認(rèn)知MIMOME系統(tǒng)安全速率最大化算法研究

胡甜甜 熊 俊 馬東堂 張曉瀛

(國防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院，湖南長沙 410073)

1 引言

由于無線傳輸?shù)拈_放性特點，認(rèn)知通信系統(tǒng)與其他無線通信系統(tǒng)一樣，容易受到竊聽和截獲的安全威脅。近年來物理層安全技術(shù)利用多天線系統(tǒng)的信道差異性、互易性等特性和波束成形、天線選擇和協(xié)作干擾等策略來增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)的安全性受到了廣泛的關(guān)注[1-2]。其中波束成形技術(shù)在提高主信道質(zhì)量的同時可以削弱竊聽信道的質(zhì)量，是最有效地提高保密能力的方法。波束成形設(shè)計取決于系統(tǒng)信道狀態(tài)信息的獲取，CSI的準(zhǔn)確性不僅決定了保密性能，而且還影響性能度量。文獻(xiàn)[3]中針對發(fā)送端獲取信道狀態(tài)信息的完備性，研究了不同類型CSI的波束成形設(shè)計，當(dāng)發(fā)送端已知系統(tǒng)瞬時信道狀態(tài)信息時，文獻(xiàn)[4]給出了MIMO高斯竊聽信道的保密容量，當(dāng)發(fā)送端已知系統(tǒng)的統(tǒng)計信道狀態(tài)信息時，文獻(xiàn)[5]和[6]分別從遍歷保密容量和安全中斷概率的角度對系統(tǒng)進(jìn)行研究和分析。

近年來，有研究學(xué)者從不同角度研究了認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)中的物理層安全傳輸問題[7-12]。其中，文獻(xiàn)[7]從信息論角度對多天線認(rèn)知無線電系統(tǒng)保密傳輸速率最大化和天線數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了探究。文獻(xiàn)[8]考慮了認(rèn)知無線網(wǎng)絡(luò)中保密傳輸速率的輸入信號方差設(shè)計問題，其中系統(tǒng)模型假定為一個單天線主用戶和一個單天線竊聽者的多輸入單輸出(multiple-input single-output，MISO)認(rèn)知無線網(wǎng)絡(luò)。通過在MISO認(rèn)知系統(tǒng)中添加人工噪聲(Artificial Noise，AN)，文獻(xiàn)[9]以次用戶接收端的安全速率最大(Secrecy Rate Maximization，SRM)為目標(biāo)利用波束成形技術(shù)來增強(qiáng)竊聽端的噪聲從而降低竊聽用戶對保密信息的竊取。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[10]將MISO信道模型擴(kuò)展到多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)信道中，作者利用連續(xù)凸估計算法(Successive Convex Approximation，SCA)將安全速率最大化問題轉(zhuǎn)化為一個半正定規(guī)劃問題，從而求得最終的近似解。進(jìn)一步，針對發(fā)送端未知竊聽者信道狀態(tài)信息的情況，文獻(xiàn)[11-12]基于最差情況約束設(shè)計了魯棒的人工噪聲安全傳輸算法，以保證即使信道狀態(tài)信息具有較大的誤差，也可以滿足系統(tǒng)的限制條件。

不同于文獻(xiàn)[9]和[11]假定次用戶為單根接收天線，本文將人工噪聲輔助安全預(yù)編碼算法擴(kuò)展到認(rèn)知MIMOME場景。由于MIMO信道的復(fù)雜性較高，以安全速率最大化為目標(biāo)，分析人工噪聲協(xié)方差和次用戶協(xié)方差的聯(lián)合優(yōu)化是一個難以求解的問題。進(jìn)一步，我們將該雙層迭代優(yōu)化算法擴(kuò)展到非理想信道信息情況，提出了一套基于最差情況的魯棒人工噪聲設(shè)計方案，最后仿真證實所提算法的有效性。

2 信號模型

考慮如圖1所示的系統(tǒng)模型，包括一個主用戶接收機(jī)(PU)，一個次用戶發(fā)射機(jī)(Alice)，一個次用戶接收機(jī)(Bob)，K個竊聽者(Eves)，并且所有節(jié)點都配置多根天線，天線數(shù)分別為Np，Ns，Nd，Ne。這里假設(shè)竊聽者的天線數(shù)相同，但本文所提算法也可以擴(kuò)展到竊聽者天線數(shù)不同的情況。假設(shè)Alice到Bob的信道矩陣為H0，Alice到PU的信道矩陣為G，Alice到第k個Eve的信道矩陣為Hk，k∈{1,2,…,K}。

圖1 認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)MIMOME系統(tǒng)模型Fig.1 Model of MIMOME system of cognitive network

系統(tǒng)中Bob和Evek的接收信號分別表示為

y0=H0x+n0

yk=Hkx+ne,k,k∈K

(1)

