一種基于協(xié)同稀疏和全變差的高光譜線性解混方法

陳允杰 葛魏東 孫 樂

20世紀80年代以來,高光譜遙感技術(shù)發(fā)展顯著.由于其具有較高的光譜分辨率,高光譜遙感已廣泛應(yīng)用于地質(zhì)制圖、植被調(diào)查、大氣研究、環(huán)境監(jiān)測、目標偵察、偽裝識別等重要領(lǐng)域[1].

由于光譜成像儀的限制和地物的復(fù)雜多樣性,高光譜傳感器獲得的圖像中往往包含多種物質(zhì)(端元)的混合像元[2?3].為了提高后續(xù)應(yīng)用的精度,從混合像元中分解與提取各個地物光譜并求得其對應(yīng)比例至關(guān)重要,即將混合像元分解成不同的端元組合,并求得端元在該像元中所占的比例,即豐度系數(shù).

線性光譜混合模型是高光譜解混常用的模型[4?5],其假設(shè)每個像元可由端元線性表示.基于稀疏性的線性高光譜解混方法可分為基于稀疏性約束的非負矩陣分解的解混方法和基于已知光譜庫的稀疏解混方法.前者是一種基于端元估計的解混方法,代表性的研究有:Jia等[6]提出的添加分段光滑約束和稀疏約束的非負矩陣分解方法;Liu等[7]提出的基于L1?L2稀疏性約束的非負矩陣分解方法.此類方法的一個顯著不足是需要進行端元估計;而使用已知的光譜庫作為端元集合的稀疏回歸解混方法是目前研究的另一主要分支,該方法的優(yōu)點是不需要進行端元提取,直接利用光譜庫中光譜構(gòu)成端元矩陣,進而反演出豐度系數(shù).由于光譜庫中的光譜曲線個數(shù)遠遠大于實際場景中端元個數(shù),這樣每一個觀測到的混合像元光譜曲線在光譜庫下的豐度系數(shù)向量就可以看成是“稀疏的”.代表性研究有:2011年Iordache[8]提出將光譜庫引入線性高光譜解混模型中,用已知的光譜庫代替端元集合用于高光譜解混.Fu等[9]給出了OMP (Orthogonal matching pursuit)、ISMA(Iterative spectral mixture analysis)以及TwIST(Two step iterative shrinkage/thresholding algorithm)等算法進行稀疏性高光譜解的實驗對比和應(yīng)用分析,但是這類方法的求解容易陷入局部最優(yōu),從而影響解混的精度;進而,Iordache等[10?11]提出一種基于交替迭代的SUnSAL(Sparse unmixing by variable splitting and augmented lagrangian)算法,取得了較好的解混效果;然而SUnSAL僅僅考慮了l1稀疏性,沒有考慮空間信息,為此2012年Iordache等[12?13]提出基于各向異性TV(Total variation)約束空間相關(guān)性的高光譜解混算法,即SUnSALTV(Sparse unmixing by variable splitting and augmented lagrangian-total variation),該方法能有效促進像元間的平滑性,從而提高解混效果.2013年宋義剛等[14]對基于光譜庫的稀疏性高光譜解混方法和基于非負矩陣分解的稀疏性高光譜解混方法進行了綜合分析和性能測試,再次驗證了稀疏性高光譜解混方法的有效性.2014年Iordache等[15]提出了基于協(xié)同稀疏回歸的高光譜解混算法CLSUn-SAL(Collaborative SUnSAL),利用豐度系數(shù)表現(xiàn)出的行稀疏特性,施加協(xié)同稀疏,提高解混效果.隨后,Iordache等[16]又提出基于多重信號分類和協(xié)同稀疏回歸的高光譜混合像元分解,通過多信號分類算法產(chǎn)生比原始光譜庫基數(shù)更小的端元子集,進而利用協(xié)同稀疏性,有效提高了解混效果.2015年鄧承志等[17]對于基于L1稀疏正則化的高光譜混合像元分解算法比較,表明全約束模型比非負約束模型能獲得更精確的解混結(jié)果.2016年Yang等[18]提出了一種耦合稀疏去噪和解混的CHyDU(Coupled HSI denoising and unmixing method)方法,該方法利用低秩表示對豐度系數(shù)進行約束,并且通過解混和去噪過程的相互促進來提高解混性能.雖然CHyDU方法的解混精度明顯提高,但是它卻忽略了局部空間平滑性約束,且模型求解相對復(fù)雜.與以上解混方法不同的另一種方法是Themelis等[19]在2012年提出的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(Sparse Bayesian learning,SBL),它基于貝葉斯思想,對未知量進行概率建模,并將豐度系數(shù)非負性加入先驗?zāi)Ｐ椭?通過貝葉斯推斷得到稀疏解,但是該方法求解運算量大,而且未考慮相鄰像元中端元組合的聯(lián)合稀疏性,導(dǎo)致算法求解效率較低.2016年孔繁鏘等[20]提出一種基于復(fù)合正則化聯(lián)合稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的高光譜稀疏解混算法CRMSBL(Compound regularized multiple sparse Bayesian learning),該方法針對傳統(tǒng)稀疏貝葉斯算法的不足,考慮到稀疏豐度矩陣中非零元素所在位置具有結(jié)構(gòu)化特征,從而來提高解混精度.雖然CRMSBL方法的解混精度也明顯提高,但是它同樣忽略了局部空間平滑性約束.

