FK 法合成地震動的頻帶范圍研究＊

曹澤林 陶夏新 陶正如 王可意

1） 中國河北邯鄲 056038 河北工程大學(xué)土木工程學(xué)院

2） 中國哈爾濱 150090 哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院

3） 中國哈爾濱 150080 中國地震局工程力學(xué)研究所

引言

地震動合成廣泛用于估計(jì)未來大地震產(chǎn)生的近場地震動.幾十年來，多種理論和方法相繼發(fā)展以用于合成地震動（Douglas，Aochi，2008）.常用的地震動合成方法可以分為數(shù)值方法、隨機(jī)合成法、經(jīng)驗(yàn)格林函數(shù)法、混合方法等.其中，數(shù)值方法受計(jì)算資源的限制，網(wǎng)格離散尺寸無法足夠精細(xì)，難以保證合成地震動高頻段的精度；隨機(jī)合成的地震動在低頻段又不夠可靠.對于強(qiáng)震動觀測記錄的可靠頻段和工程結(jié)構(gòu)抗震分析所需地震動的低頻、高頻范圍，寬頻帶（0.1—20 Hz）地震動成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn).目前，寬頻帶地震動合成常使用混合方法（Frankel，2009；Graves，Pitarka，2010），分別在低頻段、高頻段通過數(shù)值模擬、隨機(jī)合成獲得整個斷層引起的地震動，再將兩部分濾波、疊加得到寬頻帶地震動.其中，數(shù)值方法可以模擬三分量地震動，隨機(jī)合成法只能提供一個無明確方位的水平分量，兩種方法的疊加有不協(xié)調(diào)之處.此外，疊加所用交叉頻率的選取具有主觀性，兩種方法對含義相同參數(shù)的表達(dá)也有不一致現(xiàn)象（孫曉丹，陶夏新，2012）.因此，需要研究計(jì)算精度高、邏輯嚴(yán)密的多分量寬頻帶地震動合成方法.

震源模型和格林函數(shù)是各種地震動合成方法的兩個關(guān)鍵內(nèi)容.Hartzell （1978）提出的有限斷層震源模型廣泛用于地震動合成，但震源描述形式各不相同.例如：經(jīng)驗(yàn)格林函數(shù)法通過大震和小震的震源機(jī)制“調(diào)制”來表達(dá)震源（Irikura，Miyake，2011）；隨機(jī)有限斷層法用震源譜模型表達(dá)震源（Motazedian，Atkinson，2005）；包括本文方法在內(nèi)的多種方法采用運(yùn)動學(xué)震源模型，即，用有限斷層面上的錯動量分布、破裂速度、各子源時間函數(shù)和上升時間及滑動角等震源參數(shù)通過較為簡單的數(shù)學(xué)表達(dá)描述頗為復(fù)雜的震源破裂過程.格林函數(shù)的計(jì)算是近場地震動合成的關(guān)鍵一環(huán)，也是不同地震動合成方法的核心區(qū)別.例如：經(jīng)驗(yàn)格林函數(shù)法采用包含了真實(shí)場地效應(yīng)和路徑效應(yīng)的小震（或余震）記錄作為大震的格林函數(shù)（Irikura，Miyake，2011）；隨機(jī)有限斷層法用有限帶寬白噪聲描述隨機(jī)格林函數(shù)（Motazedian，Atkinson，2005）.這些格林函數(shù)主要用于高頻地震動合成，在低頻段具有明顯的偏差，且數(shù)值格林函數(shù)用于高頻地震動合成時需要極大的計(jì)算資源（Graves，Pitarka，2010）.Wang （1999）、Zhu 和Rivera （2002）等提出的格林函數(shù)算法解決了水平成層介質(zhì)內(nèi)源引起的三維位移響應(yīng)問題，在地震動合成研究中受到關(guān)注（Hartzellet al，2005；Kielinget al，2014；Sunet al，2015）.這類地震動合成方法具有嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)，可以避免混合方法存在的邏輯缺陷，優(yōu)勢在于能夠表達(dá)地殼介質(zhì)內(nèi)地震波的復(fù)雜傳播過程，難點(diǎn)在于震源建模，有研究稱之為基于物理的方法（physics-based）（Sunet al，2015）或基于震源的方法（source-based）（Hartzellet al，2011）.從工程應(yīng)用的角度看，這類方法所用的水平成層地殼速度模型是與當(dāng)前對地殼結(jié)構(gòu)的認(rèn)知水平相匹配的，既可以表達(dá)地殼的主要分層結(jié)構(gòu)，也具有較高的計(jì)算效率.

