位相突變情況下的反射定律和折射定律

田徐騰越 高華 許玲玲 ??

摘要：前不久，世界頂級(jí)科學(xué)期刊《Science》報(bào)道了一種新穎的位相突變界面并通過實(shí)驗(yàn)得以實(shí)現(xiàn).當(dāng)光波入射到這種界面上時(shí)，光波的位相不是連續(xù)積累的，而是由于界面上分布著的微型光學(xué)振蕩器的作用使得光波的位相發(fā)生突變.因此，光波在這種光學(xué)界面上的行為將與常規(guī)的反射、折射大不相同.本文以此為出發(fā)點(diǎn)推導(dǎo)了在引入位相突變情況下的反射定律、折射定律所具有的新形式，并與傳統(tǒng)的反射定律、折射定律進(jìn)行了比較.結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在引入位相突變時(shí)，反射角不再等于入射角，折射角、入射角的正弦值也不再與折射率成反比關(guān)系，二者均可根據(jù)位相突變的情形進(jìn)行隨意的調(diào)節(jié).這一突出特性在現(xiàn)代光學(xué)設(shè)計(jì)等各個(gè)方面有著巨大的運(yùn)用潛能，文章最后以新的反射定律為例，利用反射角與入射角不再相等的特性成功設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了光的單向傳播.

關(guān)鍵詞：反射定律；折射定律；位相突變；單向通光

光波具有三個(gè)信息，振幅、頻率和位相，因此一個(gè)光束的物理特性與它在傳播過程中所累積位相的是息息相關(guān)的.在自由空間（或均勻介質(zhì)中）光波的位相是連續(xù)變化的，那么如果有這么一種材料或者界面，使得光波在通過它時(shí)能夠獲得一個(gè)位相突變，光的傳播行為將與均勻介質(zhì)中的情況大大不同.這種傳播過程中的相位不連續(xù)性，或者說相位突變已經(jīng)被科學(xué)家研究出來并且通過實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)，其報(bào)道發(fā)表在自然科學(xué)的頂尖期刊《Science》上[1].

報(bào)道中的位相突變界面是由一系列亞波長尺度的微型光學(xué)振蕩器在一個(gè)二維界面上有規(guī)律地排列而成，振蕩器對(duì)入射波的共振響應(yīng)導(dǎo)致其位相發(fā)生突變.由于各個(gè)光學(xué)振蕩器可以隨意設(shè)置，所以位相突變的大小也可以隨著入射位置隨意設(shè)定隨意變化.這樣當(dāng)光波入射時(shí)，比如平面波入射，經(jīng)過位相突變界面，其等相面上各點(diǎn)的位相將不再相同，相鄰兩點(diǎn)之間可能產(chǎn)生一個(gè)位相差.

位相突變給光波的傳播行為引入了一個(gè)新的自由度，我們最常規(guī)的光學(xué)傳播規(guī)律，比如反射定律、折射定律都將重新改寫.

本文中，我們不研究這種位相突變界面的相關(guān)情況，而是假設(shè)獲得這種界面后，光波的基本傳播規(guī)律將如何改變，通過推導(dǎo)給出位相突變情況下的反射定律和折射定律的新形式，比較其與均勻介質(zhì)中的反射、折射定律的區(qū)別，并進(jìn)一步拓展這種位相突變界面在現(xiàn)代光學(xué)中的應(yīng)用.

1反射定律和折射定律的一般表述和物理根源

光波入射到不同介質(zhì)的界面上會(huì)發(fā)生反射和折射現(xiàn)象.光的反射定律和折射定律是幾何光學(xué)知識(shí)體系中兩個(gè)非常重要的基本定律.由于光波屬于電磁波，本文依據(jù)電動(dòng)力學(xué)的知識(shí)從電磁波的邊界條件出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)，給出反射定律和折射定律的物理根源.

電磁波入射到介質(zhì)界面時(shí)，發(fā)生的反射和折射現(xiàn)象均屬于電磁學(xué)的邊值關(guān)系問題，它由電磁波的基本物理量在邊界上的行為來確定.

