兩點磁梯度張量定位方法

戴忠華，周穗華，單 珊

(海軍工程大學(xué)兵器工程系，湖北 武漢 430033)

0 引言

鐵磁體在地球磁場的磁化作用下，會在其周圍產(chǎn)生一個附加磁場，該磁場常常作為磁性目標(biāo)探測、定位和識別的信號源[1-3]。磁性目標(biāo)定位技術(shù)在航空磁探、航空反潛以及水中兵器中運用廣泛，與磁測量技術(shù)的發(fā)展息息相關(guān)。目前，磁測量技術(shù)主要有磁場總量測量、磁場分量測量和磁梯度張量測量，相應(yīng)的基于磁測量信息的定位方法也有磁場標(biāo)量定位方法、磁場矢量定位方法和磁梯度張量定位方法。在實際運用中，將磁性目標(biāo)等效為磁偶極子或者混合模型，基于標(biāo)量或者矢量的傳統(tǒng)定位方法一般利用大量的測量數(shù)據(jù)根據(jù)模型建立非線性方程，然后利用各種優(yōu)化算法進行求解，這種方法計算量大且實時性差[4-6]。基于磁梯度張量的定位方法在國外早就被提出[7-11]，由于其具有定位速度快、定位精度高的特點，近幾年在國內(nèi)已成為磁性目標(biāo)定位的研究熱點，相繼有許多相關(guān)的定位方法被提出來。

文獻[10-11]中初步探討了利用磁梯度張量進行定位，利用單點的磁梯度張量進行定位，分析了影響定位效果的因素，但受地磁影響較大，并且定位存在多解性。為了減小地磁干擾的影響，文獻[12-16]中分別利用多點磁梯度張量差分計算、梯度張量變化率計算、濾波算法來改進單點磁梯度張量算法。文獻[17-18]中對解唯一性進行研究，并提出基于梯度張量矩陣本身的特征值和特征向量的定位方法。綜上所述，基于磁梯度張量的定位方法需要解決地磁干擾與定位多解性兩個問題。本文針對上述問題，提出了兩點磁梯度張量定位方法。

1 磁梯度張量定位原理

1.1 磁梯度張量

在進行磁性目標(biāo)磁場測量時，通常用矢量磁力儀測磁場強度的三個分量B=(Bx,By,Bz)。現(xiàn)對該三分量進行一次梯度運算，即可得到它的磁梯度張量，如下：

G=

(1)

式中，G為磁梯度張量，共包括9個要素，它描述了目標(biāo)磁場各分量在空間三方向上的變化率。

目標(biāo)磁場可以看作是靜磁場，由于沒有電流存在，無源空間中的磁場具有無旋性和無散性，即：

divB=

(2)

rotH=

(3)

聯(lián)立式(2)、式(3)可得：

(4)

因此式(1)中的磁梯度張量矩陣G簡化為只有5個獨立要素，且為對稱矩陣。

1.2 磁梯度張量定位原理

當(dāng)測量系統(tǒng)與磁性目標(biāo)之間的距離大于2.5倍目標(biāo)尺度時，磁性目標(biāo)可以等效為單磁偶極子，在距離磁偶極子r處的磁場強度為

(5)

(6)

因此，可得：

(7)

又

B′-B=Gr0dr

(8)

所以，由式(7)、式(8)得：

(9)

r=-3G-1B

(10)

式(10)為單點的磁梯度定位算法，已知單一觀測量點的磁場強度和磁梯度張量可實現(xiàn)磁性目標(biāo)定位。

從定位方程(10)中可知,單點定位不僅與該點的磁梯度張量大小有關(guān)，也與該點所測量得到的磁場測量值有關(guān)。在實際測量中，測量得到的磁場測量值中不僅只有目標(biāo)磁場，還包括了地球磁場。地球磁場的梯度值相對來說比較小，一般小于0.02 nT/m，所以在地磁場環(huán)境中對磁性目標(biāo)梯度張量的測量可以用測量系統(tǒng)的實際測量值近似代替；而由于地球磁場通常達到幾萬納特，若測量系統(tǒng)距離目標(biāo)較遠時，目標(biāo)磁場完全淹沒在地磁場中，目標(biāo)磁場測量值并不能用實際磁場測量值代替。如果不去除地球磁場，由式(10)所得的定位結(jié)果誤差較大，因此，單點磁梯度張量定位方法不能忽略地球磁場的影響。