1 合成地震動的FK 法

1.1 FK 法的計(jì)算原理

根據(jù)位移表示定理，點(diǎn)源引起的地表一點(diǎn)的地震動位移可以表示為（Aki，Richards，2002）

1.2 本文采用的算例

為便于分析比較，本文采用圖1 所示的一個算例.首先，設(shè)定MW6.5 直立走滑地震，斷層長度和寬度分別為32 km 和16 km，上緣埋深為5 km.整個斷層面劃分為16×8 個2 km×2 km的子源.依據(jù)震源參數(shù)定標(biāo)律（姜偉等，2017），平均錯動量取為59 cm.有限斷層震源模型的總地震矩為6.31×1018N·m，由于采用均勻錯動分布，每個子源的地震矩相等，均為4.93×1016N·m.有限斷層震源模型的一個子源的地震矩相當(dāng)于一次MW5.1 地震的地震矩.本文將圖1 所示子源視作點(diǎn)源，以便于后文分析.然后，設(shè)置距離斷層中心地表投影30 km 的基巖場地計(jì)算點(diǎn)A，用于地震動合成和比較分析.地殼速度結(jié)構(gòu)模型采用四川蘆山地區(qū)的模型（Haoet al，2013）（表1），原因在于該地區(qū)研究基礎(chǔ)良好，地殼速度模型的淺處有厚度分別為3 km 和5 km 的兩個薄層，便于分析地殼速度結(jié)構(gòu)對破裂時間和傳播時間的影響.

圖1 本文采用的算例Fig. 1 Calculation example adopted in this study

表1 本文采用的地殼速度結(jié)構(gòu)模型Table 1 Crustal velocity structure model adopted in this study

1.3 FK 法對地殼速度結(jié)構(gòu)的表達(dá)

FK 法采用的頻率波數(shù)域格林函數(shù)表達(dá)了水平成層地殼模型的內(nèi)源引起的響應(yīng)，具體可參見相關(guān)文獻(xiàn)（Zhu，Rivera，2002；Kennett，2009），本文不再贅述.除了格林函數(shù)，地殼速度結(jié)構(gòu)還影響著震源參數(shù).本小節(jié)討論FK 法中地殼速度結(jié)構(gòu)對子源地震矩分配和兩個時滯的影響.

在常用的地震動合成方法中，以子源的錯動量為權(quán)將整個斷層的地震矩分配給各子源，表達(dá)式為

式（2）中的破裂時間表達(dá)子源破裂的觸發(fā)時刻，一般由破裂起始點(diǎn)到子源的距離除以破裂速度得到，即

式中，Lij為破裂起始點(diǎn)到第ij個子源的距離，vr為破裂速度.破裂速度常按下式確定

式中，β為破裂速度與剪切波速vS的比值，常取為0.8.

[1]向邱.品管圈活動在呼吸重癥監(jiān)護(hù)病房的應(yīng)用與效果[J].護(hù)理管理雜志,2013,13(2):104-105.

地殼介質(zhì)剪切波速通常隨深度變化，對破裂速度的分布和各子源的破裂時間有一定的影響.對于表1 的地殼速度模型和圖1 的震源模型（此時斷層埋深另取為0 km，以突出近地表波速復(fù)雜變化的影響），采用同一破裂速度2.7 km/s 和深度相關(guān)破裂速度，計(jì)算得到的破裂時間的分布如圖2 所示.由圖可見，考慮地殼介質(zhì)剪切波速變化時，淺部破裂時間變大，深部破裂時間變小，差值最大達(dá)到0.5 s.這說明有必要考慮地殼結(jié)構(gòu)對破裂速度的影響.

