數(shù)學(xué)魔術(shù)的理論與實(shí)踐

◎ 文、圖︱王志偉（北京魔幻久久文化傳播有限公司）

數(shù)學(xué)魔術(shù)，顧名思義，就是魔術(shù)背后的秘密是基于數(shù)學(xué)原理的，代數(shù)的、幾何的和拓?fù)涞?，等等。但因它終歸是魔術(shù)，所以在表演時(shí)，魔術(shù)師要借助各種形式上的轉(zhuǎn)換，將數(shù)學(xué)原理隱藏不露，從而達(dá)到讓觀眾大惑不解、驚奇萬(wàn)分的神秘效果。在魔術(shù)表演中，紙牌魔術(shù)順理成章地成為數(shù)學(xué)魔術(shù)的理想載體。

接下來(lái)給讀者呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)魔術(shù)，就是以紙牌方式表演的；表演后我會(huì)揭示其數(shù)學(xué)原理。

一、表演過(guò)程

魔術(shù)師拿出十張撲克牌給觀眾看，是兩組不同花色的A-5，假設(shè)是黑花A-5（S1-5）及紅桃A-5（H1-5）。魔術(shù)師將十張牌按順序面朝下攏成一摞，進(jìn)行若干次切牌，然后開(kāi)始發(fā)牌。他拿出最頂上的一張牌，牌面朝下放在桌面上，然后是第二張牌牌面朝下放在第一張的上面，依此類(lèi)推，將前五張牌放在桌面上后，將手中其余五張牌直接整體面朝下放在桌面上，形成左右兩摞牌疊。（圖1、2）

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

魔術(shù)師拿出四枚籌碼，每枚籌碼都代表一次輪換機(jī)會(huì)。一次輪換是指將某一摞牌的最上面一張放到這摞牌的最下面。這四枚籌碼可由觀眾以任意方案分配給兩摞牌，如觀眾把三枚籌碼給了左邊一摞，把一枚籌碼給了右邊一摞。（圖3）觀眾分配好籌碼后，魔術(shù)師將按籌碼數(shù)目對(duì)牌摞的牌張進(jìn)行輪換，如放三枚籌碼的牌摞，每次輪換后的頂牌要放最下面，共輪換三次，放一枚籌碼的，頂牌要放最下面一次。輪換結(jié)束后，魔術(shù)師將每摞牌最上面一張拿出放在一起，并拿出一枚籌碼壓住這兩張牌。（圖4）

圖6

圖7

第一輪操作后還剩兩摞八張牌，每摞四張，以及三枚籌碼；第二輪操作同樣由觀眾決定，將三枚籌碼在兩摞牌上進(jìn)行分配，魔術(shù)師再次按分配對(duì)牌張進(jìn)行輪換，輪換結(jié)束后再將每摞牌的最上面一張拿出放在一起，并從三個(gè)籌碼中拿出一枚壓住這兩張牌。（圖5）

依此類(lèi)推，將所有籌碼用盡，此時(shí)兩摞牌均剩一張，每枚籌碼下均有兩張牌。翻開(kāi)剩下的這兩張牌，呈現(xiàn)出兩張牌是配對(duì)的效果；再依次翻開(kāi)其他籌碼下的牌也是配對(duì)成功的。哇！這就是魔術(shù)。（圖6、7）

二、原理揭秘

這是一個(gè)利用數(shù)學(xué)的余數(shù)原理表現(xiàn)的紙牌魔術(shù)。

首先，魔術(shù)師要將十張牌多次切牌，如果不進(jìn)行抽洗只是上下切牌，無(wú)論多少次，牌與牌之間的相對(duì)順序依舊是不變的。假設(shè)切牌前往下數(shù)第一到第五張分別為 S1、S2、S3、S4、S5；第六張到第十張依次為H1、H2、H3、H4、H5。若干次完整切牌后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)十張牌的相對(duì)順序還是與之前相同。