其中，n0，ne,k為加性高斯白噪聲(其中包括了主用戶對其造成的干擾)，滿足n0～CN(0,INd)，ne,k～CN(0,INe)，本文采用人工噪聲輔助的物理層安全傳輸策略，在發(fā)送信號中加入一定功率的人工噪聲后Alice的發(fā)送信號可以表示為

x=s+a

(2)

y0=H0s+H0a+n0

yk=Hks+Hka+ne,k,k∈K

(3)

我們假設(shè)信號和噪聲都服從零均值的高斯分布且s～CN(0,Q),a～CN(0,Z)。根據(jù)安全速率定義，系統(tǒng)的安全速率可以表示成[9]

(4)

其中，C0(Q,Z)是Alice到Bob的最大信息傳輸速率，表示為

(5)

Ck(Q,Z)是Alice到第k個竊聽者的最大信息傳輸速率，表示為

(6)

本文的主要目標(biāo)在滿足PU的干擾值和系統(tǒng)總功率約束下對系統(tǒng)安全速率進(jìn)行最大化設(shè)計。因此優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可以表示為[13]

s.t.Tr[GQGH+GZGH]≤Γ

Tr(Q+Z)≤Pmax,Q0,Z0

(7)

其中，Pmax表示Alice的最大傳輸功率，Γ表示主用戶的干擾溫度。

3 算法設(shè)計

我們首先假設(shè)Alice已知所有鏈路的信道狀態(tài)信息，聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計發(fā)射信號方差Q和噪聲的協(xié)方差矩陣Z來最大化系統(tǒng)安全速率。進(jìn)一步，將這一目標(biāo)擴(kuò)展到非理想信道狀態(tài)信息情況下的魯棒性人工噪聲算法設(shè)計。

3.1 理想信道信息情況下人工噪聲設(shè)計

假設(shè)發(fā)射端Alice能夠獲得全部的信道狀態(tài)信息。優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)(7)是一個非凸函數(shù)，因而無法直接對其進(jìn)行求解。通過一定的變換可以把優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成一個半正定規(guī)劃問題，從而能夠?qū)ζ溥M(jìn)行有效的求解。

首先，引入松弛變量logt代替Ck(Q,Z)，需要滿足條件Ck(Q,Z)≤logt且t≥1，問題可以演變?yōu)椋?/p>

(8)

s.t.Tr[GQGH+GZGH]≤Γ

(9)

Tr(Q+Z)≤Pmax,Q0,Z0

(10)

Ck(Q,Z)≤logt,?k∈K,t≥1

(11)

由于約束(11)非凸，并且logt在這里可以被視為竊聽者最大允許互信息，為了減少計算的復(fù)雜度，在這里我們借助一個引理來對(11)進(jìn)行簡化[9]。

引理1

(12)

(13)

當(dāng)且僅當(dāng)rank(Q)≤1時，式(12)和式(13)相等，即具有相同的可行解。

注意到問題(8)中的優(yōu)化變量Q,Z,t三者之間存在耦合，為了將其轉(zhuǎn)化為凸函數(shù)，我們采用文獻(xiàn)[10]所提的SCA算法對其進(jìn)行處理。SCA算法的核心思想為：將優(yōu)化問題中的非凸約束條件通過一階泰勒展開近似轉(zhuǎn)換成凸約束條件，然后通過遞歸方式求解一系列的凸優(yōu)化問題。不同于文獻(xiàn)[10]對目標(biāo)函數(shù)和約束條件都采用SCA算法，本文僅對目標(biāo)函數(shù)(8)進(jìn)行遞歸求解。從而有效降低了計算復(fù)雜度。首先將C0(Q,Z)化成如下形式：

(14)

(15)

從而在給定一個初始值Zν，原始式子可以展開成

(16)

因此，問題可以轉(zhuǎn)換成以下形式：

s.t.Tr[GQGH+GZGH]≤Γ

Tr(Q+Z)≤Pmax

(17)

進(jìn)一步，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)固定變量t時，問題(17)是一個SDP問題。通過上述分析，我們可以將問題(17)轉(zhuǎn)變成一個雙層優(yōu)化問題。其中，外層優(yōu)化即是要先得到最優(yōu)的t*，此時問題可以轉(zhuǎn)化成一個求解單變量的優(yōu)化問題，常用的搜索算法有一維搜索算法、均勻采樣搜索算法和黃金搜索算法等[15]。而內(nèi)層優(yōu)化問題即是求解一個SDP問題。從而，為了完成線性搜索過程，需要確認(rèn)變量t的取值范圍，首先根據(jù)約束條件可知t≥1，t的上界確定如下：

(18)

