基于矢量修正的稀疏陣列測(cè)向解模糊方法

韓佳輝，畢大平，陳 璐

(國防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

波達(dá)方向(Direction of Arrival，DOA)估計(jì)是雷達(dá)對(duì)抗領(lǐng)域的核心研究?jī)?nèi)容之一，對(duì)獲取戰(zhàn)場(chǎng)主動(dòng)性，爭(zhēng)奪制信息權(quán)具有重要的作用。現(xiàn)代電磁環(huán)境中，信源密集且復(fù)雜多變，往往需要對(duì)多信源精確測(cè)向，傳統(tǒng)測(cè)向體制難以完成使命。超分辨陣列測(cè)向技術(shù)能夠同時(shí)精確估計(jì)多個(gè)信號(hào)的方位，克服了傳統(tǒng)測(cè)向體制的缺陷。MUSIC(Multiple Signal Classification)[1]算法作為一種最經(jīng)典的超分辨算法，自提出以來有很多學(xué)者對(duì)它進(jìn)行了大量的改進(jìn)[2-4]，但是目前的優(yōu)化算法大多數(shù)是針對(duì)陣元間距小于半波長(zhǎng)的均勻線陣(ULA)設(shè)計(jì)的，存在著陣列孔徑小、測(cè)向精度低和分辨率差等缺點(diǎn)，難以適應(yīng)現(xiàn)代戰(zhàn)場(chǎng)電磁環(huán)境。稀疏陣列是指陣元間距大于半波長(zhǎng)的陣列系統(tǒng)，相比于相同陣元數(shù)目的常規(guī)滿秩陣列，稀疏陣列擁有更大的陣列孔徑，更大的分辨率，更高的自由度。但是當(dāng)陣元間距大于半波長(zhǎng)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)測(cè)向模糊問題。

近年來，已經(jīng)有很多學(xué)者將稀疏陣列引入到DOA估計(jì)領(lǐng)域，應(yīng)用較多的稀疏陣列為嵌套陣和互質(zhì)陣。文獻(xiàn)[5]用 Ziv-Zakai限分析了稀疏線陣測(cè)向性能。文獻(xiàn)[6]分析了嵌套陣對(duì)陣列自由度的提升情況，系統(tǒng)地對(duì)陣列進(jìn)行了虛擬擴(kuò)展，實(shí)現(xiàn)了在陣元數(shù)量低于信源數(shù)量下的無模糊測(cè)向。文獻(xiàn)[7]詳細(xì)推導(dǎo)了嵌套陣陣列結(jié)構(gòu)和可測(cè)量信源數(shù)目的關(guān)系。文獻(xiàn)[8]通過多級(jí)嵌套陣列，等效地?cái)U(kuò)展了虛擬陣元的數(shù)量，極大地提升了可測(cè)信源的數(shù)目，避免了測(cè)向模糊問題，但是陣列結(jié)構(gòu)復(fù)雜，計(jì)算量過大。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了一種互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)，利用陣元間距之間互質(zhì)的原理，實(shí)現(xiàn)了無模糊測(cè)向，但是存在陣列形式單一的缺點(diǎn)。然而值得注意的是，現(xiàn)有的稀疏陣列DOA估計(jì)算法大都在虛擬陣列擴(kuò)展的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)測(cè)向，存在陣列結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計(jì)算量大、實(shí)時(shí)性差等缺點(diǎn)，很難滿足雷達(dá)對(duì)抗的作戰(zhàn)需求。本文針對(duì)以上問題，提出了基于矢量修正的稀疏陣列測(cè)向解模糊方法。

1 MUSIC算法數(shù)學(xué)模型及稀疏陣列模型

1.1 MUSIC算法模型

基于天線陣列協(xié)方差矩陣的特征分解類DOA估計(jì)算法中，MUSIC算法具有普遍的適用性，只要已知天線陣的布陣形式，無論直線陣還是圓陣，不管陣元是否等間隔分布，都可以得到高分辨的估計(jì)結(jié)果。設(shè)有n個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶不相干的信源以來波方向θk(k=1,2,…,n)入射到陣元數(shù)目為m的線陣，設(shè)其陣元位置為z=[z1z2…zm]，如圖1所示。

