電磁感應(yīng)中的導(dǎo)棒運(yùn)動模型歸類分析

古煥標(biāo)

摘要：導(dǎo)棒運(yùn)動模型是電磁感應(yīng)問題命題的“基本道具”，也是高考的熱點(diǎn)，考查的知識點(diǎn)多，題目的綜合性強(qiáng)，物理情境變化空間大，是高考復(fù)習(xí)中的難點(diǎn).導(dǎo)棒運(yùn)動模型可分為單桿、雙桿模型；導(dǎo)軌放置方式又分為水平、傾斜和豎直，所以受命題者青睞.

關(guān)鍵詞：電磁感應(yīng)；導(dǎo)棒運(yùn)動；歸類分析

1考綱要求與命題特點(diǎn)

導(dǎo)棒運(yùn)動模型是高中物理電磁學(xué)中的典型模型，常涉及動力學(xué)、功能關(guān)系、動量的觀點(diǎn)和電磁學(xué)等問題，可綜合多個高中物理的主干知識（如牛頓運(yùn)動定律、功能關(guān)系等）.此類問題在《考試大綱》中作為電磁感應(yīng)的綜合問題，是高中物理的重點(diǎn)內(nèi)容之一，同時(shí)也是高考命題的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容；從高考的命題形式看，此類問題既有單獨(dú)考查的選擇題，也有綜合考查的計(jì)算題，且綜合命題的頻率高，難度大.

2導(dǎo)棒運(yùn)動模型的分類與解題思路

對于電磁感應(yīng)中的導(dǎo)棒運(yùn)動模型，可分為單桿、雙桿模型，每一種模型按導(dǎo)棒運(yùn)動的軌道平面來分類，又可分為水平軌道面、傾斜軌道面、豎直軌道面的導(dǎo)棒運(yùn)動.我們可以從導(dǎo)棒在不同的運(yùn)動軌道平面入手分析導(dǎo)棒的受力和運(yùn)動情況，建立導(dǎo)棒運(yùn)動的物理模型，運(yùn)用動力學(xué)知識、功能關(guān)系、動量觀點(diǎn)和電磁學(xué)等知識來綜合解題.求解導(dǎo)棒問題的一般思路如圖1所示.

3導(dǎo)棒運(yùn)動模型的實(shí)例分析

31水平軌道面的導(dǎo)棒運(yùn)動

例1如圖2所示，在水平面內(nèi)固定著U形光滑金屬導(dǎo)軌，軌道間距為50cm，金屬導(dǎo)體棒ab質(zhì)量為01kg，電阻為02Ω，橫放在導(dǎo)軌上，電阻R的阻值是08Ω（導(dǎo)軌其余部分電阻不計(jì)）.現(xiàn)加上豎直向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度為02T的勻強(qiáng)磁場.用水平向右的恒力F=01N拉動ab，使其從靜止開始運(yùn)動，則

A.導(dǎo)體棒ab開始運(yùn)動后，電阻R中的電流方向是從P流向M

B.導(dǎo)體棒ab運(yùn)動的最大速度為10m/s

C.導(dǎo)體棒ab開始運(yùn)動后，a、b兩點(diǎn)的電勢差逐漸增加到1V后保持不變

D.導(dǎo)體棒ab開始運(yùn)動后任一時(shí)刻，F(xiàn)的功率總等于導(dǎo)體棒ab和電阻R的發(fā)熱功率之和

解析由右手定則可判斷電阻R中的感應(yīng)電流方向是從M流向P，A錯；當(dāng)金屬導(dǎo)體棒受力平衡時(shí)，其速度將達(dá)到最大值，由F=BIL，I=EmR總=BLvmR總可得F=B2L2vmR總，代入數(shù)據(jù)解得vm=10m/s，B對；感應(yīng)電動勢的最大值Em=1V，a、b兩點(diǎn)的電勢差為路端電壓，最大值小于1V，C錯；在達(dá)到最大速度以前，F(xiàn)所做的功一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，另一部分轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒的動能，D錯.

例2如圖3所示，兩根相距為d=020m的平行金屬長導(dǎo)軌固定在同一水平面內(nèi)，并處于豎直方向的勻強(qiáng)磁場中，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=020T.導(dǎo)軌上面橫放著兩條金屬細(xì)桿，構(gòu)成矩形回路.每條金屬細(xì)桿的電阻r=025Ω.回路中其余部分的電阻可不計(jì).已知兩金屬細(xì)桿在平行于導(dǎo)軌的拉力作用下沿導(dǎo)軌朝相反的方向勻速平移，速度大小都是v=50m/s，不計(jì)導(dǎo)軌的摩擦.