圖1 基于協(xié)同稀疏和TV正則項的高光譜線性解混方法的流程圖Fig.1 Flowchart of the method based on collaborative sparsity and total variation

綜上,對于基于光譜庫的稀疏回歸解混方法,有些算法僅考慮了高光譜圖像(Hyperspectral image,HSI)的局部空間相關(guān)性,如SUnSAL-TV方法,它雖然考慮了高光譜圖像的空間信息,但是缺乏對豐度系數(shù)更為有效的稀疏性刻畫;有些算法僅考慮了協(xié)同稀疏性如CLSUnSAL方法,該算法對豐度系數(shù)矩陣行稀疏約束,有效刻畫了豐度系數(shù)的行稀疏特性,但是它并未考慮高光譜圖像的局部空間平滑性,導(dǎo)致局部空間信息的缺失,影響解混精度.這兩類算法的解混性能仍有待進一步提高,從而本文將高光譜圖像的局部空間相關(guān)性和全局協(xié)同稀疏性結(jié)合起來.既考慮高光譜圖像相鄰數(shù)據(jù)的局部相關(guān)性,又利用豐度系數(shù)的行稀疏特性,對豐度系數(shù)全局施加協(xié)同稀疏,從而提高解混精度.由此,本文提出一種基于協(xié)同稀疏和TV正則項的高光譜線性解混方法,稱為CLSUnSAL-TV(Collaborative SUnSAL-TV)方法,該方法的流程圖如圖1所示:首先,建立基于光譜庫的高光譜稀疏線性回歸解混模型;然后,在豐度系數(shù)中加入?yún)f(xié)同稀疏和TV正則項,用來刻畫豐度系數(shù)的全局行稀疏性以及相鄰像元的局部空間聚類特性,提高稀疏解混的精確性;最后,采用交替方向乘子法[21](Alternating direction method of multipliers,ADMM)求解模型,得到解混結(jié)果.

1 線性稀疏解混

1.1 線性光譜分解

線性混合模型假設(shè)在任何給定的光譜波段中,每個像元光譜可由端元光譜線性組合而成[22],即對于每個像元,線性模型可以數(shù)學(xué)表示如下:

其中,yj是該混合像元在光譜波段j上的反射率,mij是端元i在光譜波段j的反射率,si是端元i對應(yīng)混合像元的豐度系數(shù)值,nj代表測量過程中產(chǎn)生的噪聲,q代表端元數(shù)目.

假定高光譜遙感使用了L個光譜波段,可以將式(1)寫成如下的矩陣形式:

其中,Y∈RL×J表示高光譜圖像 (L為波段數(shù),J為每個波段圖像中的像素個數(shù));M= [mmm1,mmm2,···,mmmq]∈RL×q表示端元矩陣,代表第i個端元;表示豐度系數(shù)矩陣,代表像元j中各個端元所占比例系數(shù);N∈RL×L是系統(tǒng)噪聲.解混的目的是從觀測的高光譜數(shù)據(jù)中估計出端元矩陣M及其對應(yīng)的豐度系數(shù)矩陣S.

