基于V型諧振腔的熱穩(wěn)定性分析

范一鳴， 魏 勇*， 張 戈， 李宏民， 陶家友， 周岳平

(1.湖南理工學院 物理與電子學院， 岳陽 414006； 2.中國科學院 福建物質結構研究所 光電材料化學與物理重點實驗室， 福州 350002; 3.岳陽大陸激光技術有限公司， 岳陽 414000)

引 言

熱透鏡效應是影響激光器穩(wěn)定性的重要因素之一，當激光晶體在介質高耗散功率下工作時，一般諧振腔(如F-P腔、平-凹腔等)的熱適應能力差，受熱效應的影響十分嚴重。為了消除熱效應對固體激光器的影響，國內外雖做了很多研究，如：腔內加入補償鏡[1-2]、改變晶體摻雜濃度[3-4]、改變抽運和散熱方式[3-4]等，提高了激光器的熱穩(wěn)定性，但沒有從腔型結構設計的角度找到解決問題的關鍵因素。比如V型腔是一種熱效應不靈敏的諧振腔[5-6]，通過適當的參量調整，可以獲得很寬的熱穩(wěn)定范圍,但需要進行調整的參量有很多，如總腔長、折疊角、激光晶體的位置等。其中哪些參量的改變對激光輸出穩(wěn)定性比較敏感，這是目前如何更好地優(yōu)化激光輸出性能需要考慮的重要問題。作者采用多元件光學諧振腔等價分析理論，對熱透鏡效應下的Nd∶YAG激光V型諧振腔的穩(wěn)定性進行了分析仿真，對V型腔中的各參量采用控制變量法進行分析比較，找到了V型腔中擴大諧振腔熱穩(wěn)定范圍和增強諧振腔熱適應能力的關鍵控制因素，對激光器腔型穩(wěn)定性的優(yōu)化設計具有重要的指導意義。

1 V型諧振腔的等價分析

1.1 理想狀況下的等價分析

V型諧振腔結構如圖1所示。球面折疊鏡M13的曲率半徑為R13，端面反射鏡M11和M12的曲率半徑分別為R11，R12，折疊角為θ。 Nd∶YAG激光晶體置于其中一臂[7]。

Fig.1 Schematic diagram of V-type resonant cavity

在不考慮熱透鏡效應(理想狀況)并忽略像散的條件下，將折疊鏡等效為一個薄透鏡[8]，如圖2所示。

Fig.2 Schematic diagram ofg′ andg″ equivalent cavity of V-type resonant cavity

為了簡化分析，僅將折疊鏡等效為子午面上的薄透鏡M13，等效帶來的像散可加入一定厚度的布儒斯特片消除[9]，等效透鏡的焦距F為：

F=R13cosθ/2(1)

對于這類諧振腔，采用KOGELNIK提出的g*參量等價腔分析法，即按照透鏡成像原理，將含有透鏡的共軸球面腔等價為不含透鏡的空腔[10]，如圖2所示。

薄透鏡M13將諧振腔分割為兩個子腔，左側子腔長為L11，右側子腔長為L12，總腔長為L1。當左側端面鏡通過透鏡在右側成像時，像與右側端面鏡構成等價空腔，設像M11′的曲率半徑為R11′，像方子腔長為L11′，根據透鏡成像原理解得：

(2)

式中，L1′為等效空腔腔長。此處引入g*參量，其定義與共軸球面腔的g參量[11-12]一致，即等效空腔的g1*參量和穩(wěn)定性條件為：

(3)

(3)式僅表示右側子腔的穩(wěn)定條件，不能用來求解左側子腔穩(wěn)定性[13]，但對應的左側子腔等效參量和穩(wěn)定性條件同樣可通過上述成像原理解得。如圖2所示，右側端面鏡通過透鏡在左側成像，像與左側端面鏡構成的g2*參量等價空腔的腔長為L1″，等價腔右端面鏡M12′的曲率半徑為R12′。

1.2 熱透鏡效應下的等價分析

熱透鏡效應下的V型諧振腔，等效于V型等價腔內增加一個焦距動態(tài)變化的薄透鏡，形成腔內透鏡組，如圖3所示。圖中,M23為等效熱透鏡，M24為折疊鏡等效透鏡。對于這類諧振腔，采用多元件光學諧振腔等價腔分析法[14-15]，即引入光學間隔參量Δ，利用牛頓公式和高斯公式依次對兩透鏡的成像關系進行分析，將含有透鏡組的共軸球面腔按照成像原理等價為不含透鏡的空腔。

Fig.3 Schematic diagram ofg′ andg″ equivalent cavity in V-type resonant cavity under thermal effect