圖2 不同破裂速度計(jì)算的破裂時間.星號表示破裂起始點(diǎn)（a） 同一破裂速度；（b） 深度相關(guān)破裂速度；（c） 深度相關(guān)破裂速度的分布；（d） 圖（b）相對圖（a）的差值Fig. 2 Rupture time calculated by different rupture velocity vr（a） The same vr ；（b） Depth-related vr；（c） Distribution of depth-related vr； （d） Difference between Fig.（b） and Fig.（a）

式（2）中的傳播時間一般由子源到地表點(diǎn)的距離除以剪切波速得到，即

式中，Rij為第ij個子源到地表點(diǎn)的距離.

地殼介質(zhì)中的剪切波速隨深度發(fā)生變化，這會影響地震波傳播速度，影響特點(diǎn)需要仔細(xì)分析.將震源設(shè)置于不同深度，對于不同震中距的地表點(diǎn)，采用同一剪切波速3.4 km/s 和表1 中的深度相關(guān)剪切波速計(jì)算S 波的傳播時間，結(jié)果如圖3 所示.由圖可見，對于深度相關(guān)剪切波速，傳播時間的等值線有多處轉(zhuǎn)折且淺部和深部的增加趨勢不同.圖中的粗折線是兩類初至波的分界線，左側(cè)是震源向上傳播的直達(dá)波先到達(dá)地表，右側(cè)是震源向下傳播的體波反射波先到達(dá)地表，粗折線水平段的位置正好對應(yīng)地殼結(jié)構(gòu)中速度不連續(xù)界面的深度，說明了地殼結(jié)構(gòu)對傳播時間的重要影響.考慮地殼介質(zhì)剪切波速變化時，淺部傳播時間變大，深部傳播時間變小，差距最大達(dá)到3 s.考慮地殼結(jié)構(gòu)對傳播時間的影響也是有必要的，這對于FK 法合成地震動的可靠性和有效頻帶具有重要意義.

圖3 不同剪切波速計(jì)算的S 波的傳播時間（a） 同一剪切波速；（b） 深度相關(guān)剪切波速；（c） 圖（b） 相對圖（a） 的差值Fig. 3 Propagation time of S wave calculated by differentvS（a） The same vS；（b） Depth-related vS ；（c） Difference between Fig.（b） and Fig.（a）

2 格林函數(shù)計(jì)算的影響

考察式（4）可知，格林函數(shù)的計(jì)算式是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕馕霰磉_(dá)式，對頻率、波數(shù)的積分域均是從0 到無窮.在實(shí)際數(shù)值計(jì)算中，頻率和波數(shù)均截止到某最大值，因此FK 法被稱為一種半解析方法.本節(jié)分析頻率和波數(shù)積分范圍的截?cái)嗵幚韺Φ卣鸩ㄓ?jì)算的影響，并考察頻率波數(shù)域格林函數(shù)是否能傳播寬頻帶地震波.

2.1 關(guān)于頻率的積分

一個離散的時程能夠表達(dá)的最高頻率稱為奈奎斯特（Nyquist）頻率.根據(jù)采樣定理，奈奎斯特頻率fN由下式確定，即

在格林函數(shù)計(jì)算中，Nt和dt的取值要考慮震源至地表點(diǎn)的距離范圍和地表點(diǎn)的地震動持時，也要保證fN和df都滿足寬頻帶計(jì)算的要求.在FK 法中，子源格林函數(shù)的零時刻是子源破裂的起始時刻.一般情況下，格林函數(shù)的總時長T都大于20 s.根據(jù)式（11），df小于0.05 Hz，完全能夠表達(dá)格林函數(shù)的譜幅值隨頻率的復(fù)雜變化.