根據(jù)豐度的物理意義,豐度系數(shù)[23]滿足“非負性”約束(Abundance non-negativity constraint, ANC):Sij≥0,?i=1,2,···,q,?j=1,2,···,J,并且滿足“和為一”約束(Abundance sum-to-one其中1T∈RL×1且各元素全為1.

1.2 稀疏性分解

假設(shè)在式(2)中所提出的稀疏分解中使用一個先驗的光譜特征庫,即用已知的光譜庫代替端元矩陣,則線性混合模型可以改寫為

其中,A∈RL×g,g為光譜庫中地物光譜數(shù)目,X∈Rg×J為光譜庫A對應(yīng)的豐度系數(shù)矩陣.

根據(jù)基于光譜庫的高光譜混合像元分解機理,A中的譜線數(shù)遠大于式(2)中M的端元個數(shù),即X中非零系數(shù)的個數(shù)q≤g,通常X的每一列是一個k稀疏向量,即它有k個非零元素.這樣形成的稀疏性能夠提高高光譜混合像元解混的準確性,由此得到約束的l0優(yōu)化問題:

根據(jù)稀疏表示理論,l0范數(shù)的最小化是NP難且非凸問題,求解困難.因此常用l1范數(shù)替代l0范數(shù),且當矩陣A滿足RIP(Restricted isometry property)條件時[8,10],l0問題等價于l1凸優(yōu)化問題:

2 本文提出的稀疏解混方法

2.1 聯(lián)合協(xié)同稀疏和TV正則項的線性解混模型

高光譜圖像局部相鄰像元通常包含相似的物質(zhì),其光譜特征具有相似性,利用高光譜圖像像元間的這種相關(guān)性,可以有效提高解混的準確性.進一步分析像元間的空間相關(guān)性,可以發(fā)現(xiàn)這種相關(guān)性通常表現(xiàn)為像元間的平滑性,由此加入TV正則項的稀疏回歸模型[12]可以表示如下:

以上模型的稀疏性是添加在豐度系數(shù)上的,由于光譜庫足夠大,而場景中的端元個數(shù)遠遠小于給定光譜庫中光譜個數(shù),所以豐度系數(shù)必然從全局上表現(xiàn)出行稀疏的特性.行稀疏性比l1稀疏更能有效刻畫豐度系數(shù)的稀疏模式,具有更強的稀疏性,同時,耦合局部空間平滑性約束,有效提升解混能力.基于協(xié)同稀疏和TV正則化相結(jié)合的解混模型可表示如下:

定義Hh:Rg×J→Rg×J為X中像元和其相鄰像元間水平差分的線性算子[12],即HhX=和ih分別代表像元i和它的水平相鄰像元. 同理,定義一個垂直線性差分算子Hv:Rg×J→Rg×J,即和iv分別代表像元i和它的垂直相鄰像元.基于以上定義,我們有進而,式(7)可重寫為

其中,lR+(X)表示“非負性”約束的示性函數(shù)(其中l(wèi)R+(·)定義為:當a≥0時,lR+(a)=0,當a＜0時lR+(a)=∞).l1(1TX)表示“和為一”約束的示性函數(shù).lR+(X),lR+(a)=∞).l1(1TX)分別保證了解混過程中豐度系數(shù)X的“非負性”約束和“和為一”約束得以滿足.λ≥0和λTV≥0分別為l2,1稀疏約束項和TV正則項的正則化參數(shù),兩者平衡了l2,1稀疏約束項、TV正則項與其他各項之間的關(guān)系.當λTV=0時,模型(8)即為經(jīng)典的CLSUnSAL方法.理論上隨著噪聲的增強,λ和λTV取值相對較大時才能獲得最優(yōu)的解,且隨著的λ≥0和λTV≥0增大,其對應(yīng)正則項的作用在解混中增強.

