正弦函數(shù)應(yīng)用于物理的障礙分析與教學(xué)建議

袁蕓+袁海泉

摘要：正弦函數(shù)的非線性、周期性、對稱性特征在高中物理中的應(yīng)用面很廣，本文通過對其特征的闡釋，分析了正弦函數(shù)應(yīng)用于物理的障礙，并結(jié)合特征和學(xué)生的理解障礙提出了有效的教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：正弦函數(shù)；特征；障礙；教學(xué)建議

函數(shù)圖象能夠生動形象地表示物理過程、反映物理規(guī)律，并且有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生對知識的掌握程度以及遷移能力.尤其是正弦圖象類題型已經(jīng)成為高中物理的重點內(nèi)容，同時也是高考中熱點考查問題.例如，正弦交流電的電動勢和電流瞬時值問題，機械振動的位移時間關(guān)系以及機械波的波動圖象等等.然而很多學(xué)生面對圖象題的時候，并不十分清楚其所表示的物理規(guī)律的內(nèi)涵.

本文就正弦函數(shù)圖象的特征進行闡述，分析了正弦函數(shù)應(yīng)用于物理的障礙，并提出有效的教學(xué)建議，以期對高中生分析和應(yīng)用此類相關(guān)問題起到重要的啟發(fā)作用.

1正弦函數(shù)圖象的特征

11非線性

高中階段的物理圖象可以分為線性圖象和非線性圖象，對于線性圖象的分析一般來說較為簡單，而且已經(jīng)有一套行之有效的辦法.但是，從本質(zhì)上來說，線性圖象只是非線性圖象的特例，非線性圖象相對于線性圖象來說，較為復(fù)雜.非線性圖象由于物理量變化的非單調(diào)性，斜率的變化，拐點的出現(xiàn)等等都會對物理過程分析帶來障礙，這恰恰也是高考中的重要考點.正弦圖象的非線性特征是學(xué)生理解和分析的難點，我們在學(xué)會應(yīng)用線性圖象的同時，就簡單推廣到非線性的問題導(dǎo)致理解錯誤，因而應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用非線性圖象解決物理問題的能力.所以，關(guān)注正弦函數(shù)的非線性及其處理有重要的意義.

12周期性

周期性是正弦函數(shù)的一個重要特征.在高中物理中，周期性的物理問題占有很重要的地位，正弦函數(shù)的周期性更是重點和熱點，涉及到的內(nèi)容有簡諧運動、波動、交流電等問題.學(xué)生理解的難點在于簡諧運動的周期；波動的周期性和波傳播的雙向可能性；正弦交變電流的周期性引起的電場力或電場力做功的周期性.這些問題都與正弦圖象有密不可分的聯(lián)系，并且運動的周期性會導(dǎo)致多解性，周期性多解問題是高中物理的難點，也是考查的重點，因此掌握解答此類問題的方法和技巧十分重要.

13對稱性

以簡諧運動為例，質(zhì)點遠離平衡位置的過程中，x增大，F(xiàn)增大，a增大，a與v反向，v減小，動能減小；質(zhì)點靠近平衡位置的過程中，x減小，F(xiàn)減小，a減小，a與v同向，v增大，動能增大；經(jīng)過同一位置時，位移、回復(fù)力、加速度、速率、動能一定相同.理解正弦圖象的對稱性能夠使學(xué)生對物理過程的分析更加簡潔清晰，利用對稱性往往能為分析多過程問題提供一種便捷途徑，尤其是在周期性的物理過程當(dāng)中，更能體現(xiàn)出學(xué)生對于物理問題的理解程度和對物理過程的整體把握能力.

2正弦函數(shù)應(yīng)用于物理的障礙分析

21學(xué)生對于非線性當(dāng)作線性處理的理解存在障礙

正弦圖象所反映的物理過程一般較為復(fù)雜，例如物體做簡諧運動位移隨時間的變化關(guān)系，單擺作微角擺動時為簡諧振動，也就是說，單擺的微角擺動具有簡諧振動的特征，振動周期T=2πLg.事實上，當(dāng)單擺的擺角小于5°時，常常是采用將其振動的非線性方程線性化的方法，克服了數(shù)學(xué)上的困難，并且描述了周期是一個與振幅大小無關(guān)的常數(shù).根據(jù)牛頓第二定律，對于擺長為L，質(zhì)量為m，處在均勻重力場中的單擺，其振動方程為

d2θdt2+gLsinθ=0

當(dāng)擺角小于5°時，可用θ代替sinθ，單擺的振動方程可線性化為

d2θdt2+glθ=0

解此θ的線性方程可以得到單擺的振動周期T=2πl(wèi)g.高中學(xué)生對于上述把非線性當(dāng)作線性處理的過程有理解障礙是必然的，但是筆者認為，基于高中學(xué)生的認知水平，他們能夠理解的是，單擺在運動過程中受到的回復(fù)力是非線性力mgsinθ，其隨時間的變化關(guān)系是正弦函數(shù)，是非線性的.在單擺的初始擺角小于5°的情況下，可以使此回復(fù)力線性化為mgθ.所以，教材中也并未要求學(xué)生掌握單擺周期公式的推導(dǎo)，只是要求學(xué)生通過實驗驗證了單擺的周期與振幅、質(zhì)量、擺長無關(guān).但是這種把非線性當(dāng)做線性處理的方法，對于學(xué)生理解非線性函數(shù)圖象是非常有幫助的.