下面我們就應(yīng)用電磁場(chǎng)邊值關(guān)系來分析反射、折射規(guī)律.

如圖1所示，介質(zhì)1和介質(zhì)2 的分界面為無窮大平面（z=0面），平面電磁波從介質(zhì)1入射到界面上（入射面為xz面），在界面上產(chǎn)生反射和折射，反射波和折射波也為平面波， θi、θr、θt分別表示入射角、反射角和折射角.設(shè)入射波、反射波和折射波的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為E1、Er、Et，波矢量分別為Ki、Kr、Kt，為了簡單起見，設(shè)入射電磁場(chǎng)為時(shí)諧場(chǎng)，它們的平面波表示式分別為：

Ei=Ei0ei（ki ·r-ωt）

Er=Er0ei（kr·r-ωt）

Et=Et0ei（kt·t-ωt）（1）

其界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量相等，對(duì)應(yīng)的邊值關(guān)系為[2]：

n×（E2-E1）=0（2）

介質(zhì)1中的總場(chǎng)為入射波和反射波場(chǎng)強(qiáng)的疊加，而介質(zhì)2中只有折射波，因此由邊界條件

n×（Ei+Er）=n×Et

將（1）式代入，得

n×（Ei0eiki·r+Er0eikr·r）=n×Et0eikt·r（3）

（3）式對(duì)整個(gè)介質(zhì)分界面均成立，即對(duì)z=0和任意x，y成立，因此三個(gè)指數(shù)因子必須在分界面上完全相等，即

ki·r=kr·r=kt·r（4）

又因?yàn)閤和y是任意的，所以它們的系數(shù)應(yīng)該各自相等，即

kix=krx=ktx（5）

kiy=kry=kty（6）

由于入射光線在xz平面內(nèi)，即kiy=0，所以

kry=kty=0（7）

由此可知入射光線、反射光線、折射光線均在入射面（xz面）內(nèi)，這就是反射定律和折射定律中的“反射光線（折射光線）、入射光線和法線在同一平面內(nèi)”的物理來源.

另外由波矢的x分量相等得：

kisinθi=krsinθr=ktsinθt（8）

其中ki=kr=2n1π/λ0、kt=2n2π/λ0，于是有：

θi=θr（9）

n1sinθi=n2sinθt （10）

此即反射定律和折射定律中的反射角等于入射角，折射角與入射角正弦的比值等于折射率的反比.獲得此結(jié)論的前提是光波在整個(gè)傳播過程其位相是逐漸積累的，是漸變的.那么，如果傳輸過程中遇到位相突變，其結(jié)果又將如何呢？下面我們將詳細(xì)推導(dǎo).

2引入位相突變后，反射定律和折射定律的新形式

假設(shè)圖1中的界面不再是常規(guī)的界面，而是文獻(xiàn)[1]中所報(bào)道的位相突變界面，光波入射到界面上，其位相發(fā)生突變，突變的大小與入射點(diǎn)所在的光學(xué)振蕩器的特性有關(guān)，即與入射點(diǎn)所在的位置有關(guān)，=（x，y）.如圖2所示，其中的界面即為位相突變界面，由A點(diǎn)出發(fā)的光波由界面折射到達(dá)B點(diǎn)，AB之間有兩個(gè)無限接近的傳播路徑，兩路徑與界面相遇時(shí)，位相均發(fā)生突變，但由于相遇的位置不同，其位相突變的大小不同，設(shè)其分別為和+d以及二者與界面交點(diǎn)之間的距離為dx.由于兩個(gè)路徑無限接近，所以他們到達(dá)B點(diǎn)時(shí)累計(jì)的位相近似相等，則endprint

[k0nisin（θi）dx+（+d）]-[k0ntsin（θt）dx+]=0（11）

其中θi是入射角，θt是折射角，如果其位相變化沿著分界面的梯度是常數(shù)，則

sin（θt）nt-sin（θi）ni=λ2π ddx（12）

由此可見，（12）式與前面推導(dǎo)的折射定律公式有著明顯的不同，改變ddx的大小，可以得到任意的折射角，只有當(dāng)ddx=0時(shí)，此折射定律才與常規(guī)的折射定律相同.