2.2 模型求解

對于式 (8)中優(yōu)化問題,本文采用交替方向乘子法 (ADMM)求解,通過引入變量V1,V2,V3,V4,V5,V6,可以得到如下等價形式:

式(9)中將V3=HX替換為V3=X和V4=HV3,這樣可以先求解出V3,再通過V3求解出V4,降低原問題的復(fù)雜度.

最優(yōu)化問題(9)是一個典型的約束最小化問題,其增廣拉格朗日方程為

其中,μ為一個常數(shù),D1,D2,D3,D4,D5,D6分別表示了6個拉格朗日乘子.具體算法如下:

步驟4.更新拉格朗日乘子

步驟 5.如果滿足停止條件,結(jié)束算法;否則,k←k+1,算法轉(zhuǎn)至步驟2.

對于上述算法,步驟2中每一步的X值可以由如下式子得到:

通過對式(11)求導(dǎo)可以得到X的解:

其中,I為單位矩陣,AT為A的轉(zhuǎn)置,ξi=

該算法的步驟 3 中計算了每個變量V1,V2,V3,V4,V5,V6的值.為了計算V1,優(yōu)化問題可以寫為

為了計算V2,優(yōu)化問題可以寫為

其解可由行軟閾值Vect-soft法[15]求得:V(k+1)2←vect-soft(?2,λ/μ),其中且

為了計算V3,優(yōu)化問題可以寫為

V4的計算可以通過解決如下優(yōu)化問題得到:

其解可由軟閾值 Soft-threshold 法[20]求得:其中

對于V5的優(yōu)化問題:

其中,V5的值可以由得到.

最后,對于V6的優(yōu)化問題:

在上述整個算法過程中,最主要的步驟是X和V3的求解,兩者的復(fù)雜度分別為O(L2J)和O(LJlogJ),其中L為光譜波段數(shù)目,J為圖像中像元數(shù)目.因此,整個算法每次迭代的復(fù)雜度為O(LJ·max{L,logJ}).

3 實驗與分析

3.1 模擬數(shù)據(jù)實驗

在本節(jié)中,我們采用模擬數(shù)據(jù)測試算法性能,本文提出的算法(CLSUnSAL-TV)將與基于l1范數(shù)的兩種算法[10](式(5)中λ=0時的算法NCLS,λ/=0時的算法SUnSAL),基于協(xié)同稀疏的算法[15](CLSUnSAL),以及基于TV正則化的兩種算法[12](式(6)中λ=0時的算法NCLS-TV,λ/=0時的算法SUnSAL-TV)進行比較.解混精度采用SRE信號重建誤差[8,10,13]以及均方根誤差RMSE[24]來度量.SRE數(shù)值越大,RMSE數(shù)值越小,說明算法的解混精度越高,其定義分別如下式(19)和式(20):

其中,X為真實豐度系數(shù),為解混算法重建的豐度系數(shù);g為光譜庫中光譜數(shù),J為像元總數(shù),Xij為真實豐度系數(shù)矩陣中的元素,為解混算法重建的豐度系數(shù)矩陣中的元素.

本節(jié)的測試環(huán)境為 IntelCorei5CPU 3.20GHz、內(nèi)存4.0GB、Matlab R2013b.本節(jié)算法的參數(shù)依據(jù)經(jīng)驗設(shè)置為如下:λ,λTV∈[0.0001, 0.0005,0.001,0.005,0.01,0.05,0.1,0.5,1,5],且μ∈[0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.08,0.1,0.2,0.3, 0.4,0.5,0.8,1].從這些范圍中選擇合適的λ,λTV以及μ,得到最佳的SRE值和RMSE值,并用粗體顯示.

3.1.1 模擬數(shù)據(jù)集

實驗中采用的光譜庫為A∈R224×240:A由在2007年9月發(fā)布的USGS光譜庫中選擇的240種地物光譜構(gòu)成,光譜范圍為0.4～2.5μm.