（1）求作用于每條細(xì)桿的拉力的大??；

（2）求兩金屬細(xì)桿在間距增加040m的滑動過程中共產(chǎn)生的熱量.

解析（1）無論磁場方向是豎直向上還是豎直向下，當(dāng)兩金屬細(xì)桿都以速度v朝相反方向滑動時(shí)，兩金屬細(xì)桿產(chǎn)生大小相同方向一致的感應(yīng)電動勢.

E1=E2=Bdv

由閉合電路歐姆定律，回路中的電流

I=E1+E22r

因拉力與安培力平衡，作用于每根金屬桿的拉力大小為F1=F2=BdI

解得：F1=F2=B2d2vr=32×10-2N.

（2）設(shè)金屬桿之間增加的距離為ΔL，則兩金屬桿共產(chǎn)生的熱量Q=I2·2r·ΔL2v，

代入數(shù)據(jù)得Q=128×10-2J.

32傾斜軌道面的導(dǎo)棒運(yùn)動

例3如圖4所示，兩根足夠長的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ，兩導(dǎo)軌間距為L，上端接有阻值為R的電阻.一根質(zhì)量為m的均勻直導(dǎo)體棒ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直.整套裝置處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻可忽略.讓導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌由靜止開始下滑，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒接觸良好，不計(jì)它們之間的摩擦.重力加速度為g.下列選項(xiàng)正確的是

A.導(dǎo)體棒下滑時(shí)的最大加速度為gsinθ

B.導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動時(shí)所受的安培力為mgsinθ

C.導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動時(shí)產(chǎn)生的電動勢為mgtanθBLR

D.導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動時(shí)的速度為mgRsinθB2L2cos2θ

解析導(dǎo)體棒剛開始下滑時(shí)所受合外力最大，為mgsinθ，所以產(chǎn)生的加速度最大，為gsinθ，A正確；當(dāng)導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動時(shí)，由受力分析知，安培力F=mgtanθ，所以B錯誤；由F=BIL得I=FBL=mgtanθBL，所以電動勢E=IR=mgtanθBLR，C正確；由E=BLvcosθ，得v=mgRsinθB2L2cos2θ，所以D正確.

例4如圖5所示，兩根足夠長的平行金屬導(dǎo)軌固定在傾角θ=30°的斜面上，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，間距L=04m.導(dǎo)軌所在空間被分成區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，兩區(qū)域的邊界與斜面的交線為MN，Ⅰ中的勻強(qiáng)磁場方向垂直斜面向下，Ⅱ中的勻強(qiáng)磁場方向垂直斜面向上，兩磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B=05T.在區(qū)域Ⅰ中，將質(zhì)量m1=01kg，電阻R1=01Ω的金屬條ab放在導(dǎo)軌上，ab剛好不下滑.然后，在區(qū)域Ⅱ中將質(zhì)量m2=04kg，電阻R2=01Ω的光滑導(dǎo)體棒cd置于導(dǎo)軌上，由靜止開始下滑.cd在滑動過程中始終處于區(qū)域Ⅱ的磁場中，ab、cd始終與導(dǎo)軌垂直且兩端與導(dǎo)軌保持良好接觸，取g=10m/s2，問：

（1） cd下滑的過程中，ab中的電流方向；

（2） ab剛要向上滑動時(shí)，cd的速度v多大；endprint

（3）從cd開始下滑到ab剛要向上滑動的過程中，cd滑動的距離x=38m，此過程中ab上產(chǎn)生的熱量Q是多少.

解析（1）根據(jù)右手定則判知cd中電流方向由d流向c，故ab中電流方向由a流向b.

（2）開始放置ab剛好不下滑時(shí)，ab所受摩擦力為最大摩擦力，設(shè)其為Fmax，有Fmax=m1gsinθ

設(shè)ab剛好要上滑時(shí)，cd棒的感應(yīng)電動勢為E，由法拉第電磁感應(yīng)定律有

E=BLv

設(shè)電路中的感應(yīng)電流為I，由閉合電路歐姆定律有

I=ER1+R2

設(shè)ab所受安培力為F安，有

F安=BIL

此時(shí)ab受到的最大摩擦力方向沿斜面向下，由平衡條件有F安=m1gsinθ+Fmax解得：v=5m/s.