22學(xué)生易忽視正弦函數(shù)圖象的周期性

在解決關(guān)于正弦圖象的問題時，例如簡諧運動、波動、交流電等問題，學(xué)生往往考慮不周，導(dǎo)致漏解，從而在解題的完備性方面有所欠缺.這類問題在高考題中時常會出現(xiàn)，學(xué)生之所以經(jīng)常會忽視正弦函數(shù)的周期性，源于學(xué)生對物理規(guī)律的理解程度不夠，分析與綜合能力較弱以及對物理問題的思維層次不高，應(yīng)當(dāng)引起重視.

例1 如圖1所示，在xOy平面內(nèi)有一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波，頻率為2.5Hz.在t=0時，xP=2m的P點位于平衡位置，速度沿-y方向；xQ=6m的Q點位于平衡位置下方最大位移處.求：波的傳播速度v.

解析簡諧波沿x正向傳播，P點位于平衡位置，速度向下，Q點位于平衡位置下方最大位移處，學(xué)生很容易忽視其周期性，誤認為P、Q兩點之間距離就是34λ.事實上，考慮周期性，ΔxPQ=nλ+34λ（n=0，1，2，……），波長λ=164n+3m（n=0，1，2，……），波速v=λf=404n+3m/s（n=0，1，2，……）.

23學(xué)生對于相位概念的理解有偏差

相位的概念對于理解簡諧運動以及交流電的變化等問題具有重要的作用，但是由于相位的概念比較抽象，學(xué)生理解起來普遍感到困難，所以在教學(xué)中應(yīng)給予重視.在人教版高中物理教材選修3-4中提到，在物理學(xué)中用不同的相位來描述周期性運動在各個時刻所處的不同狀態(tài).我們可以用正弦函數(shù)圖象x=Asin（ωt+φ）來描述簡諧運動的位移x與時間t之間的定量關(guān)系.相當(dāng)于角度的量（ωt+φ）確定時，sin（ωt+φ）的值也就確定了，在振幅確定的前提下，做簡諧運動的質(zhì)點的運動狀態(tài)也就能完全確定了，所以（ωt+φ）代表的就是簡諧運動的相，又叫相位或位相.同樣地，交流電的相可以描述和比較交流電的變化步調(diào).學(xué)生理解困難的另一個相關(guān)的概念就是相位差，相位差是指對于兩個相同頻率的簡諧運動的相位之差，這種情況下，兩種運動的振動步調(diào)不一致，相位差能夠反映一種運動相對于另一種運動振動步調(diào)的超前或者滯后，如例2.endprint

例2如圖2所示，A、B為兩彈簧振子的振動圖象，求它們的相位差.

解析從圖中可以看出，這兩個振動的周期相同，有穩(wěn)定的相位差，當(dāng)振子A達到最大位移后再過14周期，振子B才達到最大位移，A比B的相位超前14周期，相位差為π2.

24學(xué)生對于等效性的理解不深刻

許多學(xué)生并不能真正從等效性上理解正弦函數(shù)的某些特征，比如說有效值.提到有效值，學(xué)生可能知道I=Im2，U=Um2，光記公式，而弄不懂其內(nèi)涵.人教版物理選修3-4中對交流電有效值是這樣描述的：讓交流和恒定電流分別通過大小相同的電阻，如果在交流的一個周期內(nèi)它們產(chǎn)生的熱量相等，而這個恒定電流是I、電壓是U，我們就把I、U叫做這個交流的有效值.從有效值的定義看，“有效”指的是電流熱效應(yīng)的等效.

例3將正弦交流電經(jīng)過整流器處理后，得到的電流波形剛好去掉了半周，如圖3所示，它的有效值是

A.2AB.2AC.22AD.1A

解析此時如果還是認為有效值I=Im2=22A，那就大錯特錯了.運用有效值的定義進行分析，從電流熱效應(yīng)的角度分析，一個周期內(nèi)，有

I2RT=（Im2）2RT2，得到I=1A，選D.