圖2 5個端元在光譜庫中的譜線Fig.2 Spectral characteristic curves of fi ve endmembers

從光譜庫A中隨機選取5個光譜特征作為端元線性生成模擬數(shù)據(jù)集,數(shù)據(jù)集有75×75個像元且每個像元有224個波段,圖2中顯示了5種端元的光譜曲線圖.圖3中分別顯示了模擬數(shù)據(jù)圖像以及5個端元的真實豐度圖,模擬數(shù)據(jù)圖像中既有純像元,又有由2至5個端元混合成的混合像元,這些像元均勻分布在固定的方形區(qū)域中.模擬數(shù)據(jù)的背景像元由5個相同的端元混合組成,但其各自的豐度系數(shù)固定為0.1149,0.0742,0.2003,0.2055, 0.4051.按照上述的描述過程產(chǎn)生數(shù)據(jù)集后,在高斯白噪聲污染的情況下進行實驗.實驗中采用3種不同信噪比的噪聲,即 20dB、30dB、40dB.

3.1.2 實驗結(jié)果與分析

在白噪聲情況下,我們采取6種稀疏解混方法在光譜庫A中對模擬數(shù)據(jù)集進行解混,通過計算其SRE和RMSE來比較6種方法的解混精度.表1中顯示了在添加“和為一”約束和不添加“和為一”約束時,6種方法解混得到的SRE和RMSE結(jié)果以及解混時間t(s),同時圖4中給出了不同噪聲下CLSUnSAL-TV算法得到的關(guān)于參數(shù)λ和λTV的SRE函數(shù)圖.由表1結(jié)合圖4可以看出:λ和λTV的值對解混的結(jié)果具有較大影響,通常噪聲較大時,最優(yōu)結(jié)果對應(yīng)的λ和λTV的取值相對較大:相同噪聲情況下,添加“和為一”約束的SRE值均高于不添加“和為一”約束的SRE值,且添加“和為一”約束的RMSE值均不高于不添加“和為一”約束的RMSE值,從而表明添加“和為一”約束的解混效果比不添加“和為一”約束的解混效果好;NCLS-TVSUnSAL-TV、CLSUnSALTV的SRE值遠高于其他3種算法,且NCLSTV、SUnSAL-TV、CLSUnSAL-TV的RMSE值遠低于其他3種算法,這意味著TV正則項有效刻畫了地物的局部空間聚類性;在不同噪聲情況下, CLSunSAL-TV算法的SRE值最大,RMSE值最小,表明全局行稀疏性進一步提高解混能力,使得解混效果最佳;在不同噪聲下,與當前較好的解混方法SUnSAL-TV相比,CLSunSAL-TV算法的運行時間均小于SUnSAL-TV算法的運行時間,這表明CLSunSAL-TV算法在時間上有一定的優(yōu)越性.

圖3 模擬數(shù)據(jù)圖以及其中5個端元的真實豐度圖Fig.3 Simulated image and fi ve true fractional abundances of endmembers in the simulated dataset

表1 6種方法在最優(yōu)參數(shù)(λ,λTV,μ)時對模擬數(shù)據(jù)集解混得到的SRE(dB),RMSE(10?2)以及所需時間t(s)Table 1 SRE,RMSE(10?2),the running time(seconds),and optimal parameters of the six unmixing methods for the simulated dataset

為了更直觀地顯示解混的效果,圖5顯示了SNR=40dB時各種方法解混得到的豐度圖.這里我們僅僅給出3種端元(端元1、端元2、端元5)的估計豐度圖,因為另外兩種端元表現(xiàn)了相似的解混效果.由于添加“和為一”約束的解混效果比不添加“和為一”約束的解混效果好,所以在圖5顯示提取的端元豐度圖時,僅考慮添加“和為一”約束的情況.圖5中的第一行顯示了3種端元在光譜庫中的譜線圖,這3種端元分別為Jarosite GDS99、Jarosite GDS101、Alunite 3種礦物,圖5中的其余行分別給出6種算法在信噪比SNR為40dB時重建的豐度圖.從圖5看出:在NCLS、SUnSAL、CLSUnSAL解混的豐度圖中有很多噪聲點,而施加了TV正則項的NCLS-TV、SUnSAL-TV、CLSUnSAL-TV 3種方法得到的解混圖中幾乎沒有噪聲點,這充分表明TV正則項對噪聲抑制較好,有利于提高解混精度;CLSUnSAL-TV算法得到的豐度圖中不但幾乎沒有噪聲,而且比其他方法有著更多小正方形區(qū)域的豐度信息,豐度圖像最接近真實豐度圖,因此CLSUnSAL-TV方法的混合像元分解精度最高.