圖3所示為熱效應下V型腔的g′,g″等價空腔。圖中端面反射鏡M21,M22的曲率半徑分別為R21,R22，透鏡M23,M24的焦距分別為f1,f2，透鏡組將諧振腔分割為兩個子腔，左側子腔腔長為L21，右側腔長為L22，兩透鏡間距為d，光學間隔為Δ。

當左側端面鏡通過透鏡組在右側成像時，其像與右側端面鏡構成等價共軸球面空腔，如圖3所示。設像M21′的曲率半徑為R21′，像方子腔長為L21′，根據光學系統(tǒng)成像原理可解得曲率半徑R21′和等價空腔的腔長L2′為：

(4)

式中，光學間隔Δ=f1+f2-d。則根據共軸球面腔的穩(wěn)定性條件可知：

(5)

當滿足上述條件時，圖3所示B線往右的子腔穩(wěn)定，但不能表示A線往左的子腔穩(wěn)定性。對應的左側子腔等效參量和穩(wěn)定性條件可按照相同的透鏡組成像原理解得，如圖3所示，右側端面鏡通過透鏡組在左側成像，像與左側端面鏡構成的g″參量等價腔的腔長為L2″，右端面鏡M32″的曲率半徑為R22″。

2 諧振腔參量與穩(wěn)定性分析

為確定參量調整對諧振腔穩(wěn)定性的影響，在不產生熱效應的前提下，對折疊角θ和總腔長L1(或子腔長L11，注：L12=L1-L11)采用控制變量法，端面鏡曲率半徑R11,R12和折疊鏡曲率半徑R13用常量表示。

為了便于分析，先按照經驗取值如下：令折疊角θ取值范圍為0～0.5π，暫令諧振腔總腔長L1=75mm，左側子腔長L11取值范圍為0mm～75mm，設各反射鏡曲率半徑為R11=60mm,R13=45mm,R12=1m(相當于平面反射鏡)，對相應的右側子腔穩(wěn)定性進行求解，結果如圖4所示。

圖4所示為不同折疊角下右側子腔的穩(wěn)定性。若以滿足穩(wěn)定條件的左側子腔腔長的取值范圍大小來表征右側子腔穩(wěn)定范圍，圖4b所示當折疊角θ=0.15π時，對應的穩(wěn)定范圍大致為19mm～75mm，g1*參量積雖小于0.5，但如果折疊角繼續(xù)增大，穩(wěn)定范圍內部分區(qū)域g1*參量積將大于0.5；圖4c所示增大至0.3π時，穩(wěn)定范圍不再連續(xù)。由此可見，隨著折疊角的繼續(xù)增大，曲線繼續(xù)變陡，間斷范圍繼續(xù)增大，諧振腔趨于不穩(wěn)定。

結合圖4b中θ=0.15π時出現的臨界值，并考慮到諧振腔腔長應有盡可能大的變化范圍去適應晶體熱效應，對折疊角與總腔長之間的關系進行仿真分析，結果顯示：(1)當θ=0.15π時，使右側子腔內光束形成穩(wěn)定振蕩的子腔長范圍不出現間斷，并保證足夠大的g1*參量積變化范圍的總腔長L1的最大取值為80mm，若大于該臨界值，將出現間斷，且間斷范圍大小呈遞增的趨勢；(2)當折疊角θ=0.3π時，總腔長L1的最大取值為52mm；(3)當折疊角θ=0.1π時，總腔長L1的最大取值為85mm。

Fig.4 Relationship between product ofg1*and cavity length of left sub cavityL11under different folding anglesθ

由此可見，要確定合適的諧振腔總腔長，使得諧振腔有較寬的穩(wěn)定范圍，就必須考慮折疊角的大小。

此外如圖4d所示，當折疊角較大時，不管總腔長如何調整，均難以得到連續(xù)的穩(wěn)定范圍。綜上所述，在V型折疊腔中，對諧振腔穩(wěn)定性起決定性的因素是折疊角θ。

在實際應用中，只有保證諧振腔的穩(wěn)定范圍連續(xù)，才能使諧振腔更好的去適應動態(tài)變化的工作狀態(tài)。因此，在理想狀況下，設V型諧振腔總腔長為75mm，折疊角為0.15π，則V型諧振腔整體的穩(wěn)定范圍如圖5所示。

Fig.5 Schematic diagram of the overall stability of V-type resonant cavity

從圖5中可以看出，V型諧振腔的穩(wěn)定范圍為19.63mm～55.37mm，且即使兩側端面鏡曲率半徑相差很大，兩子腔的穩(wěn)定性變化曲線也呈明顯的對稱性，相同子腔長，即L11=L12，對應的g*參量積近似相等，這正是前面只對一側子腔進行穩(wěn)定性分析的原因。