2 兩點磁梯度張量定位方法

2.1 兩點定位原理

為了減少地磁場的影響，本文利用兩點磁梯度張量來進行定位。假設(shè)測量系統(tǒng)的速度v=(vx,vy,vz)和采樣頻率Ts已知，測量系統(tǒng)連續(xù)兩點的磁梯度張量為G1、G2。由式(10)可得

G1r1=-3B1

(11)

G2r2=-3B2

(12)

其中，r2=r1+TsvT。

又F1M=B1，F(xiàn)2M=B2。因此由式(11)、式(12)可得：

G2r2=F2F1-1G1r1

(13)

其中，G1、G2為兩點的梯度張量；r1、r2分別為第一個點和第二個點的位置坐標(biāo)，它們之間的關(guān)系為r2=r1+TsvT；F1和F2為兩點由磁偶極子模型得到的系數(shù)矩陣，為r1=(x1,y1,z1)T的函數(shù)。假設(shè)測得連續(xù)兩點的磁張量梯度，代入式(13)，則式(13)為只與第一個點位置參數(shù)相關(guān)的非線性方程。若能精確解出方程的解，即能實現(xiàn)目標(biāo)定位。

解式(13)的非線性方程，無法直接求得，可構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

f=min‖G2r2-F2F1-1G1r1‖2

(14)

對式(14)中的x1,y1,z1三個位置參數(shù)進行優(yōu)化，得到目標(biāo)函數(shù)最小值，此時對應(yīng)的x1,y1,z1為式(13)的近似解，即完成對第一個點的定位。

從式(14)中可知，兩點磁梯度定位方法只用了系數(shù)矩陣與兩點的梯度張量測量值，并未直接利用測量系統(tǒng)所測的磁場測量值，在一定程度上減小了地磁的影響。

2.2 參數(shù)優(yōu)化算法

由2.1節(jié)可知，兩點磁梯度張量定位原理歸結(jié)為非線性優(yōu)化問題。為實現(xiàn)磁性目標(biāo)的實時定位，因此優(yōu)化算法應(yīng)盡量簡便，計算量小，但必須滿足所求的解為全局最優(yōu)。由于POWELL法在經(jīng)典迭代算法中收斂速度較快，但是與初值的選擇有關(guān)。因此本文將單點定位算法和POWELL算法結(jié)合起來。

先利用單點的磁梯度定位算法獲得近似解，以此解作為POWELL算法的初始值，再利用POWELL算法進一步確定最優(yōu)解，從而獲得該點的定位。

2.3 磁梯度張量測量系統(tǒng)

根據(jù)本文提出的定位方法，設(shè)計如圖1所示的平面三矢量磁力儀磁梯度測量系統(tǒng)，矢量磁力儀分布在兩根垂直線上，以1號矢量磁力儀為原點建立空間直角坐標(biāo)系，三個矢量磁力儀的三軸與坐標(biāo)系三軸一致,兩磁力儀之間的基線長度為d。

(15)

因全梯度張量是5個獨立元素矩陣，因此可由式(4)得到其他量，從而獲得1號磁力儀處的磁梯度張量。若此測量系統(tǒng)安裝在運動平臺上，運動平臺的速度和測量系統(tǒng)的采樣頻率已知，則根據(jù)本文提出的兩點磁梯度張量定位方法對磁性目標(biāo)進行定位。

