有向圖中網(wǎng)絡(luò)Euler-Lagrange系統(tǒng)無(wú)需相對(duì)速度信息的群一致性

曹然 梅杰

在過(guò)去10多年里,關(guān)于多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制問(wèn)題受到了國(guó)內(nèi)外的廣泛關(guān)注,例如編隊(duì)問(wèn)題[1]、聚集問(wèn)題[2]、一致性問(wèn)題[3]等.系統(tǒng)的一致性要求系統(tǒng)內(nèi)所有智能體收斂于同一值.而在實(shí)際中,面對(duì)復(fù)雜任務(wù)時(shí),常常需要系統(tǒng)的各部分分工合作,這就常常要求不同的部分收斂于不同值.群一致性問(wèn)題將系統(tǒng)中的所有智能體分為幾組,并要求同一組的所有智能體收斂于同一值,而組與組之間則可以不同,這使得群一致性在處理一些復(fù)雜問(wèn)題時(shí)更加適用.

在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型采用線性常微分方程以及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為無(wú)向圖的情況下,Wu等[4]使用牽制控制法[5]設(shè)計(jì)線性負(fù)反饋控制器使得系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)群一致性,在此方法下實(shí)現(xiàn)群一致需要組間連接強(qiáng)度足夠大.Xu等[6]使用牽制控制法設(shè)計(jì)分布式自適應(yīng)控制器,并在假設(shè)拓?fù)鋱D的Laplacian矩陣中的每個(gè)子塊均行和列和為零的情況下實(shí)現(xiàn)了群一致性.基于有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),Xia和Cao[7]給出了三種情況下實(shí)現(xiàn)群一致性的條件:1)采用的動(dòng)態(tài)模型不同;2)連接存在時(shí)滯因素影響;3)組與組之間存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系.與使用牽制控制法的情況類似的是這兩種方法均需要可以得到系統(tǒng)的精確解,故對(duì)于強(qiáng)非線性的Euler-Lagrange系統(tǒng)不能直接使用.在Yu等[8]提出的入度平衡條件前提下,Qin等[9]放寬了實(shí)現(xiàn)群一致性的代數(shù)條件,并提出了分組時(shí)無(wú)環(huán)分割的概念,設(shè)計(jì)了分布式反饋控制器使得不同組的智能體最終收斂于不同的軌跡.Wen等[10]在智能體被分為兩組且它們的動(dòng)力學(xué)分別為一階和二階積分器的情況下,設(shè)計(jì)了一種使用鄰居信息的分布式控制器,給出了在固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)湎聦?shí)現(xiàn)群一致性的充分條件.另外一些研究采用的多智能體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)是Euler-Lagrange方程,該系統(tǒng)在實(shí)際中有著大量的應(yīng)用[11],例如無(wú)人機(jī)、工業(yè)機(jī)器人、走路機(jī)器人等.因此,網(wǎng)絡(luò)Euler-Lagrange系統(tǒng)中的分布式協(xié)調(diào)控制也引起了廣泛關(guān)注.研究?jī)?nèi)容包括一致性問(wèn)題[12?13]、跟蹤問(wèn)題[14?15]、包含控制問(wèn)題[16?17]等.在關(guān)于此類系統(tǒng)群一致性方面的現(xiàn)有研究中,Hu等[18]從兩個(gè)組的情況出發(fā),設(shè)計(jì)了控制器使得系統(tǒng)在固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)涞慕Y(jié)構(gòu)下分別實(shí)現(xiàn)了群一致性,并推廣到多個(gè)組的情況,然而其提出的代數(shù)條件較難實(shí)現(xiàn).Liu等[19?20]運(yùn)用了一種新的分解方法來(lái)得到Laplacian矩陣的特殊形式,并結(jié)合輸入狀態(tài)穩(wěn)定來(lái)解決群一致性問(wèn)題.在上述的研究中,所設(shè)計(jì)的控制器均使用了相對(duì)速度信息,而實(shí)際中相對(duì)速度信息較難精確得到.