根據(jù)式（10），時間步距dt確定了格林函數(shù)能表達(dá)的最高頻率，對FK 法合成地震動的頻帶具有顯著影響.下面分析fN對合成地震動頻帶的影響.取Nt為4 096，dt為0.01，0.02，0.05，0.1，0.5 s，對應(yīng)的fN為50，25，10，5，1 Hz.采用圖1 中的點(diǎn)源，分別計(jì)算相應(yīng)的格林函數(shù)，然后合成點(diǎn)A的斷層垂直（fault normal，縮寫為FN）分量的地震動.不同fN合成地震動的加速度幅值譜（Fourier amplitude spectrum，縮寫為FAS）的比較如圖4 所示.圖中，左側(cè)是上升時間為0 s 的結(jié)果，表達(dá)單位沖激函數(shù)源的影響；右側(cè)是上升時間為1.5 s 的結(jié)果，表達(dá)考慮震源破裂過程的影響.為了更直觀地表達(dá)合成地震動的頻譜特征，本文采用了Konno 和Ohmachi （1998）的方法對幅值譜進(jìn)行了光滑處理.由圖4 可見，頻率波數(shù)域格林函數(shù)可以表達(dá)fN以下的頻率成分.當(dāng)dt足夠小，fN足夠大時，格林函數(shù)能夠傳播寬頻帶地震波.在接近于fN時，格林函數(shù)一定程度偏小，這是由于數(shù)值計(jì)算的精度損失.對于0.1 Hz 以下的頻段，fN較小的結(jié)果有一定的偏差，這是由于dt較大時，計(jì)算精度較差.對比圖4a 和4b，震源破裂過程的時長（即上升時間）影響合成地震動的譜幅值水平，但在可靠的頻率范圍內(nèi)沒有中間頻段缺失現(xiàn)象.dt除了確定格林函數(shù)的最高頻率，還影響FK 法的計(jì)算量.表2 說明不同dt時FK 法合成地震動的計(jì)算量.可見，當(dāng)dt從0.02 s 變?yōu)?.01 s 時，地震動合成的計(jì)算時間和數(shù)據(jù)存儲空間都變?yōu)樵瓉淼? 倍（本文計(jì)算所用的臺式計(jì)算機(jī)配置為CPU i5-10400、運(yùn)行內(nèi)存16 G）.對于本文算例，計(jì)算量差別不大.但對于汶川MW7.9 地震之類的大地震，除了距離范圍大，斷層面也需要劃分為更多的子源，此時計(jì)算量的差異就十分顯著了.因此，考慮到數(shù)值計(jì)算效率，dt取0.02 s，可以滿足寬頻帶地震動合成的需要.

表2 不同dt 時FK 法合成地震動的計(jì)算量Table 2 Calculation cost of ground motion simulation using FK approach for different dt

圖4 上升時間為0 s （a）和1.5 s （b） 時奈奎斯特頻率對合成地震動加速度幅值譜FAS 的影響Fig. 4 Influence of Nyquist frequency on FAS of synthetic ground motion with rise time of 0 s （a） and 1.5 s （b）

2.2 關(guān)于波數(shù)的積分

FK 法的格林函數(shù)在波數(shù)域求解震源引起的響應(yīng)，很好地解決了數(shù)值穩(wěn)定問題（Zhu，Rivera，2002）.式（4）中關(guān)于波數(shù)的積分，數(shù)值計(jì)算截止到最大波數(shù).零頻最大波數(shù)kmax和波數(shù)間隔dk是提前設(shè)定的.理論上講，kmax越大、dk越小，越有利于格林函數(shù)的計(jì)算精度，但dk變小時計(jì)算量會顯著增加.以表1 中的地殼速度結(jié)構(gòu)模型為例，表3 說明了不同dt、dk和kmax時FK 法格林函數(shù)的計(jì)算量.當(dāng)dt從0.02 s 變?yōu)?.01 s 時，格林函數(shù)計(jì)算時間和數(shù)據(jù)存儲空間分別為原來的4 倍和2 倍.下面分析kmax和dk對合成地震動頻帶和計(jì)算量的影響，除了確定參數(shù)的建議值，還可以了解參數(shù)的合理取值范圍.

表3 不同dt，dk 和kmax 時FK 法格林函數(shù)的計(jì)算量Table 3 Calculation cost of Green’s function in FK approach with different dt, dk and kmax

kmax和dk的單位是1/Xmax，Xmax是點(diǎn)源埋深與點(diǎn)源至地表點(diǎn)的震中距兩者中的較大值.對于圖1 中的點(diǎn)源，Xmax為30 km.取dk為0.1，kmax取為2，5，10，15，20，分別計(jì)算相應(yīng)的格林函數(shù)，然后合成點(diǎn)A的FN 分量地震動.不同kmax合成地震動的FAS 和位移時程的比較如圖5a 所示.從圖中可見，kmax過小時，0.1 Hz 以下和接近fN的頻段的FAS 有一定偏差，其它頻率的差距不明顯.kmax越大，位移計(jì)算結(jié)果越精確.kmax對格林函數(shù)計(jì)算量的影響小，主要影響計(jì)算精度與穩(wěn)定性.kmax取為10 以上時可滿足計(jì)算精度要求，為避免特殊問題，本文建議kmax取為15.