則整個(gè)陣列的接受信號(hào)為：

y(t)=A(θ)x(t)+n(t),t=1,2,…,N

(1)

其中，y(t)=[y1(t),y2(t),…,ym(t)]T為陣列的接受數(shù)據(jù)矢量；x(t)=[x1(t),x2(t),…xn(t)]T為信源矢量；n(t)=[n1(t),n2(t),…,nm(t)]T為均值為0方差為σ2的加性高斯白噪聲列矢量；A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θn)]為陣列流形矩陣，a(θk)=[ejωkz1,ejωkz2,…,ejωkzm]T為第k個(gè)信號(hào)的導(dǎo)向矢量，其中ωk=2πsinθk/λ為第k個(gè)信號(hào)單位距離的相位差；N為快拍數(shù)。陣列協(xié)方差矩陣為：

Ry=E[y(t)yH(t)]=ARxAH+σ2I

(2)

其中，Rx=E[x(t)xH(t)]表示入射信號(hào)矢量的自相關(guān)矩陣，將Ry分解為信號(hào)子空間US和噪聲子空間UN,A和US相同且和UN正交。定義陣列空間譜函數(shù)為：

(3)

由上式，使θ變化，通過尋找波峰來估計(jì)到達(dá)角。

1.2 稀疏陣列

為了便于分析，假設(shè)信源半波長(zhǎng)λ/2=1，若以第一個(gè)陣元為參考陣元，則陣元數(shù)目為m，陣元間距d=λ/2的均勻線陣可以表示為z=[0 1 2 … (m-1)]。由于稀疏陣列陣元間距d>λ/2，那么陣元數(shù)目為m，陣元間距d=M均勻稀疏陣列可以表示為：

其中，M>1且M∈N。

圖3 互質(zhì)陣列(●陣列 1，○陣列 2)
Fig.3 Coprime array (●array 1, ○array 2)

2 稀疏陣列無模糊測(cè)向方法

若陣列陣元個(gè)數(shù)為m，只有對(duì)于任意n+1個(gè)單位距離相位差ωi(0≤ωi<2π,1≤i≤n+1)，擴(kuò)展陣列流形Aaug=[a(ω1)a(ω2) …a(ωn)a(ωn+1)]的秩滿足rank(Aaug)=n+1時(shí)，MUSIC算法可以無模糊估計(jì)出n(n

2.1 陣元相對(duì)位置最大公約數(shù)對(duì)測(cè)向性能的影響

定義g=gcd(z2,z3,…,zm)，其中g(shù)cd為最大公約數(shù)運(yùn)算符。為便于分析，假設(shè)信源半波長(zhǎng)λ/2=1，則單位距離相位差可以表示為ω=2πsinθ/λ=πsinθ，若來波方向θ∈[-π/2,π/2)，則ω∈[-π,π)。

1) 陣元相對(duì)位置最大公約數(shù)等于信源半波長(zhǎng)，即g=1。

(4)

(5)

(6)

(7)

所以

(8)

因?yàn)間cd(z2,z3,…,zm)=g，上式可以寫成

(9)

2) 陣元相對(duì)位置最大公約數(shù)大于信源半波長(zhǎng)，即g>1。此時(shí)導(dǎo)向矢量可以表示為：

(10)

(11)

2.2 導(dǎo)向矢量修正解模糊方法

若在稀疏ULA位置為N處添加一個(gè)陣元，此時(shí)陣列表示為zC=[zM|N]如圖4所示，即

(12)

(13)

圖4 稀疏均勻線陣增加陣元(gcd(M,N)=1)
Fig.4 Spare ULA with another element (gcd(M,N)=1)

(14)

若aM(ω1)=aM(ωn+1)，那么

(15)

c1+cn+1=0,c2=c3=…=cn=0

(16)

式(14)最后一行為：

c1ejNω1+c2ejNω2+…+cn+1ejNωn+1=0

(17)

將式(16)代入到式(17)中，得

ejNω1=ejNωn+1

(18)