假設(shè)切牌后是停在了S3、S4、S5、H1、H2、H3、H4、H5、S1、S2，魔術(shù)師將第一到第五張牌放在桌面上，從上往下依次為H2、H1、S5、S4、S3，這摞牌設(shè)為第一摞，此時(shí)將手中剩下的五張牌整個(gè)放在桌面上，從上往下依次為 H3、H4、H5、S1、S2，這摞牌設(shè)為第二摞。

兩摞牌的配對(duì)順序是第一摞牌的第一張對(duì)應(yīng)到第二摞牌的第五張，第二張對(duì)應(yīng)到第四張，以此類(lèi)推。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示如下：

在第一摞牌中從下往上處于數(shù)第n張（1≤n≤5，且n∈N*）的牌，在第二摞中處于第（6-n）張。在觀眾分配籌碼時(shí)，假設(shè)將m個(gè)籌碼（0≤m≤4，且m∈N）分配給第一摞，則分配給第二摞（4-m）個(gè)籌碼。

第一摞中的第n張牌經(jīng)過(guò)m次輪換后變?yōu)榱说冢?n-m）mod5（此處取非負(fù)整數(shù)）張牌，第二摞中的第（6-n）張牌經(jīng)過(guò)（4-m）次輪換后變?yōu)榱说赱6-n-（4-m）]mod5（此處取非負(fù)整數(shù)）張牌。

假設(shè)（n-m）≡k[mod，（0≤k≤4且k∈N）]

[6-n-（4-m）]≡p（mod5），

（0≤p≤4，且p∈N）

因?yàn)閇n-m]+[6-n-（4-m）]=2，所以k+p=2（mod5）

考慮到 k，p 的取值范圍，k，p 的可能取值情況為：

（1） k=0，p=2 這種情況表示第一摞中第i張牌變?yōu)榱说谖鍙?，第二摞中第?-i ）張牌變?yōu)榱说诙?，即輪換后第一摞中的第五張牌與第二摞中的第二張牌相同

（2） k=1，p=1 這種情況表示第一摞中第 j 張牌變?yōu)榱说谝粡?，第二摞中第?-j ）張牌變?yōu)榱说谝粡垼摧啌Q后第一摞中的第一張牌與第二摞中的第一張牌相同

（3） k=2，p=0 這種情況表示第一摞中第s 張牌變?yōu)榱说诙垼诙械冢?-s）張牌變?yōu)榱说谖鍙?，即輪換后第一摞中的第二張牌與第二摞中的第五張牌相同

（4） k=3，p=4 這種情況表示第一摞中第t 張牌變?yōu)榱说谝粡?，第二摞中第?-t）張牌變?yōu)榱说谌龔垼摧啌Q后第一摞中的第一張牌與第二摞中的第四張牌相同

（5） k=4，p=3 這種情況表示第一摞中第u 張牌變?yōu)榱说谒膹?，第二摞中第?-u ）張牌變?yōu)榱说谌龔?，即輪換后第一摞中的第四張牌與第二摞中的第三張牌相同

第一摞輪換后從上往下變?yōu)棣?β,χ,δ,ε，第二摞輪換后從上往下對(duì)應(yīng)為α,ε,δ,χ,β

可以看出這兩摞牌的第一張相同，將這對(duì)配對(duì)的牌取出后，與一枚籌碼放在一起。兩摞牌均剩余四張且互為倒序，籌碼剩余三枚，再次經(jīng)歷上述類(lèi)似過(guò)程總能保證 k+p≡2（mod4）。

因此有輪換后的兩摞牌的第一張相同，將這對(duì)配對(duì)的牌取出后，兩摞牌均剩余三張且互為倒序，籌碼剩余 兩枚。

如此過(guò)程重復(fù)，只要保證兩摞牌互為倒序且每摞牌數(shù)量比籌碼數(shù)多一，就會(huì)有 k+p≡2（modr）（此處 r 表示籌碼數(shù)），經(jīng)過(guò)任意方案的輪換后都能使兩摞牌的第一張相同，其余牌互為倒序。直到每摞牌都只剩余一張自動(dòng)配對(duì)。

照此方法找出所有配對(duì)紙牌，最終呈現(xiàn)出魔術(shù)效果。（待續(xù)）■