取kmax為15，dk分別取為0.05，0.1，0.2，0.3，0.5.采用圖1 中的點(diǎn)源，分別計(jì)算相應(yīng)的格林函數(shù)，然后合成點(diǎn)A的FN 分量地震動.不同dk合成地震動的FAS 和位移時程的比較如圖5b 所示.從圖中可見，對于1 Hz 以下頻段，dk較大時，合成地震動的偏差隨頻率減低而增加；在1—10 Hz 頻段，dk的影響很小.從fN以上頻段的FAS 可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)AS 受dk的顯著影響并不是單調(diào)變化的，這是因?yàn)樵谑剑?）中，關(guān)于波數(shù)的積分因子隨波數(shù)有明顯的振蕩現(xiàn)象，dk從小變大時，積分點(diǎn)并非單調(diào)變化.dk應(yīng)足夠小，以保證能夠描述積分因子隨波數(shù)的復(fù)雜變化，dk大于0.2 時，位移時程出現(xiàn)計(jì)算錯誤及失穩(wěn)現(xiàn)象.表3 說明，當(dāng)dk從0.1 變?yōu)?.05，0.3 時，格林函數(shù)的計(jì)算時間分別為原來的2 倍和0.33 倍.對于汶川MW7.9 地震之類的大地震，格林函數(shù)的計(jì)算量差距會十分顯著.考慮到計(jì)算精度和計(jì)算效率，本文建議dk取為0.1，更高要求時可取為0.05.

圖5 最大波數(shù)（a）和波數(shù)間隔（b）對合成地震動加速度幅值譜FAS 和位移時程的影響Fig. 5 Influence of the maximum wavenumber （a） and the wavenumber interval （b）on FAS and displacement time history of synthetic ground motion

2.3 地殼速度結(jié)構(gòu)影響一例

地殼速度結(jié)構(gòu)對格林函數(shù)的幅值、波形具有控制作用.在地殼速度結(jié)構(gòu)中，品質(zhì)因子是描述地殼介質(zhì)耗能衰減的參數(shù).下面以品質(zhì)因子為例，分析其對格林函數(shù)頻帶的影響特點(diǎn).對于表1的地殼速度結(jié)構(gòu)模型，分別將品質(zhì)因子取為原值的0.5，1.0，2.0 倍.采用圖1 中的點(diǎn)源，分別計(jì)算相應(yīng)的格林函數(shù)，然后合成點(diǎn)A的FN 分量地震動.不同品質(zhì)因子合成地震動的FAS 的比較如圖6 所示.由圖可見，品質(zhì)因子主要影響1 Hz 以上的高頻地震動，影響程度隨頻率增加.這一分析表明，地殼結(jié)構(gòu)影響不同頻段譜幅值的總體水平，但不影響FK 法合成地震動可靠的頻帶寬度.

圖6 品質(zhì)因子對合成地震動加速度幅值譜FAS 的影響Fig. 6 Influence of quality factor on FAS of synthetic ground motion

3 震源破裂過程的影響

根據(jù)式（3），為了表達(dá)震源破裂過程釋放地震矩需要一定時間、地震矩釋放速率隨時間的變化，地震動合成需要卷積格林函數(shù)與震源時間函數(shù).震源時間函數(shù)（STF）描述地震矩率（或錯動速率）的時間歷程，目前，還很難對每一個子源都估計(jì)一個不同的震源時間函數(shù).一般做法是采用相同的函數(shù)形式，對每一個子源估計(jì)各不相同的上升時間和地震矩.此外，破裂速度控制各子源破裂觸發(fā)時間，也是一個重要參數(shù).本節(jié)討論震源時間函數(shù)、上升時間、破裂速度對合成地震動頻帶的影響，考察標(biāo)準(zhǔn)主要包括兩方面：合成地震動的頻帶寬度是否覆蓋0.1—20 Hz；在整個寬頻帶范圍內(nèi)，這些參數(shù)（或模型）是否會造成某些頻段地震動幅值過小或過大.

