品味概率統(tǒng)計中的交匯問題

■江蘇省南京市高淳區(qū)淳輝高級中學 孫長壽

概率統(tǒng)計是歷年高考的熱點內容之一,考查方式多樣,難度中等,通過對基礎知識的重新組合、變式和拓展,從而加工為立意高、情境新、設問巧,并賦予時代氣息、貼近學生實際的問題。概率統(tǒng)計自身以及與其他知識的交匯創(chuàng)新成為一道亮麗的風景。

交匯1——系統(tǒng)抽樣與等差數(shù)列的交匯

例1 (安徽省“皖南八?！? 0 1 7屆高三第二次聯(lián)考)某校為了解10 0 0名高一新生的身體成長狀況,用系統(tǒng)抽樣法(按等距的規(guī)則)抽取4 0名同學進行檢查,將學生從1～10 0 0進行編號,現(xiàn)已知第1 8組抽取的號碼為4 4 3,則第一組用簡單隨機抽樣抽取的號碼為( )。

A.1 6 B.1 7 C.1 8 D.1 9

解析:系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣用等差數(shù)列的通項公式確定或判斷個體。公差為,所以a1=1 8。故選C。

品味:若樣本容量為n,總體的個體數(shù)為N,用這三種方法抽樣時,每個個體被抽到的概率都是,分層抽樣是按比例抽樣,系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣,在第一段內用簡單隨機抽樣的方法確定的個體編號為a1,按系統(tǒng)抽樣,則抽取樣本an滿足通項公式

交匯2——幾何概型與平面區(qū)域的交匯

例2 在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x,y,記p1為事件的概率,p2為事件的概率,p3為事件的概率,則( )。

圖1

解析:由二元變量x,y∈[0,1]可構建平面區(qū)域,全部事件構成邊長為1的正方形。事件“x表示圖1的中陰影部分(面積為S1),事件表示圖2中陰影部分(面積為S2),事件表示圖3中的陰影部分(面積為S3),由圖知,陰影部分的面積從小到大依次是S2＜S3＜S1,根據(jù)幾何概型公式可得p2＜p3＜p1。故選B。

圖2

品味:二元變量的幾何概型常?；瘹w為面積比,對于兩個區(qū)域A,B,且A?B,點P落在區(qū)域B內每一點上都是等可能的,當B是個平面圖形時,點P落在區(qū)域A內的概率與面積有關,一般選擇面積作為區(qū)域的測度,其概率計算公式P(A)=

圖3

交匯3——互斥事件及獨立事件的交匯

例3 (重慶八中2 0 1 7屆高三上學期二調)如圖4所示,小波從A街區(qū)開始向右走,在每個十字路口都會遇到紅綠燈,要是遇到綠燈則小波繼續(xù)往前走,遇到紅燈就往回走,假設任意兩個十字路口的綠燈亮或紅燈亮都是相互獨立的,且綠燈亮的概率都是,紅燈亮的概率都是。

圖4

(1)求小波遇到4次紅綠燈后,處于D街區(qū)的概率。

(2)若小波一共遇到了3次紅綠燈,設此時小波所處的街區(qū)與A街區(qū)相距的街道數(shù)為ξ(例如,小波若處在A街區(qū),則相距0個街道;若處在D,E街區(qū),則都是相距2個街道),求ξ的分布列和數(shù)學期望。

解析:(1)設小波遇到4次紅綠燈之后處于D街區(qū)為事件A,則事件A共有3個基本事件,即4次遇到的紅綠燈情況分別為{紅紅綠綠,綠紅紅綠,綠綠紅紅},故P(A)

(2)理解隨機變量的意義合理分類,ξ可能的取值為0,1,2,3。

故ξ的分布列為表1。

表1

品味:互斥事件A,B滿足概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B),而獨立事件A,B滿足概率乘法公式P(A B)=P(A)P(B)。讀懂所求概率事件包含的含義,利用分類討論思想將事件分解為幾個互斥的情況來求概率。一個復雜的隨機事件,往往可以拆分成若干個互斥事件的和,而每個互斥事件又可以拆分為若干個相互獨立事件的積。

交匯4——隨機變量的分布列、均值與古典概型的交匯

例4 (2 0 1 8年遼寧省遼南協(xié)作校一模)教育部門主辦了全國大學生智能汽車競賽,競賽分為預賽和決賽兩個階段,參加決賽的隊伍按照抽簽的方式?jīng)Q定出場順序,通過預賽,選拔出甲,乙等五支隊伍參加決賽。

(1)求決賽中甲,乙兩支隊伍恰好排在前兩位的概率。

(2)若決賽中甲隊和乙隊之間間隔的隊伍數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學期望。

解析:(1)可用古典概型進行解決,設Ω為“五支隊伍的比賽順序”,則事件A為“甲乙排在前兩位”,則,所以

(2)一共五支隊伍,所以甲乙之間間隔的隊伍數(shù)構成隨機變量X可取的值為0,1,2,3,同樣適用于古典概型?？上葘⒓?乙占上位置,然后再解決“甲乙”與其他三支隊伍間的順序問題,X可取的值為0,1,2,3,P(X=

所以X的分布列為表2。

表2

品味:以排列組合和概率統(tǒng)計知識為工具,利用互斥事件分類,利用相互獨立事件分步,利用對立事件簡化求概率,進而確定隨機變量的概率、分布列和期望,凸顯概率統(tǒng)計自身的網(wǎng)絡交互。

交匯5——統(tǒng)計圖表、抽樣方法與超幾何分布的交匯

例5 (2 0 1 7年第一次全國大聯(lián)考新課標Ⅲ卷)某市場調研機構對在“雙十一”購物的n名年齡在[2 0,7 0]歲的消費者進行了年齡段和性別分布的調查,其部分結果統(tǒng)計如表3。

表3

(1)若按年齡用分層抽樣的方法抽取8 4個人,其中在[4 0,7 0]內抽取了3 6人,求m的值。

(2)在(1)的條件下,用分層抽樣的方法在[3 0,4 0)歲的消費者中抽取一個容量為8的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任取3人,記X表示抽取女性消費者的人數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望。

(2)用分層抽樣的方法在[3 0,4 0)歲中抽取一個容量為8的樣本,設抽取男性消費者的人數(shù)為x,所以,解得x=3。所以抽取男性消費者3人,女性消費者5人,所以X的取值是0,1,2,3,則

所以隨機變量X的分布列為表4。

表4

品味:反饋圖形信息,由抽樣比確定元素,構建超幾何模型求分布列和期望,超幾何分布就是在理解隨機變量的意義下,把元素自然分成2組,利用組合數(shù)和古典概型的概率公式得到分布列的一個通項公式,首先,利用組合數(shù)求基本事件的總數(shù)n;其次,利用組合數(shù)求所求概率事件中含有多少個基本事件m;最后,利用古典概型的概率公式表示。