結(jié)合之前的研究結(jié)果,本文在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為有向圖的情形下研究網(wǎng)絡(luò)Euler-Lagrange系統(tǒng)的群一致性,組的分割方式與文獻(xiàn)[9],文獻(xiàn)[19?20]中普遍采用的無(wú)環(huán)分割方式相同,設(shè)計(jì)了無(wú)需相對(duì)速度信息的分布式算法,并在最后給出了仿真模擬來(lái)驗(yàn)證研究結(jié)論.

與文獻(xiàn)[4?10]中考慮的線性多智能體動(dòng)力學(xué)相比,本文采用的動(dòng)力學(xué)模型是非線性的Euler-Lagrange方程. 與文獻(xiàn) [18?20]中研究的網(wǎng)絡(luò)Euler-Lagrange系統(tǒng)群一致性相比,本文考慮到智能體間相對(duì)速度信息難以直接測(cè)量的實(shí)際情形,提出了無(wú)需相對(duì)速度信息的群一致性算法.與文獻(xiàn)[13,17,21]中研究的網(wǎng)絡(luò)Euler-Lagrange系統(tǒng)的一致性相比,本文研究的是系統(tǒng)的群一致性問(wèn)題.在文獻(xiàn)[21]中,智能體間信息傳輸權(quán)重均為正,而本文中不同組間智能體的信息傳輸權(quán)重可正可負(fù).上述特點(diǎn)導(dǎo)致文獻(xiàn)[21]中Lii,i=2,···,d,均為非奇異的M–矩陣,而在本文中,由入度平衡條件可知,Lii,i=2,···,d,均含有零特征值.這使得本文中的證明過(guò)程也與文獻(xiàn)[22]不同.

1 數(shù)學(xué)背景與問(wèn)題描述

在本文中,智能體采用的動(dòng)力學(xué)模型是Euler-Lagrange方程

其中,qi∈Rp是廣義坐標(biāo)向量,Mi(qi)∈Rp×p是對(duì)稱正定慣量矩陣,是Corios力和偏心力,gi(qi)為廣義有勢(shì)力,τi∈Rp表示作用在第i個(gè)智能體上的廣義控制力.每個(gè)智能體的動(dòng)力學(xué)模型有以下三個(gè)性質(zhì)[23]:

性質(zhì) 1.有界性:對(duì)于任意i,存在正常數(shù)使得

性質(zhì)2.反對(duì)稱性:是反對(duì)稱的.

性質(zhì)3.參數(shù)線性化:對(duì)于任意向量x,y∈Rp都成立,這里是回歸矩陣,是智能體i的常值未知參數(shù).

假設(shè)有n個(gè)智能體,智能體間的拓?fù)潢P(guān)系用有向圖G=(V,E,A)表示[24].其中V={1,2,···,n}表示圖中所有頂點(diǎn)組成的點(diǎn)集.E?V×V表示圖中所有邊組成的集合,一條邊(i,j)∈E表示智能體j可以從智能體i中單向獲得信息,我們稱點(diǎn)j是點(diǎn)i的父節(jié)點(diǎn),點(diǎn)i是點(diǎn)j的子節(jié)點(diǎn).A=[aij]∈Rn×n表示圖的帶權(quán)鄰接矩陣,當(dāng)(j,i)∈E時(shí)有aij＞0,否則aij=0.一般我們假設(shè)一個(gè)節(jié)點(diǎn)不能連接自身,即aii=0.圖G的Laplacian矩陣LA=[lij]∈Rn×n被定義為且有l(wèi)ij=?aij,i/=j.在有向圖中,一條有向路徑是一個(gè)邊序列(i1,i2),(i2,i3),···,(ik?1,ik),其中任意一條邊(im,im+1)∈E.如果至少存在一個(gè)節(jié)點(diǎn)(稱為根節(jié)點(diǎn)),其到任意其他節(jié)點(diǎn)都有有向路徑,則稱該有向圖具有有向生成樹.如果一個(gè)圖中任意兩個(gè)不同節(jié)點(diǎn)間都存在一條有向路徑,則稱這個(gè)圖是強(qiáng)連通的.如果一個(gè)有向圖無(wú)法從任意節(jié)點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)若干條邊回到該點(diǎn),則稱這個(gè)圖是一個(gè)有向無(wú)環(huán)圖.對(duì)有向圖的Laplacian矩陣,有如下結(jié)論:

引理 1[25?26].G是一個(gè)n階的有向圖,LA∈Rn×n是與其對(duì)應(yīng)的Laplacian矩陣.有以下兩點(diǎn)成立:

1)如果有向圖G包含一個(gè)有向生成樹,則其Laplacian矩陣LA有一個(gè)單零特征值并且其余特征值均擁有正實(shí)部.