（3）設(shè)cd棒的運(yùn)動過程中電路中產(chǎn)生的總熱量為Q總，由能量守恒定律，有

m2gxsinθ=Q總+12m2v2

由串聯(lián)電路規(guī)律有

Q=R1R1+R2Q總

聯(lián)立解得：Q=13J.

33豎直軌道面的導(dǎo)棒運(yùn)動

例5如圖6所示，豎直平面內(nèi)有一足夠長的寬度為L的金屬導(dǎo)軌，質(zhì)量為m的金屬導(dǎo)體棒ab可在導(dǎo)軌上無摩擦地上下滑動，且導(dǎo)體棒ab與金屬導(dǎo)軌接觸良好，ab電阻為R，其他電阻不計(jì).導(dǎo)體棒ab由靜止開始下落，過一段時(shí)間后閉合開關(guān)S，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)體棒ab仍然做變速運(yùn)動，則在以后導(dǎo)體棒ab的運(yùn)動過程中，下列說法中正確的是

A.導(dǎo)體棒ab做變速運(yùn)動期間加速度一定減小

B.單位時(shí)間內(nèi)克服安培力做的功全部轉(zhuǎn)化為電能，電能又轉(zhuǎn)化為內(nèi)能

C.導(dǎo)體棒減少的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為閉合電路中的電能和電熱之和，符合能的轉(zhuǎn)化和守恒定律

D.導(dǎo)體棒ab最后做勻速運(yùn)動時(shí)，速度大小為v=mgRB2L2

解析導(dǎo)體棒由靜止下落，在豎直向下的重力作用下做加速運(yùn)動.開關(guān)閉合時(shí)，由右手定則判定，導(dǎo)體中產(chǎn)生的電流方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，再由左手定則，可判定導(dǎo)體棒受到的安培力方向向上，F(xiàn)=BIL=BBLvRL，導(dǎo)體棒受到的重力和安培力的合力變小，加速度變小，物體做加速度越來越小的運(yùn)動，A正確；最后合力為零，加速度為零，做勻速運(yùn)動，由F-mg=0得，BBLvRL=mg，v=mgRB2L2，D正確；導(dǎo)體棒克服安培力做功，減少的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，由于電流的熱效應(yīng)，電能又轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，B正確.

例6相距L=15m、足夠長的金屬導(dǎo)軌豎直放置，質(zhì)量m1=1kg的金屬棒ab和質(zhì)量m2=027kg的金屬棒cd，均通過自身兩端的套環(huán)水平地套在金屬導(dǎo)軌上，如圖7甲所示，虛線上方磁場的方向垂直紙面向里，虛線下方磁場的方向豎直向下，兩處磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同.ab棒光滑，cd棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ=075，兩棒總電阻為18Ω ，導(dǎo)軌電阻不計(jì).ab棒在方向豎直向上、大小按圖7乙所示規(guī)律變化的外力F作用下，從靜止開始沿導(dǎo)軌勻加速運(yùn)動，同時(shí)cd棒也由靜止釋放.（g取10m/s2）

（1）求ab棒加速度的大小和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；

（2）已知在2s內(nèi)外力F做了268J的功，求這一過程中兩金屬棒產(chǎn)生的總焦耳熱；

（3）求出cd棒達(dá)到最大速度所需的時(shí)間t0，并在圖7丙中定性畫出cd棒所受摩擦力fcd隨時(shí)間變化的圖線.

解析（1）對ab，由牛頓第二定律得

F-m1g-FA=m1a

其中FA=BIL=BBLvRL=B2L2atR

所以F=m1g+m1a+B2L2atR由圖7乙的截距可知，

m1g+m1a=11N，解得a=1m/s2

由圖7乙的斜率可知：

B2L2aR=146-112-0，解得B=12T.

（2）v=at=2m/s

h=12at2=2m

對ab棒有WF+WG1+WA

=12m1v2-0，

代入數(shù)據(jù)，解得WA=-48J，Q熱=-WA=48J.

（3） cd棒達(dá)到最大速度時(shí)，

m2g=fcd，fcd=μN(yùn)=μFA=μB2L2at0R，

m2g=μB2L2at0R，解得t0=2s.

cd棒所受摩擦力fcd隨時(shí)間變化的圖線如圖8所示.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉樹田電磁感應(yīng)導(dǎo)軌類問題解題思路的優(yōu)化[J].物理教學(xué)，2014（1）：48-51.

[2]王珍惠《電磁感應(yīng)》2011高考試題分類賞析[J].中學(xué)物理，2011，29（11）：31-33.endprint