3.2 非理想信道信息情況下人工噪聲設(shè)計

在實際應(yīng)用中，由于估計誤差、量化誤差、多普勒擴(kuò)展和反饋時延等因素的影響，Alice獲得信道信息不可避免地存在著誤差。這些非理想的信道狀態(tài)信息將導(dǎo)致所設(shè)計的人工噪聲發(fā)生噪聲泄漏，降低系統(tǒng)的安全性能[1]。因此，需要考慮在信道信息存在誤差的情況下，設(shè)計具有魯棒性的物理層安全傳輸策略，來提升系統(tǒng)的安全性能。這里假設(shè)發(fā)送端獲得的主用戶信道狀態(tài)信息G和竊聽信道信息Hk均存在固定誤差，該假設(shè)是合理的，因為主用戶和竊聽者通常并不是次用戶網(wǎng)內(nèi)節(jié)點。進(jìn)一步，將其建模為橢球不確定集，因此主用戶信道和竊聽信道的矩陣分別表示為

(19)

G={ΔG:Tr(ΔGHCgΔG)≤1}

(20)

其中，Cg?0、Ce,k?0分別表示主用戶信道和竊聽信道的信道質(zhì)量，它們確定了橢球誤差界的形狀。當(dāng)Cg和Ce,k趨近于無窮大時，主用戶信道和竊聽信道將趨于理想情況，而當(dāng)Cg和Ce,k趨近于零時，主用戶和竊聽信道將是最差的。

根據(jù)上述信道誤差模型，基于最差情況最大化安全速率(Worst Case Secrecy Rate Maximization，WCSRM)的優(yōu)化問題能夠表示為：

s.t.Tr[GQGH+GZGH]≤Γ,?ΔG∈G

Tr(Q+Z)≤Pmax,Q0,Z0

(21)

通過聯(lián)合設(shè)計波束成形向量Q和人工噪聲協(xié)方差矩陣Z，可提髙系統(tǒng)的最差情況安全速率。由于對Q和Z的聯(lián)合優(yōu)化問題是非凸的，約束條件包含無窮多個凸集，該問題是一個NP-hard問題，通常是很難求解的。下面，通過將約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定的矩陣不等式，問題能夠轉(zhuǎn)換為一個半正定規(guī)劃問題進(jìn)行求解。

(22)

(23)

Tr(Q+Z)≤Pmax,Q0,Z0

(24)

(25)

(26)

因為約束條件(23)、(25)及(26)是非凸的，很難得到其最優(yōu)解，我們需要分別采取不同的方法對三個約束進(jìn)行求解。首先，針對干擾溫度約束(23)有

(27)

對(27)利用跡的轉(zhuǎn)化公式和克羅內(nèi)克積之間的關(guān)系：Tr(ZAZH)=vec(Z)H(I?A)vec(Z)、vec(ABC)=(CT?A)vec(B)，可以將具有魯棒性的干擾溫度條件轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(28)

(29)

此時約束條件Γ(Q,Z,μ)詳見式(36)。

其次，針對次用戶安全速率約束(25)包含無窮多不等式，很難求出最優(yōu)解的情況。類似理想信道信息下的處理方式，這里引入引理1來對(25)進(jìn)行簡化，logβ在這里可以被視為竊聽者最大允許互信息。

?Hk∈He,k

(30)

?Hk∈He,k

(31)

當(dāng)且僅當(dāng)rank(Q)≤1時，式(30)和式(31)相等，即二者具有相同的可行解。因為式(31)是一個NP-hard問題，通常很難求解，我們引入了S-Procedure的推廣[18]。

引理3(Luo-Sturn-Zhang)

令函數(shù)滿足f(X)=XHAX+XHB+BHX+C,令D0，如果存在t≥0則下面的式子成立：

f(X)0,?X∈ {X|Tr(DXXH)≤1}

(32)

采用引理3，我們可以得到以下結(jié)果：

?Hk∈He,k

(33)

?Tk(Q,Z,β,tk)0

(34)

其中，Tk詳見式(37)。

當(dāng)且僅當(dāng)rank(Q)≤1滿足時，(33)和(34)是等價的，因此問題(22-26)可以表示成如下形式：

logβ-logθ

s.t.Γ(Q,Z,μ)0,μ≥0

Tk(Q,Z,β,tk)0,tk≥0,?k∈K

Tr(Q+Z)≤Pmax

(35)

(36)

(37)

其中，?k∈K。

4 仿真結(jié)果及分析

4.1 系統(tǒng)性能分析

下面給出仿真結(jié)果來驗證所提的人工噪聲輔助安全的性能。假定Bob和PU的天線數(shù)為Nd=2,Np=2，竊聽者的個數(shù)為K=2。所得的最終數(shù)據(jù)是對500次獨立信道實現(xiàn)結(jié)果的平均值。