2)如果有向圖G是強(qiáng)連通的,那么存在一個(gè)向量ξ=[ξ1,···,ξn]T∈Rn,其中,0,對(duì)于?i=1,···,n,則有ξTLA=0成立.

引理2[22].G是一個(gè)n階的有向圖且是強(qiáng)連通的.定義矩陣其中Ξ=diag{ξ1,···,ξn},其中ξi如引理1中定義所示.則B是一個(gè)無(wú)向圖的對(duì)稱Laplacian矩陣.對(duì)任意向量?∈Rn,有如下的不等式成立

本文中所有智能體被分成d個(gè)組,如果將每個(gè)組視為一個(gè)點(diǎn),其所構(gòu)成的圖G是有向無(wú)環(huán)圖,我們則稱原圖G是可以無(wú)環(huán)分割的.{V1,V2,···,Vd}是點(diǎn)集V={1,2,···,n}的無(wú)環(huán)分割,其中Vi表示包含ni個(gè)點(diǎn)的一個(gè)組且有以及分屬不同組的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間可以存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系即aij＜0或合作關(guān)系即aij＞0,其中i∈Vk1,j∈Vk2,k1/=k2.

這里有如下結(jié)論:

引理3[18].對(duì)于任意可以無(wú)環(huán)分割的有向圖G,假設(shè)其無(wú)環(huán)分割后的點(diǎn)集為{V1,V2,···,Vd},那么可以通過(guò)重新對(duì)所有頂點(diǎn)標(biāo)號(hào),使得G的Laplacian矩陣有如下的形式

其中,Lii為與Gi相關(guān)的矩陣,Lij表示從Gj到Gi的信息傳輸,i,j=1,2,···,d.

這里我們給出群一致性的定義:

定義 1.我們稱被分成d個(gè)組的n個(gè)智能體在控制器τi的控制作用下可以實(shí)現(xiàn)群一致性當(dāng)且僅當(dāng)所有智能體的狀態(tài)滿足

注1.由定義1可知,本文的群一致性要求組內(nèi)各智能體的狀態(tài)都達(dá)到一致,而組與組之間各智能體的狀態(tài)則可以不同.

2 控制律設(shè)計(jì)

在本文中,我們有如下假設(shè):

假設(shè)1.圖G是一個(gè)可以無(wú)環(huán)分割的有向圖.

假設(shè)2.每一個(gè)組Vi對(duì)應(yīng)的子圖Gi都是強(qiáng)連通的.

假設(shè)3.組與組之間滿足入度平衡條件[8],即對(duì)于任意兩個(gè)不同組Gm與Gn有:

注2.具體地,假設(shè)1首先由Qin和Yu[9]在解決有向圖下一般線性多智能體系統(tǒng)的群一致性問(wèn)題中提出,是對(duì)系統(tǒng)內(nèi)智能體進(jìn)行分組的一個(gè)前提條件.假設(shè)2用來(lái)保證組內(nèi)智能體能達(dá)到一致性.假設(shè)3則可以保證系統(tǒng)達(dá)到群一致性之后組外智能體的狀態(tài)不對(duì)組內(nèi)智能體的狀態(tài)產(chǎn)生影響.在假設(shè)1下,不失一般性,可以將圖G的Laplacian矩陣寫成式(3)的形式.假設(shè)2是研究一致性問(wèn)題中的常有要求,也是引理1和引理2的前提條件.根據(jù)假設(shè)3,當(dāng)一個(gè)組達(dá)到平衡時(shí),其接收到的其他組的信息輸入總和為零,從而可以保持平衡狀態(tài).結(jié)合假設(shè)1和假設(shè)3以及引理3,可以得到式(3)中每個(gè)Lij的行和為零,且Lii為Gi對(duì)應(yīng)的Laplacian矩陣.

首先,定義以下輔助變量[17,21]

其中,α是一個(gè)正常數(shù),aij代表鄰接矩陣A的第i行第j列元素.

