隨機參考點下帶有最小收益約束的投資組合

胡雙霞, 王晶海

(福州大學數(shù)學與計算機科學學院,福建 福州 350116)

0 引言

金融市場內(nèi)解決連續(xù)時間組合投資選擇問題的方法中,期望效用最大化倍受青睞. 以公理體系為基準的期望效用理論已不能反映人們對盈利和損失的直觀感受,而運用前景理論的知識[1-2],借助參考點來定義盈利和虧損,更能直觀反映期末財富相對參考點的變化. 同時,可以借助損失厭惡效用函數(shù)圖像參考點左側的斜率大于右側的斜率判定出投資者是損失厭惡型的,即投資者表現(xiàn)出對損失比對盈利更為敏感[3]. 雖然許多學者對前景理論下恒定參考點的證券組合投資問題研究頗多[4-7],但他們對投資組合問題的研究都是基于恒定的參考點,已不能滿足投資者的投資理論需求. 近年來,市場的不確定性越來越引起人們的重視,考慮不確定性對投資者投資決策的影響相當重要. Baeberis等[1]和Zhang等[3]均指出投資者當前階段的參考水平受前一階段的損益影響, 進而對其投資決策產(chǎn)生影響. Berkelaar等[8]指出市場具有隨機不確定性,投資者用于權衡損益的參考點會隨時間和財富狀況的變動而變化. 因此,研究隨機參考點下的投資組合問題與金融市場更貼近,研究隨機參考點下的損失厭惡效用更能反映投資者的心理特征. 本研究提出的考慮隨機參考點下帶有最小收益約束的投資組合問題具有理論價值,并且更接近實際金融市場,可為投資者提供一定的理論參考.

1 模型假設

假設市場是完備的、 無摩擦的,[0,T]為有限的投資周期,W(t)=(W1(t), …,WN(t))T是定義在完備概率空間(Ω,F,P, {Ft}0≤t≤T)上的N維標準布朗運動,其中{Ft}0≤t≤T是由(W1(t), …,WN(t))產(chǎn)生的信息流. [0,T]內(nèi),假設金融市場中有N+1種可連續(xù)交易的資產(chǎn),其中一種為無風險資產(chǎn),其t時刻的價格記為B(t),并且B(t)滿足以下微分方程：

dB(t)=B(t)r(t)dt(B(0)>0,t∈[0,T])

(1)

(2)

其中：μ(·)=(μ1(·), …,μN(·))T和σ(·)=(σij(·))N×N分別為實值Ft-循序可測的漂移系數(shù)向量和波動率矩陣.

假定π(t)=(π1(t), …,πN(t))T為自融資策略,且π(t)是RN上Ft-循序可測的. 其中πi(t),i=1, …,N表示投資者的總財富在t時刻分配在第i個資產(chǎn)上的份額. 這里假定投資者的最初財富為x0>0,則相應的財富過程X(t)滿足如下隨機微分方程：

dX(t)=[r(t)X(t)+(μ(t)-r(t)I)Tπ(t)]dt+π(t)Tσ(t)dW(t)

(3)

其中：I=(1, 1, …, 1)T,t∈[0,T]且X(0)=x0.

本研究反映投資者為損失厭惡型的效用函數(shù)：

(4)

假定投資者的期末財富X(T)∈FT, 記X=X(T), 可得投資者的目標函數(shù)為：

V(X)=Eu(X-θ)=E[u1(X-θ)IX>θ+u2(X-θ)IX≤θ]

(5)

其中,θ表示參考點,滿足：

dθ(t)=(1-λ)θ(0)r(0)dt+λdX(t) (0<λ<1)

(6)

則：

θ(T)=θ(0)+λ(X(T)-X(0))+(1-λ)θ(0)r(0)T(0<λ<1)

(7)

其中： 初始參考點θ(0)、 初始財富X(0)以及初始無風險利率r(0)三者均為常數(shù);λ為參考點受財富影響的系數(shù). 由于存在風險資產(chǎn),資產(chǎn)的變動幅度大于無風險資產(chǎn)的收益幅度,從而λ越接近于1,參考點的變動幅度越大,λ越接近于0,參考點的變動幅度越小.

2 模型建立

證券投資組合問題轉化為下面問題的解：

dξ(t)=ξ(t)(-r(t)dt-k(t)TdW(t)) (ξ(0)=1)

(9)

狀態(tài)價格密度ξ=ξ(T)和ξ(t)的商服從對數(shù)正態(tài)分布,可得其均值和方差分別為：

(10)

Var (lnξ-lnξ(t))=k2(T-t)

(11)

利用鞅方法[9]將問題(8)轉化為靜態(tài)優(yōu)化問題：

(12)

如果能夠求出問題(12)的最優(yōu)解X*, 則可利用鞅的性質通過對X*的復制得到任意t時刻的最優(yōu)財富及最優(yōu)投資策略π(t)*.

3 模型求解

研究Tversky和Kahneman提出的基于前景理論下的S-型效用函數(shù)[10]：

(13)

其中： 0<α≤β=1,η>1,η為損失厭惡系數(shù). 則損失厭惡投資者的效用函數(shù)為：

(14)

為了解決投資組合問題中帶有隨機參考點θ(T)的情形,利用等價轉化的思想,將其轉化為固定參考點下的證券組合投資問題. 將式(7)中的θ(T)代入式(14)中,可以得到新的效用函數(shù)：

(15)

其中：

(16)

性質1[11]已知U(t,y)在y∈(0, +∞)為嚴格增的凹函數(shù),I(t,y)為U′(t,y)的反函數(shù),則對任意的(t,y)∈[0,T]×(0, +∞)及任意c, 有：

U(t,I(t,y))≥U(t,c)+y(I(t,y)-c)

定理1 最小收益約束下的損失厭惡投資者的最優(yōu)期末財富為：

(17)

(18)

證明 先考慮下面的最大化問題：

(19)

令：

易知X*即為問題(19)的最優(yōu)解. 證畢.

顯然X*是問題(12)的最優(yōu)解.

利用Karatzas和Shreve提供的方法來證明y的唯一性. 定義如下函數(shù)：

定理2 1) 對于效用函數(shù)(15)下,問題(12)的t時刻的最優(yōu)財富過程為：

其中：

且a>0是下面方程的唯一解：

2) 對于效用函數(shù)(15)下,問題(12)t時刻的最優(yōu)投資策略為：

其中：Φ(·)為標準正態(tài)分布函數(shù)；φ(·)為標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù).

證明 1)t時的最優(yōu)財富過程為：

2) 記X*(t)=F(t, ξ(t)),又由式(9),利用Ito公式得：

(20)

與式(3)比較可得：

(21)

由于:

將式(22)代入式(21)即可得證. 證畢.

4 具體例子

5 結語

在損失厭惡投資者的情形下,討論了完全市場下基于動態(tài)參考點的最小收益約束下的投資組合,并且得出了損失厭惡效用函數(shù)下的最優(yōu)期末財富和最優(yōu)投資策略. 從最優(yōu)期末財富可以看出,為盡量避免降低獲利的可能性,投資者的參考點調整幅度不宜過高； 從最優(yōu)投資策略可以看出,為迎合投資者的損失厭惡心理,把握參考點的調整幅度,可有效避免投資者最終財富出現(xiàn)重大損失. 同時事先設定最小收益約束下限,無疑為投資者提供又一重安全保障.

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