離散Kepler系統(tǒng)的共形不變性與守恒量

夏麗莉， 張 偉

(1.北京工業(yè)大學(xué) 機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院 北京 100124； 2.河南財政金融學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院 河南 鄭州 450046)

0 引言

共形不變性是尋求守恒量的現(xiàn)代方法, 是建立在標度不變性、 平移不變性、 轉(zhuǎn)動不變性和短程相互作用基礎(chǔ)之上的一種對稱性理論. 文獻[1]研究了Birkhoff系統(tǒng)的共形不變性, 討論了共形不變性與Lie對稱性之間的關(guān)系. 文獻[2-3]給出了 Mei對稱性共形不變性的定義和判據(jù)方程. 人們對連續(xù)系統(tǒng)的共形不變性和守恒量理論進行了大量的研究, 并取得了相當多的成果，但對于離散力學(xué)系統(tǒng)的共形不變性和守恒量理論研究較少.文獻[4]結(jié)合文獻[5]的研究方法, 在連續(xù)系統(tǒng)共形不變性基礎(chǔ)上, 研究離散 Lagrangian系統(tǒng)的共形不變性和Noether守恒量.

經(jīng)典Kepler問題在天體力學(xué)和量子力學(xué)中被廣泛關(guān)注，守恒量理論一直是Kepler問題研究的重點內(nèi)容[6]. 文獻 [7] 得到了能量守恒、角動量守恒和Runge-Lenz矢量守恒. 雖然Kepler系統(tǒng)的連續(xù)對稱性問題得到了一定的發(fā)展, 但對于Kepler系統(tǒng)的離散共形不變性尚無報道. 離散化方法在數(shù)學(xué)、物理等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用[8]. 本文基于Kepler系統(tǒng)的離散化理論[9]，通過研究Kepler系統(tǒng)的共形不變性,得到了一種更加簡潔的探究Kepler系統(tǒng)的守恒量的路徑.

1 離散Kepler系統(tǒng)的運動方程

(1)

在離散變量空間中, 離散變量形式為(t-,t,t+,t++,…,q-,q,q+,q++,…),n維坐標變量q={q1,…,qn},p={p1,…,pn}.這里采用“改良版本”的離散Legendre變換離散Kepler系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)，可以表示為

(2)

則離散Kepler正則方程可以表示為

(3)

(4)

2 離散Kepler系統(tǒng)的共形不變性

令矩陣

(5)

相空間中無限小生成元向量的離散點擴展式為

(6)

(7)

3 共形不變性和Lie對稱性

(8)

則系統(tǒng)的共形不變性是Lie對稱性的充要條件為

(9)

證明根據(jù)Lie對稱性定義, Kepler系統(tǒng)的Lie對稱性滿足：

(10)

4 Kepler系統(tǒng)的共形因子

Kepler系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以表示為

(11)

取無限小生成元τ=0,ξ1=-q2,k,ξ2=q1,k,η1=-p2,k,η2=p1,k, 有

Kepler系統(tǒng)的共形因子為

5 Noether守恒量

Noether 對稱性原理表明：作用量的每一種連續(xù)對稱性都有一個守恒量與之對應(yīng). 人們把這種對稱與守恒量的聯(lián)系稱為 Noether 定理[10], 對于離散動力學(xué)系統(tǒng)的積分理論, 文獻[11]給出了離散 Hamilton系統(tǒng)的Noether定理.

定理2[11]如果存在無限小生成元ξ、ηi、ζi和規(guī)范函數(shù)Gi=Gi(t,t+,q,p+)滿足離散Noether等式：

(12)

則Hamilton系統(tǒng)導(dǎo)致如下守恒量：

(13)

定理3如果無限小生成元ξ、ηi、ζi滿足方程(10), 存在規(guī)范函數(shù)Gi=Gi(t,t+,q,p+) 滿足離散Noether等式 (12), 則Hamilton系統(tǒng)的Lie對稱性共形不變性導(dǎo)致守恒量(13).

(14)

圖1 離散變分方法求解Noether守恒量的放大圖Fig.1 Amplified image of the Noether conserved quantity by the discrete variational method

這里，定理3說明取不同的對稱性生成元和合適的規(guī)范函數(shù), 可能得到更多的守恒量. 本文只給出了能量守恒.

選擇初始條件為q1=0.003,q2=0.9,q3=0.01,p1=0.1,p2=0.1和p3=0.8的Kepler軌道，并取步長為0.1, 常數(shù)K=0.75. 根據(jù)Nother定理得到守恒量(14)，即系統(tǒng)的Hamilton量.圖1給出了通過離散變分方法模擬系統(tǒng)的Hamilton量隨時間的變化趨勢.

6 結(jié)論

引入離散差分變分原理研究離散Kepler系統(tǒng)的共形不變性和守恒量理論, 得到了系統(tǒng)的共形因子. 基于Hamilton系統(tǒng)的離散Noether定理, 得到了Kepler系統(tǒng)的守恒量，并用基于離散變分原理的保結(jié)構(gòu)數(shù)值算法驗證了系統(tǒng)的守恒量.

[1] GALIULLIN A S, GAFAROV G G, MALAISHKA R P, et al. Analytical dynamics of Helmholtz, Birkhoff and Nambu systems[M]. Moscow：UFN, 1997.

[2] CAI J L. Conformal invariance and conserved quantities of Mei symmetry for Lagrange systems[J]. Acta physica sinica, 2009, 115 (5): 854-856.

[3] 蔡建樂. 一般完整系統(tǒng) Mei 對稱性的共形不變性與守恒量[J]. 物理學(xué)報, 2009, 58 (1): 22-27.

[4] XIA L L, CHEN L Q. Conformal invariance of Mei symmetry for discrete Lagrangian systems[J]. Acta mechanica, 2013, 224(9): 2037-2043.

[5] DORODNITSYN V A. Finite-difference analog of the Noether theorem[J]. Doklady physics, 1993, 38 (2): 66-68.

[6] THIRRING W. A course in mathematical physics: classical dynamical systems[M]. New York: Springer-Verlag, 1978.

[7] KOZLOV R. Conservative discretizations of the Kepler motion[J]. Journal of physics A: mathematical and theoretical, 2007, 40(17): 4529-4539.

[8] 朱維軍, 周清雷. 一種時間自動機時鐘離散化算法[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2011, 43(3): 75-77.

[9] 劉長欣，裴利軍，夏麗莉. Kepler問題的離散化和積分理論[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2016,48(2)：29-33.

[10] NOETHER E. Invariante variationsprobleme[J]. Gott Nachr, 1918, 1(2): 235-257.

[11] DORODNITSYN V, KOZLOV R. First integrals of difference Hamiltonian equations[J]. Journal of physics A: mathematical and theoretical, 2009, 42 (45): 454007.