這就意味著當(dāng)-π/2≤ω1<ωn+1<π/2時(shí)，ωn+1-ω1=2πl(wèi)/N,1≤l

M/N=k/l

(19)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)首先驗(yàn)證陣列相對(duì)位置的最大公約數(shù)與測(cè)向模糊之間的關(guān)系；然后驗(yàn)證所提方法解稀疏陣測(cè)向模糊的有效性；最后通過與陣元間距為半波長(zhǎng)的陣列測(cè)向性能相比，驗(yàn)證所提方法的性能。

實(shí)驗(yàn)1 陣元相對(duì)位置的最大公約數(shù)與測(cè)向模糊關(guān)系

采用非等間距稀疏線陣，陣元數(shù)目m=7。兩遠(yuǎn)場(chǎng)不相干信源分別以θ1=-30°，θ2=40°兩個(gè)角度入射。信噪比SNR=0 dB，快拍數(shù)1 000。圖5由(a)到(d)為陣元相對(duì)位置最大公約數(shù)與信源半波長(zhǎng)比值分別為g/(λ/2)=1，g/(λ/2)=2，g/(λ/2)=3，g/(λ/2)=6，采用MUSIC算法進(jìn)行DOA估計(jì)得到的結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)2 解模糊方法有效性分析

從圖6的測(cè)向結(jié)果可知，對(duì)來自于θ1，θ2的兩個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)不相干信號(hào)，未添加陣元的稀疏ULAz1出現(xiàn)了嚴(yán)重的測(cè)向模糊。但增加一個(gè)陣元后，陣列z2極大的抑制了虛假譜峰，基本實(shí)現(xiàn)了測(cè)向解模糊?？梢?，所提方法能夠有效地解決稀疏陣列的模糊問題，并且陣列形式更加靈活，有利于工程實(shí)現(xiàn)。

實(shí)驗(yàn)3 DOA估計(jì)性能比較

從圖7(a)和圖7(b)可知，當(dāng)5個(gè)信源入射時(shí)，半波長(zhǎng)均勻陣列已經(jīng)不能有效的分辨出信號(hào)的個(gè)數(shù)。而本文方法仍能夠分辨多個(gè)入射信號(hào)，具有更好的多目標(biāo)分辨能力。從圖7(c)和圖7(d)可知，當(dāng)2個(gè)信源以θ2=(30°,32°)入射時(shí)，角度差為2°時(shí)，半波長(zhǎng)均勻陣列因?yàn)樾旁唇嵌炔钶^小，不能準(zhǔn)確估計(jì)信源入射角，測(cè)向精度較低。而本文方法保留了稀疏陣列孔徑大的特點(diǎn)，準(zhǔn)確估計(jì)出信源入射角，具有更高的測(cè)向精度。

實(shí)驗(yàn)4 DOA估計(jì)性能統(tǒng)計(jì)分析

采用與上一節(jié)相同的陣列。一遠(yuǎn)場(chǎng)信源以θ=30°入射到兩陣列上。均方根誤差

(20)

式中，L代表蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，進(jìn)行300次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，可得到如圖8所示結(jié)果。

從圖8(a)可知，在低信噪比條件下，半波長(zhǎng)均勻陣列的均方根誤差較大，測(cè)向精度顯著下降。而本文方法在低信噪比條件下，仍能準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。當(dāng)信噪比較高時(shí)，本文方法比傳統(tǒng)的陣元間距為半波長(zhǎng)的陣列DOA估計(jì)精度更高。從圖8(b)可知，所提方法本文所提方法在快拍數(shù)域全面優(yōu)于半波長(zhǎng)均勻陣列。

4 結(jié)論

本文提出了基于矢量修正的稀疏陣列測(cè)向解模糊方法。該方法通過推導(dǎo)陣元相對(duì)位置與稀疏陣列角度估計(jì)之間的關(guān)系，分析了陣元相對(duì)位置的最大公約數(shù)對(duì)MUSIC算法測(cè)向性能的影響，利用在稀疏均勻線陣特定位置添加新的陣元的方法，對(duì)原陣列的導(dǎo)向矢量進(jìn)行修正，解決了稀疏陣列的測(cè)向模糊的問題。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法不僅保留了稀疏陣大孔徑的優(yōu)點(diǎn)，提高了多信號(hào)分辨能力和測(cè)向精度，并且在低信噪比和小快拍條件下性能較好。

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