3 仿真分析

仿真實驗需要完成工作：1)利用本文提出的定位方法對磁性目標(biāo)進行定位仿真實驗，檢驗在有地磁情況下，本文提出的方法定位磁性目標(biāo)是否有效;2)比較該方法與原單點定位方法的定位效果;3)討論影響定位精度的因素。在仿真實驗中，將測量系統(tǒng)固定在運動平臺上，磁性目標(biāo)靜止，載體平臺從磁偶極子目標(biāo)上方通過，以測量得的數(shù)據(jù)來進行磁性目標(biāo)定位。如圖2所示，磁性目標(biāo)位于空間坐標(biāo)原點，梯度張量測量系統(tǒng)的坐標(biāo)軸平行空間坐標(biāo)軸。

設(shè)磁性目標(biāo)的磁矩參數(shù)為Mx=4×107Am2、My=1×106Am2、Mz=1×106Am2，測量平臺從點(-200,50,100)開始沿平行于x軸運動，運動速度為(5,0,0)m/s，采樣頻率為1 Hz，假設(shè)測量地區(qū)的地磁為(-30 000,20 000,25 000)nT,測量系統(tǒng)的基線為0.5 m，磁力儀的精度為0.01 nT。仿真實驗的步驟如下：

2)由式(15)計算得到測量系統(tǒng)1號矢量磁力儀的磁梯度張量矩陣；

3)將測量系統(tǒng)1號磁力儀的磁場加上地磁場，利用本文提出的方法和原有的單點定位方法進行定位；

4)分別計算本文提出方法與原單點定位方法的定位誤差，分析兩種方法的優(yōu)劣。

3.1 現(xiàn)方法與原方法的比較

按照上述的仿真實驗步驟，對磁性目標(biāo)進行定位，計算結(jié)果如圖3，圖4所示。

從圖3中可以看出，本文提出的方法定位效果比較好，在距離磁性目標(biāo)200 m處，最大的定位誤差為15 m；隨著距離的減小磁性目標(biāo)三個方向的定位誤差也隨之減小，在150 m定位范圍內(nèi)，本文提出的方法可以實現(xiàn)精確定位。

圖4為在存在地磁時，現(xiàn)方法與原方法定位的誤差。分析圖4可知，在地磁環(huán)境中定位時，本文方法的定位效果很好，相對于原單點定位方法，不管是遠距離還是近距離定位，本文方法明顯優(yōu)于原單點定位方法，在近距離定位時，誤差僅為原方法的20%。

3.2 定位精度的影響因素

首先，將基線分別設(shè)置為0.25 m，0.5 m，1 m，其他初始條件不變，分別計算三種基線的定位誤差。然后將磁力儀精度分別設(shè)置為0.001 nT，0.01 nT，0.1 nT，其他初始條件不變，分別計算各磁力儀精度的定位誤差。計算結(jié)果如圖5，圖6所示。

從圖5的計算結(jié)果可知，三種基線在距磁性目標(biāo)較近時都有較好的定位效果，但是遠距離對目標(biāo)定位，基線的大小影響較大，且如果要遠距離定位保持良好的定位效果，測量系統(tǒng)的基線應(yīng)取的大一些。圖6為不同磁力儀精度計算的定位誤差，遠距離定位時，磁力儀精度越高，定位誤差越??；近距離定位時，磁力儀精度對定位效果影響不明顯。從上面分析可知，遠距離定位時，測量系統(tǒng)的基線大小和磁力儀精度對定位精度影響較大。

4 結(jié)論

本文提出了兩點磁梯度張量定位方法。該方法基于單點磁張量梯度定位原理，利用運動載體測量系統(tǒng)的連續(xù)兩點磁梯度張量，結(jié)合磁偶極子模型方程，構(gòu)建兩點磁梯度張量非線性目標(biāo)函數(shù)，采用單點定位和POWELL混合優(yōu)化算法對位置參數(shù)進行求解。仿真實驗結(jié)果表明，在有地磁干擾的情況下，本文所提方法與原單點磁梯度定位方法相比受地磁影響小，定位精度較高，測量系統(tǒng)基線大小和磁力儀精度是影響遠距離定位精度的主要因素。

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