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    基于差別矩陣的屬性集求核算法

    2018-03-08 00:59:55張賢勇
    關(guān)鍵詞:決策表論域復(fù)雜度

    楊 濤, 張賢勇,2, 馮 山

    (1.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 四川 成都 610066;2.四川師范大學(xué) 智能信息與量子信息研究所 四川 成都 610066)

    0 引言

    1 基本概念

    定義1[4]決策表信息系統(tǒng)S=(U,C,D,V,F)中,b∈C,如果POSC(D)=POSC-(D),則稱b為C中相對(duì)D不必要的;否則,稱b為C中相對(duì)D必要的.C中所有必要屬性的集合稱為C相對(duì)D的核,記為coreC(D).

    命題1coreC(D)={α(α∈C)∧(?mij((mij∈IDM)∧(mij={α})∧mij=1))}.

    定義2表明,差別矩陣算法求不相容決策表信息系統(tǒng)中核屬性時(shí),首先將論域U中所有對(duì)象分為完全相容子論域U1與完全不相容子論域U2,其次將U1中對(duì)象兩兩比較,并將U1中的對(duì)象與U2中的對(duì)象兩兩比較,最后根據(jù)命題1從差別矩陣中找出簡單屬性(單個(gè)屬性).

    2 基于差別矩陣的屬性集求核算法

    2.1 差別矩陣的空值

    根據(jù)定義2可知,差別矩陣求解核屬性時(shí)會(huì)出現(xiàn)空值,這些空值元素的出現(xiàn)會(huì)占用大量存儲(chǔ)空間,使得求核屬性浪費(fèi)了大量計(jì)算時(shí)間.因此,提出一種壓縮差別矩陣的構(gòu)造方法.

    定理1(空值優(yōu)化) 在決策表信息系統(tǒng)S=(U,C,D,V,F)中,記相容子論域U1={x1,x2,…,xk}.當(dāng)?xi,xj∈U1∧F(xi,D)=F(xj,D)時(shí),則忽略對(duì)象xi,xj的比較運(yùn)算.

    證明因?xi,xj∈U1(1≤i≠j≤k),所以信息系統(tǒng)S中,?b∈C存在如下關(guān)系:①F(xi,b)=F(xj,b);②F(xi,b)≠F(xj,b).由定義2知,當(dāng)?xi,xj∈U1,F(xi,d)≠F(xj,d)時(shí),mij={b∈CF(xi,b)≠F(xj,b)},否則,mij=?.因此,差別矩陣中的空值與條件屬性值的取值無關(guān);顯然,當(dāng)?xi,xj∈U1∧F(xi,D)=F(xj,D)時(shí),忽略對(duì)象xi,xj的比較運(yùn)算.

    算法1空值優(yōu)化執(zhí)行過程.

    輸入: 決策表S=(U,C,D,V,F);輸出: 可以忽略比較的對(duì)象.

    步驟1 得到完全相容子論域U1與完全不相容子論域U2,記U1={x1,x2,…,xU1};

    步驟2 L=?;//L用于收集U1中可以忽略比較的對(duì)象;

    步驟3 for (i=1;i

    for (j=2;j≤U1;j++)

    if(F( xi,D)=F(xj,D))

    L=L∪{xi,xj};

    步驟4 輸出L.

    算法1以決策表信息系統(tǒng)中的決策屬性值D為劃分依據(jù),將論域U劃分成相容子論域U1與不相容子論域U2,然后對(duì)U1中的對(duì)象按照決策屬性值的不同劃分成多個(gè)對(duì)象集,進(jìn)而減少當(dāng)決策屬性值相同時(shí)的不必要計(jì)算,同時(shí)也壓縮了差別矩陣中空值元素.一般情形下,算法1的時(shí)間復(fù)雜度為O(U12).在實(shí)際應(yīng)用中,上述算法雖然有2個(gè)循環(huán),但是內(nèi)循環(huán)在循環(huán)過程中,當(dāng)對(duì)象xi與xj可以忽略比較,對(duì)象xi與xk(k≠j)可以忽略比較時(shí),由傳遞性可得對(duì)象xj與xk可以忽略比較.因此,算法在執(zhí)行過程中減少了內(nèi)循環(huán)次數(shù),即算法1的時(shí)間復(fù)雜度為O(U1).

    2.2 差別矩陣的屬性集求核機(jī)理

    在決策表信息系統(tǒng)S中,若?b∈C,xi,xj∈U1,F(xiàn)(xi,b)=F(xj,b)∧F(xi,D)=F(xj,D)成立,或?b∈C,xi,xj∈U2,F(xiàn)(xi,b)=F(xj,b)∧F(xi,D)≠F(xj,D)成立,則利用差別矩陣算法求得的屬性集相同,這不但占用大量存儲(chǔ)空間,而且也浪費(fèi)了大量計(jì)算時(shí)間.

    定義3(決策表化簡) 在決策表信息系統(tǒng)S=(U,C,D,V,F)中,定義新決策表S′=(U′,C,D,V′,F′).信息函數(shù)F′滿足:F′(xi,C)=F(xi,C),d∈D且

    進(jìn)而,F(xiàn)′自然確定U′與V′.

    根據(jù)定義2可知,當(dāng)?xi∈U1,xj∈U2時(shí),mij≠?.當(dāng)?xk∈U2∧F(xk,C)=F(xj,C)∧F(xi,d)≠F(xj,d)成立,則mij=mik.又因xj,xk∈U2,根據(jù)定義2可知mjk=?.故在利用差別矩陣求解核屬性時(shí),當(dāng)?xj,xk∈U2時(shí),將U2中具有“相同條件屬性值但不同決策屬性值”的對(duì)象進(jìn)行合并不影響核屬性的求解結(jié)果.在決策表S′中,?xi,xj∈U′,b∈C,均有mij

    定理2當(dāng)mik?mjk∧mjk-mik=1∧{(xi,xj)F(xi,b)≠F(xj,b)}=?,?b∈mik時(shí),mij=mjk-mik∧mij=1.