同理，當(dāng)在分界面處引入了位相突變，反射定律也將發(fā)生明顯的改變，如圖3所示，依然假設(shè)兩個(gè)傳播途徑無限接近，在B點(diǎn)處的位相相等，可以推導(dǎo)得出：

[k0nisin（θi）dx+]-[k0nisin（θr）dx++d]=0（13）

nisin（θi）-nisin（θr）=λ2π ddx（14）

由此可見，只有當(dāng)ddx=0時(shí)，反射角才等于入射角，而當(dāng)ddx取正負(fù)不同的值時(shí)，反射角既可以大于入射角也可以小于入射角.通過以上的推導(dǎo)可知，在引入位相突變的情況下，反射定律和折射定律都將有所變化，反射角可以不再等于入射角，折射角與入射角的正弦值之比也不再與折射率的大小成反比.這就給光的傳播引入一個(gè)新的自由度，對(duì)現(xiàn)代光學(xué)的設(shè)計(jì)及應(yīng)用非常有利.

3引入位相突變后，反射定律和折射定律的應(yīng)用舉例

引入位相突變界面后，反射角、折射角可以任意控制，這一特性在現(xiàn)代光學(xué)中有著非常重要應(yīng)用.在這里我們就用這種位相突變界面設(shè)計(jì)一個(gè)非常重要的光學(xué)單通元件，俗稱光二極管.它只允許光波從一個(gè)方向上入射時(shí)可以通過，而相反的方向入射時(shí)，光波全部被截止[3-5].

由于光波在空間的傳播遵循光路可逆的原理，所以常規(guī)光學(xué)設(shè)計(jì)中，單向通光并不容易獲得[6].而運(yùn)用界面突變材料卻把此問題變得特別簡單.

如圖4所示，我們利用這種位相突變材料（這里采用折射率漸變材料，GIM）做成波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，當(dāng)光波在波導(dǎo)內(nèi)表面反射時(shí)，其入射角與反射角不再相等.圖中實(shí)線表示實(shí)際光線的傳播路徑，虛線表示常規(guī)材料的反射方向（反射角等于入射角）.光波從波導(dǎo)左側(cè)入射時(shí)，每次反射其反射角均小于入射角，傳播光線的方向變得越來越陡，在兩層GIMs中多次來回反射，最終被波導(dǎo)界面材料中的金屬成分吸收，甚至可能獲得與入射角度同側(cè)的反射角，改變傳播方向向回傳播，起到截止光沿波導(dǎo)傳播的作用.而當(dāng)光線由波導(dǎo)右側(cè)入射時(shí)，反射角始終大于入射角，反射角度逐漸變大，傳播光線變得越來越平，甚至可以以平行于界面的方向傳播透射出去.這樣，就實(shí)現(xiàn)了光的單向傳播波導(dǎo).于是傳統(tǒng)光學(xué)設(shè)計(jì)中的難題在引入了位相突變材料后變得迎刃而解.

4結(jié)論

我們用電動(dòng)力學(xué)的知識(shí)推導(dǎo)了常規(guī)的光波反射定律、折射定律，揭示了反射角、折射角與入射角之間大小關(guān)系的物理根源.在文章中引入了科研前沿的新發(fā)現(xiàn)，位相突變界面，并推導(dǎo)出在位相突變情況下的反射定律和折射定律，給出了此二定律更一般的形式.得出了反射角、折射角的大小可以通過設(shè)計(jì)位相突變界面的特性任意獲得.這一新的物理發(fā)現(xiàn)和物理特性在現(xiàn)代光學(xué)中有著廣泛且重要的應(yīng)用，等待著科研人員去探索和發(fā)現(xiàn).文章利用反射角不等于入射角的特性，設(shè)計(jì)了一個(gè)簡單的單透結(jié)構(gòu)，其原理簡單，但是應(yīng)用卻非常廣泛.

參考文獻(xiàn)：

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