3.1 震源時間函數(shù)的影響

迄今為止，地震反演和正演研究中已經(jīng)有多種STF 解析函數(shù)表達(dá)式，包括簡單的數(shù)學(xué)函數(shù)和具有震源動力學(xué)含義的函數(shù).根據(jù)來源和函數(shù)形式，震源時間函數(shù)可以分為簡單類型、三角函數(shù)類型、Brune 類型和Yoffe 類型.本文參考前期研究（Caoet al，2019），選取三角形STF、Liu STF （Liuet al，2006）、Hartzell STF （Hartzellet al，2007）、Brune STF （Brune，1970）和三角形規(guī)則化的Yoffe STF （Tintiet al，2005）等五種典型模型，分析震源時間函數(shù)對合成地震動頻帶的影響.圖7 比較了五種模型表達(dá)的錯動速率及其幅值譜.采用圖1 中的點(diǎn)源，分別合成點(diǎn)A的FN 分量地震動.圖8 比較了五種震源時間函數(shù)模型合成地震動的幅值譜.其中，幅值比較是以具有f?2高頻譜衰減速率的Brune STF 的結(jié)果為參考值.

圖7 五種震源時間函數(shù)的錯動速率（a）及其加速度幅值譜FAS （b）Fig. 7 Slip rate （a） and its FAS （b） for five source time functions

圖8 震源時間函數(shù)對合成地震動加速度幅值譜FAS 的影響Fig. 8 Influence of source time function on FAS of synthetic ground motion

一般來講，STF 的函數(shù)形式對散射地震波的表達(dá)存在幾方面問題（Dregeret al，2007），包括錯動速率的對稱性、錯動速率FAS 中間頻段幅值很小的譜洞、譜高頻衰減速率，一般從這幾方面分析震源時間函數(shù)的模型及其影響.在震源破裂過程中，錯動速率通常先快速增加到最大值然后逐漸變?。―ay，1982）.這說明STF 的錯動速率隨時間的變化不是對稱的，STF 的錯動速率應(yīng)在錯動早期具有一個有限的峰值.這描述了震源破裂過程釋放能量隨時間的變化，主要影響合成地震動的波形.STF 的幅值譜中較大的振蕩稱為譜洞，會導(dǎo)致頻率相關(guān)地震動參數(shù)出現(xiàn)較大偏差.例如，三角形STF 合成地震動的FAS 在1 Hz 和2 Hz 處有明顯低估，Yoffe STF 使相應(yīng)FAS 在3 Hz 處亦有明顯低估，正好對應(yīng)STF 的FAS 的譜洞位置.震源破裂過程釋放地震波的譜幅值隨頻率的變化應(yīng)當(dāng)是連續(xù)的，不應(yīng)有劇烈振蕩.因此，無譜洞的STF 更適用于描述震源破裂過程和地震動合成.此外，STF 應(yīng)具有f-2高頻譜衰減速率，衰減過快或過慢會低估或高估地震動，都不利于合成寬頻帶地震動，例如，Liu STF 在中頻段明顯較大的幅值會高估這個頻段的地震動.由式（3）可知，對于FK 法的震源模型，上升時間含義明確的Hartzell STF 比Brune STF 更適用于描述子源錯動的時間變化，也是本文推薦的最優(yōu)模型.

3.2 上升時間的影響

上升時間表征破裂面上一點(diǎn)從破裂開始直至最終達(dá)到靜態(tài)位錯所歷經(jīng)的時間.根據(jù)相關(guān)研究（Brune，1970；Beresnev，2002），上升時間的頻域等效參數(shù)是震源譜模型中的拐角頻率.對于Hartzell STF，上升時間分別取為0，0.5，1.0，2.0，5.0 s，表示震源錯動時間變化對合成地震動頻帶的影響.采用圖1 中的點(diǎn)源，分別合成點(diǎn)A的FN 分量地震動.不同上升時間合成地震動的FAS 的比較如圖9a 所示.從圖中可見，上升時間是控制地震動幅值的最重要因素，比格林函數(shù)的控制作用要大很多.隨著上升時間的增大，地震動譜幅值顯著降低.這說明描述錯動速率的上升時間控制了震源破裂釋放高頻地震波的能量，錯動越快釋放的高頻地震動越強(qiáng).結(jié)合圖4 和圖9 可知，上升時間顯著影響合成地震動的譜幅值水平，但在可靠的頻率范圍內(nèi)沒有中間頻段缺失現(xiàn)象.

