曲線的選擇在于對其優(yōu)缺點(diǎn)的把握。

2. Bezier 曲面的定義和性質(zhì)。Bezier曲面利用Bernstein 基函數(shù)和控制頂點(diǎn)來完成的，是Bezier曲線的拓廣。設(shè)p0(i=0,1,…,m)為(n+1)×(m+1)個(gè)空間點(diǎn)列，則m×n次參數(shù)曲面片定義如下：

u,v∈[0,1] (7)

曲面S(u,v)稱為m×n次的Bezier曲面。相鄰兩空間點(diǎn)間用線段逐次相連所構(gòu)成的空間網(wǎng)格叫特征網(wǎng)格。

Bezier方法，在CAD/CMD領(lǐng)域尤其是汽車行業(yè)發(fā)揮了重要的作用。但 Bezier曲線曲面方法有其自身的缺點(diǎn)。

(1)Bezier方法局部性能較差，多邊形網(wǎng)格上的每個(gè)頂點(diǎn)的位置改變，都會改變曲線、曲面的整體形狀，因而不能做局部修改。

(2)當(dāng)遇到曲線、曲面的形狀較復(fù)雜的情況下，我們需要用增加特征多邊形頂點(diǎn)數(shù)的方法，此時(shí)增高了曲線、曲面的冪次，計(jì)算量變大。

(3)若曲面的冪次較高，Bezier曲線或曲面的形狀與其控制網(wǎng)格就會有較大差異，直觀性較差。

(二) B樣條曲線曲面建模理論

1. B樣條曲線的表示方法和性質(zhì)

與Bezier曲線方法一樣，B樣條曲線方法也是采用控制多邊形頂點(diǎn)定義曲線的，與Bezier曲線相區(qū)別的是，B樣條曲線方法具有了描述復(fù)雜曲線的能力，并且很好的解決了局部調(diào)整的問題，用B樣條基函數(shù)代替Bernstein多項(xiàng)式形成可調(diào)性較好的B樣條曲線。設(shè)n+1個(gè)控制點(diǎn)Pi(i=0,1,…,n)，B樣條曲線方程如下：

(8)

式中：di—— 控制頂點(diǎn)，控制多邊形就是有控制頂點(diǎn)順序連接而形成的。

Fi,k(t)—— B樣條基函數(shù)，或者稱為規(guī)范B樣條。

作為B樣條標(biāo)準(zhǔn)算法的de Boor-Cox遞推公式，它的B樣條遞歸定義如下：

(9)

式中：Pi,k(u)表示的是第i個(gè)k次B樣條函數(shù)，i表示的是排號，k表示曲線的階數(shù)。此時(shí)的K階B樣條曲線的控制多邊形變數(shù)為n-k+1。如圖5所示為一B樣條曲線。

圖5 B樣條曲線圖6 控制點(diǎn)移動對曲線局部影響

B樣條基函數(shù)和Bezier基函數(shù)對各自曲線的作用基本相同，都受多種條件影響。而B樣條曲線的局部可調(diào)整性來源于樣條曲線中節(jié)點(diǎn)向量的增加，當(dāng)其中一個(gè)控制點(diǎn)位置發(fā)生變化時(shí)，控制點(diǎn)局部曲線的形狀也會隨之改變，如圖6所示，控制點(diǎn)E移動到E1和點(diǎn)E2時(shí)，曲線的形狀發(fā)生相應(yīng)變化。若選擇多個(gè)控制點(diǎn)的位置不變，改變曲線的階次，曲線的形狀也將改變。

B樣條曲線性質(zhì)如下：

(1)局部性 B樣條曲線區(qū)別于Bezier曲線的最大特點(diǎn)就是局部性。因?yàn)楣?jié)點(diǎn)向量的增加，曲線的局部修改曾為了可能。

(2)規(guī)范性 。

(3)磨光性 控制頂點(diǎn)位置和數(shù)量相同時(shí)，若曲線的階次增加，曲線越來越趨于光滑。

(4)局部支承性質(zhì)。

(10)

同時(shí)它具有非負(fù)性特點(diǎn)。

(5)可微性或參數(shù)連續(xù)性。對于次B樣條曲線，在非零節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)都是無限可微的，又叫無窮階參數(shù)連續(xù)性；定義域內(nèi)重復(fù)度為r的節(jié)點(diǎn)處k-r是次可微。

(6)幾何不變性。

(7)凸包性。

2. B樣條曲面的定義和性質(zhì)。以B樣條為基礎(chǔ)構(gòu)建的曲面就是B樣條曲面，所以B樣條曲線的所有特點(diǎn)B樣條曲面都同樣擁有，設(shè)(m+1)×(n+1)個(gè)控制頂點(diǎn)，創(chuàng)建參數(shù)曲面，曲面表達(dá)式如下：

(11)

式中：Ni,k(u)——k次B樣條基；

Nj,i(v)——l次B樣條基。

基于B樣條曲線的B樣條曲面同樣具有局部修改的功能，通過對控制頂點(diǎn)的位置移動，曲面局部形狀也隨之改變，B樣條方法的產(chǎn)生極大的提高了外觀產(chǎn)品的設(shè)計(jì)與修改能力。在曲面光順性方面，B樣條曲面具有曲面間連接達(dá)到G2連續(xù)的特點(diǎn)，很好的保證了曲面的光順性。

(三)非均勻有理B樣條(NURBS)曲線曲面建模理論

隨著產(chǎn)品質(zhì)量的不斷提高，在遇到圓錐曲線或者解析曲面的時(shí)候，B樣條方法并不能很好的表達(dá)，曲線曲面的數(shù)學(xué)表示不統(tǒng)一，產(chǎn)品的幾何形狀存在多樣性，表達(dá)不精確。