不使用智能體間的相對(duì)速度信息,設(shè)計(jì)如下所示的分布式自適應(yīng)控制算法

其中,k是一個(gè)正常數(shù),是未知參數(shù)Θi的估計(jì)值, Λi是對(duì)稱正定矩陣,如性質(zhì)3中定義所示.定義將式(8)代入系統(tǒng)式(1)中可得

為了之后的收斂性分析,這里介紹一個(gè)特殊的(n?1)×n矩陣Q[27].

引理4[28].如果有向圖G具有有向生成樹,那么矩陣的特征值均有正實(shí)部,這里L(fēng)A是圖G的Laplacian矩陣.

顯然在假設(shè)2的情況下,對(duì)于每一個(gè)子圖Gi,都有對(duì)應(yīng)的矩陣Qi.

對(duì)于多Lagrange系統(tǒng)的群一致性,有如下結(jié)論.

定理1.在假設(shè)1～3成立的情況下,將控制算法(8)作用于系統(tǒng)(1),選擇適當(dāng)?shù)目刂圃鲆鎘,系統(tǒng)將最終達(dá)到群一致性.

證明.首先考慮第1組的一致性問(wèn)題.由假設(shè)2和式(3)可知,L11對(duì)應(yīng)的子圖G1是強(qiáng)連通的.那么由引理1可知,存在ξ1i＞0,i=1,···,n1,使得其中ζ1為ξ1i的列堆棧向量.定義參考向量d.令令X為qi的列堆棧向量,i=1,···,n.并有其中Xj為第j組所有智能體的狀態(tài)變量的列堆棧向量,j=1,···,d.令為的列堆棧向量,i=1,···,n1.

選擇如下的Lyapunov方程:

定義M(X1)=diag{M1(q1),···,Mn1(qn1)}, Ξ1=diag{ξ11,···,ξ1n1}.令S1和Xr1為si和qri的列堆棧向量,i=1,···,n1.由式(6)和式(7)可以得到

對(duì)式(15)求導(dǎo),并考慮式(10)和性質(zhì)2,可以得到

對(duì)于向量x,y以及恰當(dāng)維數(shù)的矩陣P,有xTPy≤σmax(P)‖x‖‖y‖.根據(jù)此不等式,可以得到

注意到有

將式(20)和式(21)代入式(18)中可得

其中,B1=Ξ1L11+LT11Ξ1.注意到有(ζT1?Ip)=0p且子圖G1是強(qiáng)連通的,根據(jù)引理2,有

將式(19),(23),(24)代入式(22)可得

顯然,如果選擇

其中,k0是一個(gè)正常數(shù),那么可以得到

接下來(lái)考慮第2組的一致性問(wèn)題.由假設(shè)3可知,L22的行和為零,那么L22為子圖G2的Laplacian矩陣.由假設(shè)2和引理1可知,存在ξ2i＞0,使得其中ζ2為ξ2i的列堆棧向量.與前文類似,選擇如下的Lyapunov方程:

定義 Ξ2=diag{ξ21,···,ξ2n2},M(X2)= diag{Mn1+1(qn1+1),···,Mn1+n2(qn1+n2)}. 令S2,和qri的列堆棧向量,i=n1+1,···,n1+n2.由式(6)和式(7)可以得到

對(duì)式(28)求導(dǎo),并考慮式(10)和性質(zhì)2,可以得到

仿照第1組中情況,有

將式(32)和式(33),式(29)代入式(31)可得

其中,B2=Ξ2L22+LT22Ξ2.注意到有

選擇k=k2+k0,可以得到

在式(39)兩邊同時(shí)積分可得

類似于前兩組的情況,對(duì)于任意第i組智能體,當(dāng)

令S為si的列堆棧向量,i=1,···,n.令注意此時(shí)的仍然滿足式(12)和式(13),而由式(14)可知定義其中X已在證明開始時(shí)給出定義.

由式(7)可得

3 仿真分析

本節(jié)通過(guò)仿真驗(yàn)證設(shè)計(jì)的控制算法的有效性.

