和與積相等的Hermitian矩陣對的慣性及應(yīng)用

林志興,楊忠鵬,陳梅香,陳智雄

(莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院, 福建 莆田 351100)

0 引言

文獻[5]給出了和與積相等的Hermitian正定矩陣對的Kantorovich型不等式的結(jié)果

命題1[5]設(shè)A,B∈Tn(C),A>0,B>0；p>1,q>1且1/p+1/q=1； 則

(?x(≠0)∈Cn×n)

(1)

由文獻[6-7]知,作為經(jīng)典Kantorovich不等式推廣的Greub-Rheinboldt不等式：設(shè)G>0,M>0是可交換的,則

(2)

當(dāng)A,B∈Tn(C)且A>0,B>0時,由AB=BA,知此時不等式(2)成立． 因此式(1)是在A,B∈Tn(C),A>0,B>0的條件下對不等式(2)的推廣． 在文獻[5]中有

(3)

由式(1)和文獻[5]中的定理5知(λ1(A)-1)(λn(A)-1)>0是命題1成立的必要條件． 在A,B∈Tn(C)且A>0,B>0的題設(shè)下,文獻[5]的定理4沒有給出這個必要條件成立的理由．

文獻[5]還研究了和與積相等的Hermitian正定(半正定)矩陣對的運算．

命題2[5]設(shè)A,B∈Tn(C),如果A>0,B>0(或A≥0,B≥0),則A+B=AB>0 (或≥0)．

此外,文獻[8]探討了矩陣方程AX=A+X有正定解的充要條件．

首先得到了和與積相等的Hermitian矩陣對的慣性表達式,進而給出了這樣矩陣對是正定、 半正定、 負定、 半負定和不定的充要條件． 作為應(yīng)用,不僅證明了文獻[5]得到的不等式(1)是正確的,而且通過和與積相等的正定(或半正定)矩陣對得到了比命題2更為精確的矩陣不等式.

1 預(yù)備知識

引理1 設(shè)A∈H(n),則

pA+qA=r(A)

(4)

A>0(或-A>0)?qA=0且pA=n=r(A)(或pA=0且qA=n=r(A))

(5)

A≥0(或-A≥0)?qA=0(或pA=0)?pA=r(A)(或qA=r(A))

(6)

A不定?pA≥1且qA≥1

(7)

證明 式(4)由文獻[3-4]得到,式(5)可由文獻[1]的引理1.5(h)和文獻[2]的引理1.2(h)得到． 從Hermitian矩陣的慣性的性質(zhì)可得式(6)～(7)．

引理2 設(shè)A,B∈Cn×n,則A,B∈Tn(C)?B-E可逆；A=E+(B-E)-1?A-E可逆；B=E+(A-E)-1．

證明 當(dāng)A-E可逆且B=E+(A-E)-1時,由文獻[9]可知A,B∈Tn(C)． 如果A,B∈Tn(C),從(A-E)(B-E)=AB-A-B+E=E有B=E+(A-E)-1．

從A與B的對稱性可得A,B∈Tn(C)?B-E可逆且A=E+(B-E)-1．

引理4[4]設(shè)A∈H(n),則有酉矩陣Q使A=Qdiag(λ1(A),λ2(A), …,λn(A))QH．

引理5[11]設(shè)A,B∈Tn(C),則1)A-E可逆. 2)AB=BA. 3)r(A)=r(B)．

2 主要結(jié)果

設(shè)A2=diag(-1, -1/2)<0,B2=diag(1/2, 1/3)>0,易驗證A2,B2∈T2(C)∩H(2)．

令A(yù)3=diag(2, 3/2)>0,B3=diag(2, 3)>0,易驗證A3,B3∈T2(C)∩H(2)．

例1說明當(dāng)A,B∈Tn(C)∩H(n)時,A與B的有定性一般不相同．

當(dāng)A∈H(n)時,總設(shè)A有tA個特征值大于1(tA≥0) ．

定理1 設(shè)A,B∈Tn(C)∩H(n), 則有

i(B)=(pB,qB,zB)=(qA+tA,pA-tA,zA)

(8)

證明 由λi(A)∈R和命題2的1), 不妨設(shè)A的特征值為

由引理6的1)和式(9)知,B的所有特征值的集合

(10)

(11)

那么當(dāng)λi(A)<1時

(12)

這樣由式(9)、 (12)有

(13)

由式(10)～(11)以及式(13)～(14)可知i(B)=(pB,qB,zB)=(qA+tA,pA-tA,zA)．

定理2 設(shè)A,B∈Tn(C),則有

B≥0半正定?A∈H(n)且A的所有正特征值都大于1

(15)

B>0正定?A∈H(n)且A的所有正特征值都大于1,r(A)=n

(16)

證明 當(dāng)B≥0時,由引理6的2)有A∈H(n)． 應(yīng)用式(8)、 (6),由B≥0得qB=pA-tA=0即A的所有正特征值(如果存在)都大于1． 當(dāng)A∈H(n)且pA=tA時,由引理6的2)以及式(8)可知B∈H(n)且qB=pA-tA=0,由式(6)可得B≥0． 這就證明了式(15)．