此外，上述曲線說明端面鏡曲率半徑對諧振腔穩(wěn)定性的影響不大，又因為端面鏡的曲率半徑不會隨晶體熱效應而發(fā)生變化，故不對曲率半徑進行變量分析。

上述分析忽略了Nd∶YAG晶體的影響，在本文討論的激光器中，激光晶體采用側面抽運，抽運會使激光晶體產生熱透鏡效應。Nd∶YAG晶體具有良好的熱導性，其等效熱透鏡焦距與介質耗散功率[16-17]之間的存在一定的數量關系。為了簡化問題的分析，作者僅僅考慮激光晶體熱透鏡焦距大小對諧振腔穩(wěn)定性的影響。如熱透鏡焦距大于1m時，熱透鏡效應不明顯；熱透鏡焦距小于200mm時，熱透鏡效應十分嚴重。

由(4)式和(5)式可知，熱效應下諧振腔穩(wěn)定性分析需要考慮的變量如下：左側子腔長L21(或右側子腔長L22)、熱透鏡焦距f1和V型腔等效透鏡間距d，都是實際應用中需要考慮的重要參量。

為了確定V型腔的熱穩(wěn)定范圍，暫設透鏡間距d=28mm(保證Δ不為負)，對右側子腔的熱穩(wěn)定性進行分析比較，結果如圖6所示。

以滿足穩(wěn)定條件的左側子腔腔長的取值范圍大小來表征右側子腔穩(wěn)定范圍，如圖6b所示,f1∈(12,92)mm時，右側子腔有最寬的穩(wěn)定范圍，g′參量積在0～1之間有很寬的變化范圍；如圖6c和圖6d所示，若熱焦距增加，在L21取值較大處，g′等價參量積不再滿足穩(wěn)定條件，即穩(wěn)定范圍略有減小，但仍存在較寬的穩(wěn)定范圍；若減小，如圖6a所示，當熱焦距較小時，不管腔長如何調整，均難以使諧振腔穩(wěn)定。

由此可見，當透鏡間距d確定時，諧振腔能適應的最小熱透鏡焦距f1隨之確定。為了驗證該結論，本文中對透鏡間距與諧振腔熱效應適應能力之間的關系做進一步分析，結果如圖7所示。

Fig.6 Relationship of product ofg′, thermal lens focal lengthf1and cavity length of left sub cavityL21

如圖7b所示,當d=38mm時，使右側子腔具有最理想穩(wěn)定范圍的熱透鏡焦距f1∈(18,98)mm。由此可見，透鏡間距d越小，諧振腔能適應的熱透鏡焦距f1越小，激光器工作時允許的最大介質耗散功率越大。相反，間距越大，相同情況下的最小熱透鏡焦距就難以適應，對應的最大介質耗散功率將導致激光器難以正常運行。

而針對于Δ的取值，當f1+f2≥d時，Δ≥0，對應于上述分析；當f1+f2

Fig.7 Relationship of product ofg′, thermal lens focal lengthf1and cavity length of left sub cavityL21under differentd

當Nd∶YAG晶體產生嚴重的熱透鏡效應，即熱透鏡焦距f1∈(12,92)mm時，與諧振腔理想狀況下穩(wěn)定范圍(即：L21∈(19.63,55.37)mm)對應的諧振腔整體的穩(wěn)定性如圖8所示。

由圖8可知，與理想狀況相比較，諧振腔雖穩(wěn)定，但g參量積已趨于臨界值1。說明雖然V型腔有很好的熱適應能力，但仍然會受到晶體熱效應的影響，只是這一類腔型或V型腔的復合腔相對于一般的諧振腔而言[18-19]，晶體熱效應對V型腔穩(wěn)定性的影響已得到很大的削減。

Fig.8 Schematic diagram of the overall stability of V-type resonant cavity under thermal effect

3 結 論

V型腔對折疊角θ的變化十分敏感，受熱透鏡效應的影響很大，熱效應適應能力差，通過調整等效透鏡間距d，能夠有效地削弱熱透鏡效應對諧振腔穩(wěn)定性的影響，且間距越小，諧振腔能夠適應最大介質耗散功率越大，而這正是V型腔具有良好的熱適應能力的關鍵所在。

相應地，針對于一般諧振腔的優(yōu)化，可在腔內加入補償鏡，以獲得透鏡間距d，再經過適當的調整，增強諧振腔的熱適應能力；而針對于V型折疊腔，則可直接對激光晶體與折疊鏡的間距進行調整，從而提高腔的熱適應能力。

總之，通過多元件光學諧振腔的等價腔理論計算和仿真分析，找到了擴大V型諧振腔熱穩(wěn)定范圍和增強諧振腔熱適應能力的關鍵控制因素，對激光器腔型穩(wěn)定性的優(yōu)化設計具有重要的指導意義。

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