考慮5個(gè)二連桿轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械臂所組成的系統(tǒng),所有機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)均為相同的Euler-Lagrange方程,關(guān)于方程的具體形式可參考文獻(xiàn)[30].在仿真實(shí)驗(yàn)中,所采用的二連桿機(jī)械臂的各桿質(zhì)量分別為m1=2.5kg和m2=1.8kg,各桿長(zhǎng)度分別為l1= 1.0m和l2=0.6m,各桿連接點(diǎn)到質(zhì)心的距離分別為lc1=0.5m和lc2=0.3m,各桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1=0.2083kg·m2和J2=0.0540kg·m2,重力加速度為g=9.8m/s2.

各智能體的初始轉(zhuǎn)動(dòng)角度分別為[?2.0,1.0]T, [0.0,1.5]T,[1.0,2.0]T,[?1.0,?1.0]T,[0.0,?2.5]T,初始轉(zhuǎn)動(dòng)角速度分別為 [?1.25,0.25]T,[?0.25 0.75]T,[3.00,2.00]T,[?2.50,?0.75]T,[0.00,?1.50]T.控制參數(shù)我們選擇k=8,α=1,Λi=5,?i=1,···,5.

智能體間的拓?fù)潢P(guān)系如圖1所示,機(jī)械臂的轉(zhuǎn)角變化如圖2所示,轉(zhuǎn)動(dòng)角速度變化如圖3所示.可以看出兩組智能體在所設(shè)計(jì)的控制算法的作用下,分別收斂于兩個(gè)不同值,實(shí)現(xiàn)了群一致性的要求.

圖1 智能體間的拓?fù)潢P(guān)系Fig.1 The networked topology associated with the agents

圖2 有向拓?fù)鋱D下智能體位置狀態(tài)信息Fig.2 The position state of agents under the directed interaction graph

圖3 有向拓?fù)鋱D下智能體速度信息Fig.3 The velocities of agents under the directed interaction graph

4 結(jié)論

本文主要研究了當(dāng)系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為有向圖時(shí)網(wǎng)絡(luò)Euler-Lagrange系統(tǒng)的群一致性問(wèn)題.在系統(tǒng)參數(shù)不確定時(shí),通過(guò)引入輔助變量構(gòu)建狀態(tài)方程,設(shè)計(jì)了無(wú)需相對(duì)速度信息的分布式自適應(yīng)控制律,從而避免了實(shí)際中相對(duì)速度信息精度難以保證的情形.在所設(shè)計(jì)的控制律的控制作用下,系統(tǒng)中每一組的智能體的狀態(tài)信息均可以收斂于同一點(diǎn),而組與組之間的收斂點(diǎn)可以不同,從而實(shí)現(xiàn)了群一致性.最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了所提算法的有效性.

1 Oh K K,Park M C,Ahn H S.A survey of multi-agent formation control.Automatica,2015,53:424?440

2 Su H S,Wang X F,Lin Z L.Flocking of multi-agents with a virtual leader.IEEE Transactions on Automatic Control, 2009,54(2):293?307

3 Yu H,Xia X H.Adaptive consensus of multi-agents in networks with jointly connected topologies.Automatica,2012, 48(8):1783?1790

4 Wu W,Zhou W J,Chen T P.Cluster synchronization of linearly coupled complex networks under pinning control.IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Regular Papers,2009,56(4):829?839

5 Chen T P,Liu X W,Lu W L.Pinning complex networks by a single controller.IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Regular Papers,2007,54(6):1317?1326

6 Xu C J,Zheng Y,Su H S,Chen M Z Q,Zhang C F.Cluster consensus for second-order mobile multi-agent systems via distributed adaptive pinning control under directed topology.Nonlinear Dynamics,2016,83(4):1975?1985.

7 Xia W G,Cao M.Clustering in diあusively coupled networks.Automatica,2011,47(11):2395?2405

8 Yu J Y,Wang L.Group consensus in multi-agent systems with switching topologies and communication delays.Systems and Control Letters,2010,59(6):340?348

9 Qin J H,Yu C B.Cluster consensus control of generic linear multi-agent systems under directed topology with acyclic partition.Automatica,2013,49(9):2898?2905

10 Wen G G,Huang J,Wang C Y,Chen Z,Peng Z X.Group consensus control for heterogeneous multi-agent systems with fi xed and switching topologies.International Journal of Control,2016,89(2):259?269

