基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法

王 昊，馬啟明

(杭州應(yīng)用聲學(xué)研究所，浙江 杭州 310023)

0 引言

自適應(yīng)波束形成技術(shù)可以廣泛地應(yīng)用于雷達、聲納、無線通信等眾多領(lǐng)域。在理想條件下，即陣元協(xié)方差矩陣精確已知，導(dǎo)引向量(SV，Steering Vector)準確無誤差的情況下，是輸出信干噪比(SINR，Signal-to-Interference-Plus-Noise Ratio)最大準則下最優(yōu)的空域濾波器。然而，在實際應(yīng)用環(huán)境中，陣列快拍數(shù)往往有限，利用有限快拍得到的采樣協(xié)方差矩陣與理論值存在誤差，另一方面，波束指向角度失配會導(dǎo)致導(dǎo)引向量誤差，特別是大角度失配情況下，自適應(yīng)波束形成器性能嚴重下降[1]。

現(xiàn)有的基于標準Capon波束形成器[2](SCB，Standard Capon Beamformer)的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法，以Cox提出白噪聲增益約束法[3]最為著名，然而，不同工作環(huán)境下最優(yōu)對角加載量的選取是一個十分困難的問題。穩(wěn)健Capon波束形成器[4](RCB，Robust Capon Beamformer)是目前較為流行的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法，但是，它無法解決訓(xùn)練數(shù)據(jù)包含期望信號的問題，依然存在信號“自消”的風(fēng)險，同時在波束指向角失配較大時，算法性能嚴重下降[5-6]。文獻[7]算法可以提高自適應(yīng)波束形成器在角度失配條件下穩(wěn)健性。然而，在信噪比較高時，會出現(xiàn)信號“自消”現(xiàn)象。文獻[8]基于干擾噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)，提出了一種區(qū)別于對角加載類算法的新思路，但是，在大角度失配時，導(dǎo)引向量估計不準確，由此會造成輸出信噪比的損失[9]。另外現(xiàn)有的許多穩(wěn)健自適應(yīng)算法[10-11]，需要求解半定規(guī)劃、二階錐規(guī)劃，都用到解最優(yōu)化問題的工具箱[12]，這就給算法的實用性帶來了不便。

綜上可知，在大角度失配和采樣協(xié)方差矩陣中包含有期望信號時，傳統(tǒng)自適應(yīng)波束形成器的性能將極劇下降。此時，如何提高自適應(yīng)波束形成器的穩(wěn)健性是一個亟需研究的問題。本文針對此問題，提出了基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法。

1 陣列信號模型

考慮基陣模型，陣元個數(shù)為M，假設(shè)有Q個窄帶信源同時入射到陣列，信源之間相互獨立，則陣元接收信號的第k個快拍為：

x(k)=xs(k)+xj(k)+n(k)

(1)

其中，xs(k)表示期望信號成分，xj(k)表示Q-1個干擾成分，n(k)為與信源相互獨立的空時高斯白噪聲。

(2)

R=Rs+Rj+n

(3)

建立最優(yōu)化準則

(4)

可以得到最大化輸出信干噪比準則下的最優(yōu)權(quán)值w。上式可等價為：

(5)

此式即標準Capon波束形成器，由此可得最優(yōu)權(quán)值為

(6)

利用求解出的最優(yōu)權(quán)值可以得到標準Capon波束形成器的輸出功率為：

(7)

(8)

2 基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法

2.1 干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)

當期望信號包含于陣列數(shù)據(jù)中時，利用采樣協(xié)方差矩陣代替干擾噪聲協(xié)方差矩陣，常常會出現(xiàn)信號“自消”現(xiàn)象，導(dǎo)致自適應(yīng)波束形成器性能的急劇下降，為此這里提出一種干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)方法。

(9)

(10)

(11)

其中，Nn表示對感興趣區(qū)域的劃分點數(shù)，可以根據(jù)空間區(qū)域的大小范圍以及基陣波束寬度或粗或細的進行劃分。

(12)

2.2 期望信號導(dǎo)引向量估計

將采樣協(xié)方差矩陣寫成子空間形式

(13)

MUSIC算法是利用噪聲子空間與導(dǎo)引向量的正交性構(gòu)造空間譜，理想情況下，其空間譜是一個狄拉克δ函數(shù)(定義為在目標方位呈現(xiàn)出峰值，而在非目標方向上均為0)。由此利用MUSIC譜估計法重構(gòu)信號協(xié)方差矩陣

(14)

(15)

即可得到估計的期望信號導(dǎo)引向量

(16)

在求取最大特征值及其對應(yīng)的特征向量時，可以利用乘冪法[15]等迭代算法降低運算量。

(17)

3 仿真與性能分析

仿真一：考察算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化?？炫臄?shù)固定為K=50，每種SNR條件下進行100次獨立重復(fù)實驗，統(tǒng)計平均SINR。