    根據(jù)定理2可知,當(dāng)mik∩mjk=?時(shí),顯然mij={mik∪mjk}∧mij≥2.定理2揭示了核屬性集的關(guān)系,即在對(duì)象xi,xj比較之前,先判定屬性集mik與mjk是否滿足數(shù)量之差為1.若為1,則判定mik?mjk是否成立.因mik,mjk中的屬性集合是有序的,因此判斷mik?mjk時(shí),其時(shí)間復(fù)雜度為max(O(mjk)).

    其中:“—”表示無需考慮比較的對(duì)象.

    2.3 屬性集求核算法描述

    算法2基于差別矩陣的屬性集求核算法.

    輸入:決策表信息系統(tǒng)S=(U,C,D,V,F);輸出:決策表信息系統(tǒng)的核coreC(D).

    步驟1 執(zhí)行算法1;

    步驟2 根據(jù)定義3創(chuàng)建新的決策表S′;

    步驟3 coreC(D)=?,core1C(D)=?,core2C(D)=?;

    for (r=1;r≤C;r++)

    if (F(xi,cr)≠F(xj,cr))

    執(zhí)行定理2;

    步驟7 coreC(D)=core1C(D)∪core2C(D);

    步驟8 輸出coreC(D).

    通過比較可知,本文算法的時(shí)間和空間復(fù)雜度均低于文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]所提算法的時(shí)間和空間復(fù)雜度.

    3 實(shí)例分析

    表1 決策表S

    表2 化簡后的決策表S′Tab.2 Simplified decision table S′

    在表2基礎(chǔ)上,根據(jù)定義4方法構(gòu)建差別矩陣SIDM,如表3所示.分析差別矩陣SIDM可知coreC(D)={c1,c2}.

    如果采用文獻(xiàn)[6]方法創(chuàng)建差別矩陣IDM為5×8規(guī)模,如表4所示,共有40個(gè)元素;如果采用文獻(xiàn)[7]方法創(chuàng)建差別矩陣IDM′為4×5規(guī)模,如表5所示,共有20個(gè)元素.采用本文方法創(chuàng)建的差別矩陣SIDM為2×4規(guī)模,實(shí)際存儲(chǔ)的元素為7個(gè).可見采用本文方法既減少了樣本對(duì)象的個(gè)數(shù),又降低了差別矩陣的空間占用,從而減少了數(shù)據(jù)的處理量,提高了求核效率.事實(shí)上,基于表1和表2,“表4→表5→表3”的改變過程清楚地體現(xiàn)了“文獻(xiàn)[6]→文獻(xiàn)[7]→本文”3種算法的差別矩陣改進(jìn)過程.

    表3 差別矩陣SIDM

    表4 差別矩陣IDM

    表5 差別矩陣IDM′

    4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    采用文獻(xiàn)[7]中使用的UCI數(shù)據(jù)集(http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets.html),在Intel(R) Core(TM) i5-2400 CPU @ 3.10 GHz、RAM 2 GB環(huán)境下,對(duì)文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]與本文算法進(jìn)行了比較.UCI數(shù)據(jù)集及其特征如表6所示,其中U/C表示按照條件屬性集C劃分后等價(jià)類的數(shù)目;IDM、IDM′、SIDM分別表示文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]以及本文算法差別矩陣實(shí)際存儲(chǔ)元素的個(gè)數(shù).可以看出,本文算法創(chuàng)建的簡化差別矩陣中所存儲(chǔ)的元素?cái)?shù)目SIDM要少于文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]差別矩陣中存儲(chǔ)的元素個(gè)數(shù).

    表6 UCI數(shù)據(jù)集及其特征

    圖1與圖2分別給出3種算法在4種UCI數(shù)據(jù)集上執(zhí)行時(shí)間與執(zhí)行空間的比較.基于圖1,本文求核算法的執(zhí)行效率要優(yōu)于文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]的求核算法,并且隨著樣本對(duì)象的增加,該算法效率更加明顯.基于圖2,對(duì)于不相容決策表(如Patient與Car)和包含重復(fù)元素比較多的決策表(如Cancer),本文求核算法在執(zhí)行過程中對(duì)存儲(chǔ)空間的需求小于文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7].

    圖1 3種算法執(zhí)行時(shí)間比較Fig.1 Comparison on execution time of 3 algorithms

    圖2 3種算法執(zhí)行空間比較Fig.2 Comparison on execution space of 3 algorithms

    5 結(jié)束語

    文獻(xiàn)[4]的求核算法不能處理不相容決策表,存在一定的局限性.文獻(xiàn)[5]提出了改進(jìn)算法,并解決了文獻(xiàn)[4]算法不能處理不相容決策表的問題,但該算法的時(shí)空效率并不太理想.文獻(xiàn)[7]則在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上,對(duì)決策表中相同對(duì)象合并來提高求核效率.研究發(fā)現(xiàn),利用差別矩陣求解核屬性的算法效率還能得到進(jìn)一步的提高.因此,本文提出了一種基于差別矩陣的屬性集求核算法.該算法首先將決策表劃分成相容與不相容部分;其次運(yùn)用定理1找到可以忽略比較的對(duì)象,運(yùn)用定義3化簡決策表.算法2給出了基于差別矩陣的屬性集求核算法偽碼,由此設(shè)計(jì)的算法的時(shí)間與空間復(fù)雜度均低于文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]的時(shí)間與空間復(fù)雜度,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法是有效的.

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