3教學(xué)建議

31幫助學(xué)生建立非線性的思維方式

長期以來，學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣了線性的思維方式，卻沒有建立起有效的非線性的思維方式.以至于學(xué)生對于解決圖象題的思路總是局限在線性函數(shù)圖象的點線面之中，而對于包括正弦函數(shù)在內(nèi)的非線性圖象比較束手無策.事實上，非線性問題在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用更加廣泛，更具有學(xué)以致用的意義.作為教育者，如果單單只注重向?qū)W生傳授以線性為主的物理模式，就會使學(xué)生在無形當(dāng)中形成比較多理想化的線性模型，處理問題時，不僅思維比較片面，而且也很難把所學(xué)知識遷移到實際的非線性問題中去.所以，教師在教學(xué)中應(yīng)該重視非線性問題，讓學(xué)生多一些非線性的思維和訓(xùn)練，幫助學(xué)生建立非線性的思維方式.解決非線性函數(shù)圖象問題時，往往定性分析較多，通常還需要用到線性與非線性結(jié)合的思想，學(xué)生要學(xué)會特定情況下非線性當(dāng)做線性處理的方法，教師要能夠幫助學(xué)生及時理清障礙，讓學(xué)生能夠?qū)W會從整體把握非線性圖象的特征，清晰地還原圖象所反映的物理過程和規(guī)律.

32重視周期性問題的教學(xué)

周期性是正弦函數(shù)圖象的典型特征，周期性問題是高中物理中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，更是高考中難點所在.形式不僅僅局限于正弦函數(shù)的周期性，高中物理中常見的周期性問題有圓周運動、振動、波動、交變電流以及復(fù)合場的周期問題，涉及的內(nèi)容很廣，難度也較大，綜合考查學(xué)生的推理、分析、綜合、比較、歸納等能力.很多學(xué)生在碰到復(fù)雜的周期性問題時畏難而直接放棄或者漏解.所以教師在教學(xué)中有必要引起足夠的重視.除了知識教學(xué)，更要重視培養(yǎng)學(xué)生積極思考問題的能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯水平，讓學(xué)生學(xué)會全面、本質(zhì)地看待物理圖象，還原完整的物理情景和過程.

33使抽象的相位概念形象化

所謂“相位反映簡諧運動所處的階段”，過于抽象，學(xué)生難以形成形象的認知.首先，教師在教學(xué)過程中可以借助單擺的振動步調(diào)來向?qū)W生引入相位的概念.例如，對于同時放開的兩個小球，我們說它們的相位相同，而對于上面說的兩個小球，不同時釋放，先把第一個放開，再放開第二個，兩者振動的步調(diào)不再一致了，說明它們的相位不相同，存在相位差.學(xué)生通過單擺的振動步調(diào)可以對相位形成一個初步的形象的認識.關(guān)于相位概念的深化和拓展可以通過簡諧振動的矢量圖進一步認識，

如圖4所示，把做簡諧運動的物體等效過渡為一個矢徑（大小等于振幅A）在平面內(nèi)繞O點逆時針方向的勻速圓周運動.這樣就能夠巧妙地把周期性變化過渡為角度的周期性變化，把夾角的周期性變化過渡為矢徑在x軸上投影的周期性變化.當(dāng)矢徑繞圓心旋轉(zhuǎn)時，矢徑與OP之間的夾角隨之變化，這個夾角就定義為簡諧運動的“相位”.使學(xué)生對于相位的理解過程變得具體化和形象化，對突破相位難點，理解物理中的正弦函數(shù)圖象大有幫助.

34教學(xué)中滲透微積分的思想

正弦函數(shù)的微分是余弦函數(shù)，余弦函數(shù)的微分是正弦函數(shù).例如，在產(chǎn)生正弦交流電的過程中，如果閉合矩形線圈從中性面（磁通量最大的位置）開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過時間t，轉(zhuǎn)過ωt角時，通過線圈的磁通量大小為Φ=NBScosωt，而磁通量的變化率，即感應(yīng)電動勢的大小為E=NBSsinωt.線圈平面通過中線面時，Φ最大，E=0；當(dāng)線圈轉(zhuǎn)過的角度ωt=π2，處于與磁場平行的位置時，磁通量Φ=0，而感應(yīng)電動勢E=NBS，達到最大值.通過微分的思想，學(xué)生能更好地理解正弦交流電中的中性面的特征.積分的思想對于物理中非線性圖象問題的解決很有幫助.例如，可以應(yīng)用于正弦電流平均值及有效值的求解.對于正弦電流i=Imsinωt，由電流熱效應(yīng)的等效可知，在一個周期T內(nèi)，Q=I2RT=∫T0i2Rdt，從而得到I=Im2.并且，在其他情況下同樣適用.因此，筆者認為在教學(xué)中適當(dāng)滲透微積分的思想很有必要，可達到良好的教學(xué)效果.

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