11 Min Hai-Bo,Liu Yuan,Wang Shi-Cheng,Sun Fu-Chun.An overview on coordination control problem of multi-agent system.Acta Automatica Sinica,2012,3810:1557?1570 (閔海波,劉源,王仕成,孫富春.多個(gè)體協(xié)調(diào)控制問(wèn)題綜述.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2012,38(10):1557?1570)

12 Cheng L,Hou Z G,Tan M.Decentralized adaptive consensus control for multi-manipulator system with uncertain dynamics.In:Proceedings of the 2008 IEEE International Conference on Systems,Man,and Cybernetics.Singapore: IEEE,2008.2712?2717

13 Ren W.Distributed leaderless consensus algorithms for networked Euler-Lagrange systems.International Journal of Control,2009,82(11):2137?2149

14 Mei Jie,Zhang Hai-Bo,Ma Guang-Fu.Adaptive coordinated tracking for networked Euler-Lagrange systems under a directed graph.Acta Automatica Sinica,2011,375:596?603 (梅杰,張海博,馬廣富.有向圖中網(wǎng)絡(luò)Euler-Lagrange系統(tǒng)的自適應(yīng)協(xié)調(diào)跟蹤.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2011,37(5):596?603)

15 Mei J,Ren W,Ma G F.Distributed coordinated tracking with a dynamic leader for multiple Euler-Lagrange systems.IEEE Transactions on Automatic Control,2011,56(6): 1415?1421

16 Meng Z Y,Ren W,You Z.Distributed fi nite-time attitude containment control for multiple rigid bodies.Automatica, 2010,46(12):2092?2099

17 Mei J,Ren W,Ma G F.Distributed containment control for Lagrangian networks with parametric uncertainties under a directed graph.Automatica,2012,48(4):653?659

18 Hu H X,Zhang Z,Yu L,Yu W W,Xie G M.Group consensus for multiple networked Euler-Lagrange systems with parametric uncertainties.Journal of Systems Science and Complexity,2014,27(4):632?649

19 Liu J,Xiang L,Zhao L Y,Zhou J.Group consensus in uncertain networked Euler-Lagrange systems with acyclic interaction topology.In:Proceedings of the 34th Chinese Control Conference.Hangzhou,China:IEEE,2015.835?840

20 Liu J,Ji J C,Zhou J,Xiang L,Zhao L Y.Adaptive group consensus in uncertain networked Euler-Lagrange systems under directed topology.Nonlinear Dynamics,2015,82(3): 1145?1157

21 Mei J,Ren W,Chen J,Ma G F.Distributed adaptive coordination for multiple Lagrangian systems under a directed graph without using neighbors′velocity information.Automatica,2013,49(6):1723?1731

22 Mei J,Ren W,Chen J.Distributed consensus of secondorder multi-agent systems with heterogeneous unknown inertias and control gains under a directed graph.IEEE Transactions on Automatic Control,2016,61(8):2019?2034

23 Spong M W,Hutchinson S,Vidyasagar M.Robot Modeling and Control.New Jersey,USA:John Wiley and Sons,2006.

24 Mesbahi M,Egerstedt M.Graph Theoretic Methods in Multiagent Networks.New Jersey,USA:Princeton University Press,2010.

25 Ren W,Beard R W.Distributed Consensus in Multi-Vehicle Cooperative Control.London,Britain: Springer-Verlag, 2008.

26 Yu W W,Chen G R,Gao M,Kurths J.Second-order consensus for multiagent systems with directed topologies and nonlinear dynamics.IEEE Transactions on Systems,Man,and Cybernetics,Part B(Cybernetics),2010,40(3):881?891

27 Scardovi L,Arcak M,Sontag E D.Synchronization of interconnected systems with applications to biochemical networks:an input-output approach.IEEE Transactions on Automatic Control,2010,55(6):1367?1379

28 Mei J.Weighted consensus for multiple Lagrangian systems under a directed graph.In:Proceedings of the 2015 Chinese Automation Congress(CAC).Wuhan,China:IEEE,2015. 1064?1068

29 Horn R A,Johnson C R.Matrix Analysis.New York,USA: Cambridge University Press,1985.

30 Kelly R,S′a?ntibanez V,Lor′?a A.Control of Robot Manipulators in Joint Space.London,Britain:Springer,2005.