圖4 不同噪聲下CLSUnSAL-TV算法得到的關(guān)于參數(shù)λ和λTV的SRE函數(shù)圖Fig.4 SRE(dB)as a function of parameters λ and λTVobtained by CLSUnSAL-TV algorithm in diあerent noise levels

圖5 信噪比為40dB情況下6種算法解混得到的豐度圖Fig.5 Reconstructed abundances of six methods for simulated dataset when SNR=40(dB)

3.2 真實數(shù)據(jù)實驗

3.2.1 Cuprite數(shù)據(jù)集

實際數(shù)據(jù)采用AVIRIS光譜儀采集的Cuprite數(shù)據(jù),該數(shù)據(jù)集為1995年7月獲取的美國內(nèi)華達州Cuprite采礦區(qū)數(shù)據(jù).圖像大小為250×191,該場景包含0.4到2.5μm之間的224個光譜波段,其光譜分辨率為10nm.去除水汽干擾和噪聲影響的波段1～2,105～115,150～170,223～224,剩余188個有效波段.在圖6中顯示了Cuprite數(shù)據(jù)的RGB偽彩合成圖.

3.2.2 實驗結(jié)果與分析

基于USGS光譜庫A,對Cuprite數(shù)據(jù)使用6種稀疏解混方法得到端元的豐度系數(shù)圖.圖7中顯示了利用以上6種稀疏分解算法提取3種最具代表性礦物的豐度圖,這3種礦物分別為Alunite(明礬石)、Buddingtonite(水銨長石)、Chalcedony(玉髓).圖7中第1行顯示了這3種礦物在光譜庫中的譜線圖,第2行給出Cuprite數(shù)據(jù)集中3種礦物的實際豐度圖,用作參照對比.圖7中第3行到第8行分別顯示了應(yīng)用NCLS、SUnSAL、CLSUnSAL、NCLS-TV、SUnSAL-TV、CLSUnSAL-TV 6種方法解混得到的礦物豐度估計圖. 根據(jù)圖7總

圖6 Cuprite數(shù)據(jù)的RGB偽彩合成圖(波段15、23、117)Fig.6 The false color image of AVIRIS Cuprite(band 15、23、117)

圖7 對真實數(shù)據(jù)使用6種方法解混得到的豐度圖Fig.7 Reconstructed abundances of six methods for real dataset

結(jié)出:從第 3行到第 8行中的礦物豐度估計圖越來越接近真實的礦物豐度圖,即解混效果越來越好:NCLS-TV、SUnSAL-TV、CLSUnSALTV 表現(xiàn)了相似的礦物豐度估計圖,它們與NCLS、SUnSAL、CLSUnSAL方法相比,豐度估計圖中有著更少的離群值,豐度系數(shù)間更加平滑;盡管很難對SUnSAL-TV和CLSUnSAL-TV算法解混的礦物豐度圖做出比較,但CLSUnSAL-TV解混得到的Alunite(明礬石)和Buddingtonite(水銨長石)的豐度圖比SUnSAL-TV解混得到的更接近于參照圖,即表明CLSUnSAL-TV方法的解混精度最高,體現(xiàn)了本文算法的優(yōu)越性.

4 結(jié)論

同時考慮豐度系數(shù)的全局行稀疏性和相鄰像元之間的局部空間平滑特性,本文提出了一種基于協(xié)同稀疏和TV正則項的高光譜空譜聯(lián)合解混方法,即CLSUnSAL-TV.該方法與CLSUnSAL和SUnSAL-TV相比,具有更佳的解混效果,表明同時考慮豐度系數(shù)的全局行稀疏性和相鄰像元之間的局部空間平滑性對基于已知光譜庫的稀疏回歸解混方法的必要性,克服了以往對于解混模型只重視挖掘空間相關(guān)性而忽視稀疏性精確刻畫的缺點,為以后的空譜聯(lián)合稀疏性回歸解混方法提供了新思路.模擬和真實高光譜數(shù)據(jù)實驗結(jié)果驗證了本文方法是精確且有效的.

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