圖2給出了不同迭代次數(shù)下系統(tǒng)的安全速率變化情況。其中Pmax=10 dB，Alice和竊聽者的天線數(shù)為Ns=4，Ne=2。從圖中可以看出，隨著迭代次數(shù)ν的增加，所提算法的安全速率逐漸增加，經(jīng)過10次迭代以后，安全速率基本達(dá)到一個穩(wěn)定的數(shù)值。由于非理想信道狀態(tài)信息情況下涉及的優(yōu)化變量更多，其安全速率在14次遞歸以后才趨于穩(wěn)定。還可以看出在不同的干擾溫度Γ下系統(tǒng)獲得不同的安全速率，這是因為當(dāng)Γ變大時，干擾溫度約束松弛，系統(tǒng)能夠獲得更高的安全速率。

圖2 不同干擾功率約束下的收斂性分析Fig.2 Convergence analysis under different interference power constraints

圖3是理想信道狀態(tài)下的安全保密性能進(jìn)行分析，分別在發(fā)送端Alice天線數(shù)Ns=4，Ns=6的情況下，將SCA算法[4]、沒有人工噪聲輔助安全時的算法和本文所提算法進(jìn)行性能比較。其中干擾功率Γ=5 dB，從圖3可見，隨著發(fā)射功率的增加，本文所提一維線性搜索算法將獲得更優(yōu)的性能，尤其是當(dāng)發(fā)送天線數(shù)增加時，系統(tǒng)將獲得更高的安全速率。

圖3 安全速率與最大傳輸發(fā)送功率之間的關(guān)系Fig.3 Achievable secrecy rate versus transmit power constraint of Alice

圖4給出了在竊聽者天線數(shù)分別是Ne=2，Ne=4時，發(fā)射功率和系統(tǒng)的安全速率的關(guān)系。可以看到，竊聽者的天線數(shù)對整個認(rèn)知系統(tǒng)所能達(dá)到的最大安全速率有著較大的影響，特別是當(dāng)去除了主用戶時，此時問題轉(zhuǎn)換成傳統(tǒng)MIMO竊聽信道，隨著發(fā)射功率的增加，算法將獲得更高的安全速率。因為去掉干擾溫度的限制條件之后，算法有了更大的自由度。虛線表示的是非理想信道狀態(tài)信息在邊界誤差εg=εe,k=0.01的情況下的仿真結(jié)果，該結(jié)果表明，所設(shè)計的魯棒人工噪聲安全算法減弱了非理想信道信息對安全性能的影響。

圖4 安全速率與最大發(fā)送功率之間的關(guān)系Fig.4 Achievable secrecy rate versus transmit power constraint of Alice

4.2 計算復(fù)雜度分析

1)針對問題(7)，SDP算法主要包含2個維數(shù)為Ns的LMI約束，K個維數(shù)為Ne+1的LMI，以及2個線性約束。

2)SCA算法中主要包含2個維數(shù)為Ns的LMI約束，2+K個線性約束。

表1 不同算法的復(fù)雜度比較

假設(shè)系統(tǒng)中竊聽者和天線數(shù)分別為K=2，Ne=2，Ns=4，并且Dmax=Qmax=10，此時兩者的計算復(fù)雜度結(jié)果分別為O(3.94×106)，O(2.75×106)?？梢钥闯觯疚乃惴◤?fù)雜度略高于SCA算法，但是從仿真中，我們可以發(fā)現(xiàn)，采用本文算法的保密速率較SCA算法的保密速率有0.6 bit/s/Hz的提升。所以算法的性能越好，其相應(yīng)的計算復(fù)雜度越高。

4.3 說明備注

本文中主要考慮的是認(rèn)知無線網(wǎng)絡(luò)中次用戶安全傳輸?shù)谋Ｃ芩俾蕛?yōu)化問題，所以我們這里只考慮到次用戶對于主用戶的影響不能超過主用戶的接收門限Γ。對于主用戶傳輸對次用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾在文章中歸為噪聲項，此時次用戶端的接收噪聲表示為n0=σp+σ0，其中σ0為主用戶傳輸信號時對次用戶產(chǎn)生的干擾，σp為傳輸信道中的白噪聲，為了后面的方便計算，在文章中對噪聲統(tǒng)一進(jìn)行歸一化處理即n0～CN(0,INd)。

5 結(jié)論

本文研究了在MIMO認(rèn)知無線信道中，存在多個多天線竊聽者時的安全傳輸問題。提出了人工噪聲輔助的安全預(yù)編碼算法。在發(fā)端的最大發(fā)送功率及認(rèn)知用戶的干擾功率受限時，聯(lián)合優(yōu)化發(fā)送信號矩陣和人工噪聲協(xié)方差矩陣，最大化系統(tǒng)的安全速率。對于理想CSI和非理想CSI兩種情況，采用雙層優(yōu)化算法，對SRM進(jìn)行求解。最后仿真驗證了所提安全傳輸方法與迫零人工噪聲算法和SCA算法相比，能獲得更高的安全速率。