由上圖可以看出SCB受期望信號導(dǎo)引向量估計誤差以及期望信號的影響，性能嚴重偏離理論最優(yōu)值，這種性能惡化隨著輸入信噪比的增加不斷增大。RCB和文獻[7]算法相較SCB，性能均有所改善，然而由于利用包含期望信號的采樣協(xié)方差求取最優(yōu)權(quán)值，隨著信噪比的增大，性能惡化，在低信噪比情況下，文獻[7]算法由于導(dǎo)引向量估計偏差，性能甚至劣于SCB，文獻[8]算法由于利用重構(gòu)的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣求取最優(yōu)權(quán)值，避免了信號“自消”現(xiàn)象的發(fā)生，但是由于期望信號角度失配較大，求解最優(yōu)化得到的導(dǎo)引向量不準確，性能偏離了理論最優(yōu)。相較前述幾種方法，本文所提算法的SINR最高，與理論最優(yōu)誤差最小。然而可以看出，在極低信噪比(SNR<-10 dB)情況下，本文方法亦偏離了理論最優(yōu)，這是由于低信噪比條件下，子空間劃分不準確導(dǎo)致的導(dǎo)引向量估計偏差引起的，后續(xù)將針對此開展相關(guān)工作。

仿真二：考察算法的輸出信干噪比隨快拍數(shù)的變化。假設(shè)期望信號的信噪比為5 dB，快拍數(shù)在K=[10∶4∶100]之間變化，同樣地，每種快拍數(shù)下進行100次獨立重復(fù)實驗，統(tǒng)計平均SINR，觀察幾種算法的輸出SINR隨快拍數(shù)變化的曲線。

由上圖可知，由于大角度失配，SCB隨快拍數(shù)的增加，性能急劇惡化，RCB和文獻[7]算法相較SCB有所改善；SINR隨快拍數(shù)的增加而增加，然而由于期望信號的影響，SINR與理論最優(yōu)始終有較大差距；文獻[8]算法，受快拍數(shù)影響較小，相較前述幾種方法收斂速度快，SINR高于前述方法，然而由于大角度失配導(dǎo)致的期望信號導(dǎo)引向量估計不準確，SINR依然偏離理論最優(yōu)；本文所提算法由于采用了重構(gòu)協(xié)方差矩陣，避免了由于快拍數(shù)有限，波束形成器性能下降的問題，同時，本文所提算法由于采用了子空間理論，在采樣協(xié)方差矩陣不滿秩時，即可得到噪聲子空間的估計，進而得到期望導(dǎo)引向量的估計值；而文獻[7]和文獻[8]需要在快拍數(shù)N≥M的條件下才能得到期望導(dǎo)引向量的估計，故而本文算法需要的快拍數(shù)更小，收斂速度更快，在相同快拍數(shù)情況下，SINR最高，性能最好。

仿真三：考察不同算法的波束圖。假設(shè)期望信號的信噪比為5 dB，快拍數(shù)K=50，畫出不同算法的歸一化波束圖。

由上圖可以看出，RCB算法和文獻[8]算法由于大角度失配，主瓣指向方向偏差，在期望信號真實入射方向附近產(chǎn)生了零陷；文獻[7]算法的主瓣雖然指向了真實入射方向，但是由于快拍數(shù)有限，因而具有很高的旁瓣；本文方法由于采取了干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)以及期望信號導(dǎo)引向量估計，故而糾正了主瓣指向，避免了期望信號方向出現(xiàn)零陷，同時沒有抬高旁瓣級。

仿真四：考察不同角度失配條件下算法的性能。假設(shè)期望信號的信噪比為5 dB，快拍數(shù)為K=50，期望信號以及兩個干擾的角度失配在[-6∶1∶6]之間變化，每種失配角度下進行100次獨立重復(fù)實驗，統(tǒng)計平均SINR，觀察幾種算法的輸出SINR隨角度失配變化的曲線。

可以看出SCB與文獻[7]以及RCB受采樣協(xié)方差矩陣當中期望信號成分的影響，輸出SINR均不同程度的偏離理論最優(yōu)值；文獻[8]優(yōu)于前述方法，但是在大角度失配條件下，求解最優(yōu)化得到的導(dǎo)引向量不準確，導(dǎo)致性能偏離理論最優(yōu)；本文方法性能優(yōu)于其他幾種算法，在不同角度失配條件下，性能均接近理論最優(yōu)值。

4 結(jié)論

本文提出了基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健自適應(yīng)算法，該算法將全空域劃分成若干互不重疊的區(qū)域，分別對應(yīng)干擾區(qū)域和期望信號區(qū)域，先利用標準Capon波束形成器及采樣協(xié)方差矩陣的最小特征值對干擾加噪聲協(xié)方差矩陣進行重構(gòu)，再利用MUSIC譜估計法重構(gòu)出信號協(xié)方差矩陣，以其主特征向量估計出期望信號導(dǎo)引向量，最終得到自適應(yīng)波束形成器的最優(yōu)權(quán)值。仿真實驗結(jié)果表明，算法能夠避免訓(xùn)練數(shù)據(jù)包含有期望信號和導(dǎo)引向量角度失配引起的自適應(yīng)波束形成器性能下降的問題，在大角度失配和少快拍數(shù)的情況下具有良好的性能。

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