NURBS曲線曲面方法區(qū)別于B樣條方法的地方在于NURBS方法加入了每個(gè)控制點(diǎn)的權(quán)因子，控制點(diǎn)間得以以不同權(quán)重的方式詮釋曲線曲面，通過對控制頂點(diǎn)的位置和權(quán)因子進(jìn)行調(diào)整這種途徑，來設(shè)計(jì)各種曲線曲面。

NURBS方法能對復(fù)雜曲面進(jìn)行相對比較靈活的表達(dá)，在CAD/CAM系統(tǒng)中得到了廣泛的使用?；贜URBS方法在表達(dá)二次規(guī)則曲線曲面的突出能力，權(quán)因子的控制特點(diǎn)，在1991年時(shí)被國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)定為了STEP國際標(biāo)準(zhǔn)，用于不同曲線曲面數(shù)據(jù)的交換銜接，成為產(chǎn)品外形表達(dá)的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)。

1. NURBS 曲線的表示方法和性質(zhì)。定義：次NURBS曲線定義為：

(12)

(13)

式中：

Pi——控制頂點(diǎn)(控制多邊形頂點(diǎn)矢量)，i=0,1,…,n；

Ni,p(u)——p次B樣條基；

ωi——控制頂點(diǎn)Pi的權(quán)因子，第一個(gè)權(quán)因子ω0和最后一個(gè)權(quán)因子ωi必須大于零，中間剩余權(quán)因子ωi大于等于零，以防止分母為零使曲線失去控制，若權(quán)因子為負(fù)，則曲線失去凸包性。若ωi=1，則成為一般B樣條曲線。

在NURBS曲線中，權(quán)因子ωi起到的作用是影響了[ui，ui+p+1]區(qū)間內(nèi)對應(yīng)的曲線形狀。若ωi=0，Ri,p(u)=0，p(u)是圖中直線最下端的點(diǎn)A，控制頂點(diǎn)的改變對曲線的形狀沒有影響，若ωi=1，p(u)是圖中直線上的B點(diǎn)；當(dāng)ωi不在區(qū)間{0,1}之間時(shí)，p(u)在圖中直線上的點(diǎn)Bi位置。

圖7 階數(shù)/控制點(diǎn)數(shù)對曲面影響

如圖7是階數(shù)/控制點(diǎn)對曲線的影響。

非均勻有理 B樣條具有以下特點(diǎn)：

(1)由于NURBS曲線是B樣條曲線的繼承和發(fā)展，所以它包含B樣條曲線的所有優(yōu)點(diǎn)。

(2)NURBS曲線的局部修改方式更多，NURBS曲線不僅可以通過調(diào)整控制頂點(diǎn)改變曲線形狀，又增加了改變權(quán)因子的方式來改變的曲線形狀。

(3)NURBS曲線在線性變換條件下，其幾何形狀是不變的，曲線再變換是等價(jià)的，可進(jìn)行一系列操作。

(4)對二次初等曲面的表達(dá)性能較好。

2. NURBS 曲面的定義和性質(zhì)。NURBS曲面是NURBS曲線的拓廣。對于給定的一條k×l次 NURBS曲面可表示為：

(14)

(15)

式中：Pi,j——特征網(wǎng)格控制點(diǎn)；

ωi,j——控制點(diǎn)權(quán)因子；

Ni,p(u)——u向p次樣B條基函數(shù)；

Nj,q(u)——向次樣條基函數(shù)；

Ri,p,j,q(u,v)——雙變量有理基函數(shù)。

NURBS曲面和NURBS曲線幾何性質(zhì)具有一定的相似行，現(xiàn)給出

NURBS曲線相關(guān)性質(zhì)：

1) 局部性。

2) 強(qiáng)凸包性。

3) 連續(xù)性。

4) 在進(jìn)行仿射和透視變換過程中具有不變性：曲面在旋轉(zhuǎn)、平移、比例、剪切等線性變換時(shí)可以保持原有形狀，且坐標(biāo)系的選擇對曲面形狀不產(chǎn)生影響。

5) 若某曲面上某一點(diǎn)控制頂點(diǎn)Pi,j的權(quán)因子ωi,j等于零，則該控制頂點(diǎn)對曲線沒有調(diào)節(jié)作用。

NURBS 曲線曲面擁有獨(dú)特性質(zhì)，目前在CAD/CAM領(lǐng)域已經(jīng)取得廣泛應(yīng)用，目前多數(shù)CAD軟件都是在NURBS為基礎(chǔ)進(jìn)行構(gòu)建起來的。

三、小結(jié)

本文重點(diǎn)介紹了曲面重建過程中的兩種曲面重構(gòu)方法：點(diǎn)線面的傳統(tǒng)曲面創(chuàng)建方法和由點(diǎn)云直接擬合曲面的方法，闡述了兩種方法的原理并且對比了兩種方法的在曲面重建當(dāng)中的優(yōu)缺點(diǎn)，為后續(xù)曲面的構(gòu)建奠定基礎(chǔ)。

其一，著重研究了Bezier曲線曲面、B樣條曲線曲面和NURBS曲線曲面的理論基礎(chǔ)，分析了Bezier曲線曲面在整體式曲線曲面構(gòu)建方面的優(yōu)點(diǎn)，并且總結(jié)了Bezier方法的缺點(diǎn)；

其二，研究了B樣條方法區(qū)別于Bezier方法的特點(diǎn)及解決的問題；

其三，對NURBS方法的優(yōu)點(diǎn)與B樣條方法進(jìn)行了比較，并且分析了NURBS曲線曲面權(quán)因子的作用。

對上述三種曲線曲面建模方法進(jìn)行比較深入的研究，為我們選擇合適的曲面重構(gòu)方法奠定了理論基礎(chǔ)。

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