當(dāng)B>0時,由式(15)有A∈H(n)且pA=tA； 由式(4)、 (8)有pB=qA+tA=qA+pA=n=r(A)． 當(dāng)A∈H(n)且pA=tA,r(A)=n時,由式(15)可知B≥0,進而由命題1的3)可知n=r(A) =r(B),再應(yīng)用引理3有B>0． 所以式(16)成立．

定理3 設(shè)A,B∈Tn(C), 則有

B半負定?A∈H(n)且A的所有非零特征值都是小于1的正數(shù)

(17)

B負定?A∈H(n)且A的所有特征值都是小于1的正數(shù),r(A)=n

(18)

證明 當(dāng)B半負定時,從引理6的2)可知A∈H(n). 應(yīng)用式(8)、 (6),由B半負定得pB=qA+tA=0,因此pB=qA=tA=0,即A的所有非零特征值都是小于1的正數(shù)． 當(dāng)A∈H(n)且qA=tA=0時,應(yīng)用式(8)有pB=qA+tA=0,從式(6)可知B半負定． 以上證明了式(17)．

當(dāng)B負定時,由式(17)有A∈H(n)且qA=tA=0,應(yīng)用式(4)和引理5的3)得qA+pA=pA=r(A)=r(B)=n,即A的所有特征值都是小于1的正數(shù)． 當(dāng)A∈H(n),pA=r(A)=n且qA=tA=0時,由式(17)可知B半負定,進而由式(8)可得qB=pA-tA=pA=n=r(B),再由式(5)可知B負定． 由此式(18)成立.

定理4 設(shè)A,B∈Tn(C),則B不定?A∈H(n),同時A的負特征值、 小于1的正特征值各至少1個,或A的所有非零特征值都是正數(shù)且大于1、 小于1的正特征值各至少1個．

證明 當(dāng)B不定時,從引理6的2)知A∈H(n). 應(yīng)用式(7)～(8),由B不定得pB=qA+tA≥1且qB=pA-tA≥1,此等價于qA≥1且pA-tA≥1(即小于1的正特征值個數(shù)大于或等于1),或qA=0,tA≥1且pA-tA≥1. 以上說明A的負特征值、 小于1的正特征值各至少1個,或A的所有非零特征值都是正數(shù)且大于1、 小于1的正特征值各至少1個．

當(dāng)A∈H(n)(由引理6的2)知B∈H(n)),qA≥1且pA-tA≥1,或qA=0,tA≥1且pA-tA≥1時,由式(8)有pB=qA+tA≥1且qB=pA-tA≥1. 再由式(7)知B不定.

定理5 設(shè)A,B∈Tn(C),則A>0,B>0?A-E>0,B-E>0．

證明 充分性是明顯的．

必要性證明． 注意到A,B∈Tn(C)的對稱性和式(5),并應(yīng)用式(16),由B>0可有pB=n且qB=pA-tA=0； 由A>0可有pA=n且qA=pB-tB=0. 這樣pA=tA=pB=tB=n,說明A,B的所有特征值都大于1,即A-E>0,B-E>0．

定理5說明命題2題設(shè)條件：“若A>0,B>0”本質(zhì)是“若A,B都正定且所有特征值都大于1”．

由

有

可得

即等式(3)應(yīng)修正為不等式． 則由文獻[5]的定理4證明可知不等式(1)成立．

定理6 設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Tn(C),A>0,B>0,則

A+B=AB>2E>0

(19)

證明 由定理5知A-E>0,B-E>0,因此A+B-2E=(A-E)+(B-E)>0,即式(19)成立．

定理7 設(shè)A,B∈Tn(C),則

A≥0,B≥0?A,B的所有非零特征值都是大于1的正數(shù)

(20)

?有酉矩陣Q使P=PH=P2=Qdiag(Er, 0)QH≥0且A-P≥0,B-P≥0

(21)

其中A=Qdiag(ΛA, 0)QH,B=Qdiag(ΛB, 0)QH,ΛA=diag(λPA(A), …,λ1(A)),ΛB= diag(λ1(B), …,λPB(B)),r=(A)=r(B)=pA=pB．

證明 式(20)～(21)的充分性是明顯的．

式(20)的必要性證明． 從式(6)、 (8)以及B≥0知pB=r(B),qB=pA-tA=0. 由A≥0可有pA=r(A)且qA=pB-tB=0,這樣pA=tA=pB=tB=r(A)=r(B)．

式(21)必要性證明． 從式(6)、 引理4、 引理5的3)以及B≥0可得

r=(A)=r(B)=pA=pB

B=Qdiag(ΛB, 0)QH,ΛB=diag(λ1(B), …,λPB(B)),Q為酉矩陣

(22)

由式(22)和引理2可得

A=Qdiag(ΛA, 0)QH,ΛA=diag(λPA(A), …,λ1(A))

(23)

在式(22)～(23)之下有矩陣

P=PH=P2=Qdiag(Er, 0)QH≥0,r=(A)=r(B)=pA=pB

(24)

由式(20)以及式(22)～(24)知A-P=Qdiag(ΛA-Er, 0)QH≥0,B-P≥0．

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