概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題易錯(cuò)歸類剖析

■河南省新蔡縣第一高級(jí)中學(xué) 田一佳

統(tǒng)計(jì)與概率這一模塊,相對(duì)來(lái)說(shuō)是同學(xué)們?nèi)菀缀鲆暤囊粋€(gè)章節(jié),因?yàn)楸匦尴盗械谋匦?講授最快,而對(duì)于選修來(lái)說(shuō),同學(xué)們又不夠重視,導(dǎo)致該部分的練習(xí)題雖然較易,但也容易出錯(cuò)。究其原因,筆者認(rèn)為是本質(zhì)概念未理解透徹,概念易混淆,比如:幾何概型與古典概型,頻率分布直方圖的中位數(shù)與平均數(shù)等。筆者就這幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析。

一、幾何概型與古典概型

例1 甲、乙比賽做某道題,甲解答此題所用的時(shí)間約5～7分鐘,乙解答此題所用的時(shí)間約6～8分鐘。現(xiàn)甲、乙各解此題,求乙比甲先解答完的概率。

錯(cuò)解:設(shè)事件A為“乙比甲先做完此題”。由題意,甲完成此題所用時(shí)間為5、6、7分鐘,三種情況。乙完成此題所用時(shí)間為6、7、8分鐘,三種情況。所以,一共有3×3=9(個(gè))基本事件。其中甲用7分鐘,乙用6分鐘,此事發(fā)生,除此無(wú)。所以

錯(cuò)因:時(shí)間在無(wú)特殊條件要求下是連續(xù)的(沒(méi)有古典概型與幾何概型)。

正解:設(shè)甲、乙解答本道題的時(shí)間可能為x、y分鐘,則基本事件所滿足的區(qū)域?yàn)?/p>

【知識(shí)補(bǔ)充】不同點(diǎn):兩個(gè)基本事件的特點(diǎn)不同,古典概型的基本事件有限,而幾何概型的基本事件無(wú)限。

相同點(diǎn):每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相同。

二、幾何概型測(cè)量辨析

例2 如圖1,在等腰直角△A B C中,∠C=9 0°,在B C上任取一點(diǎn)M,求∠C AM＜3 0°的概率。

旁邊，一個(gè)渾身發(fā)抖的年輕男孩被人輕而易舉地踢掉手中的匕首，踢倒在舞臺(tái)上，一個(gè)彪悍的中年婦女撿起匕首，送進(jìn)另一個(gè)人的脖子……

錯(cuò)解:∠C AM可以選擇的可能性為0°～4 5°,記事件A為“∠C AM＜3 0°”,則

圖1

錯(cuò)因:關(guān)鍵點(diǎn)是在B C上任取點(diǎn)M,所以點(diǎn)M可以選擇的區(qū)域?yàn)锽 C,測(cè)度為B C的長(zhǎng)度1。而錯(cuò)解卻將測(cè)度記為∠C AM的度數(shù)。

正解:記“∠C AM＜3 0°”為事件A,當(dāng)∠C AM=3 0°時(shí),在R t△A CM中,A C=1,所以。因?yàn)镸是從B C中任取一點(diǎn),所以實(shí)驗(yàn)中所有可以取到的測(cè)度為1,則

【知識(shí)補(bǔ)充】看幾何概型的測(cè)度,要找到因變量,是什么在改變,引起變化的本質(zhì)是什么,那么它能所取到的所有可能為試驗(yàn)的總測(cè)度,滿足條件時(shí)可以變動(dòng)的所有可能為此事件的測(cè)度,認(rèn)清本質(zhì)。

三、統(tǒng)計(jì)圖中的中位數(shù)問(wèn)題

統(tǒng)計(jì)問(wèn)題主要是以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題為載體展現(xiàn),同學(xué)們需要注意的有兩點(diǎn):第一,弄明白題中所描述的問(wèn)題,把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題;第二,理解清楚概念,比如說(shuō)頻率分布直方圖與頻率條形圖,它們的高所表示的意義不同,以及中位數(shù)、平均數(shù)、方差怎么計(jì)算,特別是中位數(shù),不能用區(qū)間中點(diǎn)來(lái)表示,而是需要用到中位數(shù)的概念:最中間的數(shù)字,從而使用面積中點(diǎn)法去計(jì)算。

例3 海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了1 0 0個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各網(wǎng)箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:k g)。其頻率分布直方圖如圖2和圖3所示。

圖2

(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的網(wǎng)箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的網(wǎng)箱產(chǎn)量低于5 0k g,新養(yǎng)殖法的網(wǎng)箱產(chǎn)量不低于5 0 k g”,估計(jì)A的概率。

圖3

表1

(3)根據(jù)網(wǎng)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法網(wǎng)箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.0 1)。

錯(cuò)解:(3)由于給出的數(shù)據(jù)是頻率分布直方圖,所以可以用區(qū)間中點(diǎn)近似代替,則數(shù)據(jù)可以近似看作,2個(gè)3 7.5,1 0個(gè)4 2.5,2 2個(gè)4 7.5,3 4個(gè)5 2.5,…,所以中位數(shù)是5 2.5。

錯(cuò)因:在頻率分布直方圖中,因?yàn)闆](méi)有具體的數(shù)據(jù),只是知道數(shù)據(jù)所在區(qū)間以及所在區(qū)間的頻率,所以在求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差時(shí)都是由區(qū)間中點(diǎn)去近似求解的。錯(cuò)解就是想當(dāng)然地把中位數(shù)也類似去求解了。

正解:(1)(2)略。

(3)在新養(yǎng)殖法的網(wǎng)箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,網(wǎng)箱產(chǎn)量低于5 0k g的直方圖面積為(0.0 0 4+0.0 2 0+0.0 4 4)×5=0.3 4＜0.5,網(wǎng)箱產(chǎn)量低于5 5k g的直方圖面積為0.6 8＞0.5,故新養(yǎng)殖法網(wǎng)箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為

【知識(shí)補(bǔ)充】利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí),應(yīng)注意三點(diǎn):①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為眾數(shù);②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形面積和相等,都為0.5;③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。