圖9 上升時間（a）和破裂速度（b）對合成地震動加速度幅值譜FAS 的影響Fig. 9 Influence of rise time （a） and rupture velocity （b） on FAS of synthetic ground motion

3.3 破裂速度的影響

根據(jù)式（2），震源時間函數(shù)和上升時間描述一個子源的錯動過程，各子源的錯動過程按一定時滯疊加組成整個震源破裂面的破裂過程.下面研究子源疊加是否影響合成地震動的頻帶.為此，分別將破裂速度取為剪切波速的0.6，0.7，0.8，0.9，1.0 倍，計(jì)算破裂速度和破裂時間.采用Hartzell STF 和1.5 s 上升時間，采用圖1 中的整個有限斷層震源模型，合成點(diǎn)A的FN 分量地震動.不同破裂速度合成地震動的FAS 的比較，如圖9b 所示.從圖中可見，在0.1—0.5 Hz 范圍內(nèi)，F(xiàn)AS 隨破裂速度增加.這與預(yù)期相符，原因在于破裂速度越大，各子源地震動的時滯越小，合成地震動越強(qiáng).在1 Hz 以上高頻段，破裂速度對FAS 的影響不顯著.在0.5—1.0 Hz 范圍內(nèi)，破裂速度的影響規(guī)律與低頻段相反，分析發(fā)現(xiàn)，這是由于圖1 中均勻錯動分布引起的有限斷層模型人為周期性.對于不均勻錯動分布，人為周期性會大大減小.在實(shí)際地震動合成中，破裂速度對合成地震動可靠的頻帶寬度的影響較小.

4 討論與結(jié)論

FK 法是基于有限斷層震源模型的地震動合成方法，采用頻率波數(shù)域格林函數(shù)表達(dá)地震波在地殼介質(zhì)內(nèi)的復(fù)雜傳播過程，采用震源時間函數(shù)和上升時間描述子源的破裂過程，具有嚴(yán)密的理論基礎(chǔ).FK 法充分表達(dá)了地殼速度結(jié)構(gòu)對格林函數(shù)、子源地震矩、破裂時間和傳播時間的影響，更符合地震波傳播規(guī)律.格林函數(shù)的計(jì)算分析表明，F(xiàn)K 法的格林函數(shù)具有表達(dá)寬頻帶地震波傳播的能力.在計(jì)算格林函數(shù)時，時間步距、波數(shù)間隔以及零頻最大波數(shù)應(yīng)取值合理，以保證合成地震動的頻帶寬度、計(jì)算精度和計(jì)算效率，本文建議dt取0.02 s、dk取0.1、kmax取15、Nt按需取值.本文以品質(zhì)因子為例，分析了地殼速度結(jié)構(gòu)對合成地震動頻帶的影響.研究表明，地殼結(jié)構(gòu)影響地震動譜幅值的總體水平，但可靠的頻帶寬度不變.震源破裂過程的影響研究表明，F(xiàn)K 法的震源破裂過程能夠輻射寬頻帶地震波，這需要選取合適的震源時間函數(shù)、對上升時間和破裂速度進(jìn)行合理約束.震源時間函數(shù)對震源輻射地震波的頻譜成分具有控制性作用，應(yīng)滿足錯動速率對稱性、譜洞、譜衰減速率等方面的要求，本文建議選用Hartzell STF 描述子源錯動過程.上升時間和破裂速度影響合成地震動的譜幅值的總體水平，在可靠的頻率范圍內(nèi)沒有中間頻段缺失現(xiàn)象.子源地震動的疊加應(yīng)注意避免人為周期性的影響.總之，在合理約束震源上升時間和破裂速度、選用震源時間函數(shù)和地殼速度結(jié)構(gòu)模型時，F(xiàn)K 法合成地震動能夠表達(dá)寬頻帶范圍，在多分量寬頻帶地震動合成中有良好的應(yīng)用前景.